12 июля

3 comments

Cинус, косинус, тангенс и котангенс (ЕГЭ – 2021)

Понятия синуса (\( sin\)), косинуса (\( cos\)), тангенса (\( tg\)), котангенса (\( ctg\)) неразрывно связаны с понятием угла. 

Звучит ужасно, да? 

Не так страшен черт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Поехали!

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок. 

Вектор \( AB\) «повернулся» относительно точки \( A\) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \( \alpha \).

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \( 1{}^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \( \frac{1}{360}\) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \( 360\) «кусочков» круговых дуг. То есть угол, описываемый окружностью, равен \( 360{}^\circ \).

То есть на рисунке выше изображён угол \( \beta \), равный \( 50{}^\circ \), то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \( \frac{50}{360}\) длины окружности.

Углом в \( 1\) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол \( \gamma \), равный \( 1\) радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \( AB\) равна длине \( BB'\) или радиус \( r\) равен длине дуги \( l\)).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\( l=\theta \cdot r\), где \( \theta \) - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

\( L=2\pi \cdot r\)

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \( 2\pi \).

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \( 2\pi =360{}^\circ \).

Соответственно, \( \pi =180{}^\circ \).

Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют \( 60{}^\circ \)?

Всё верно \( \frac{\pi }{3}\)!

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

\( 36{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{2}=?\)
\( 30{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{4}=?\)
\( 90{}^\circ =?\)
\( \frac{2\pi }{3}=?\)
\( 45{}^\circ =?\)
\( 20{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{6}=?\)
\( 10{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{9}=?\)
\( 3\pi =?\)
\( 720{}^\circ =?\)

Возникли трудности?

Тогда смотри ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

\( \frac{\pi }{5};\ 90{}^\circ ;\frac{\pi }{6};45{}^\circ ;\frac{\pi }{2};120{}^\circ ;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{9};30{}^\circ ;\frac{\pi }{18};20{}^\circ ;540{}^\circ ;4\pi .\)

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\)); катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) - противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Не веришь?

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\( \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}\)

Ну что, уловил?

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}\).

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1\).

Такая окружность называется единичной.

Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x\) (в нашем примере, это радиус \( AB\)).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x\) и координата по оси \( y\).

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ACG\). Он прямоугольный, так как \( CG\) является перпендикуляром к оси \( x\).

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Всё верно \( \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}\).

Кроме того, нам ведь известно, что \( AC\) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1\).

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

\( \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{1}=AG\).

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Ну конечно, \( \sin \alpha =\frac{CG}{AC}\)!

Подставим значение радиуса \( AC\) в эту формулу и получим:

\( \sin \alpha =\frac{CG}{AC}=\frac{CG}{1}=CG\)

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C\), принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) - это просто числа?

Какой координате соответствует \( \cos \alpha \)?

Ну, конечно, координате \( x\)!

А какой координате соответствует \( \sin \alpha \)?

Всё верно, координате \( y\)!

Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )\).

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \)?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\), а \( ctg \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\).

А что, если угол будет больше \( 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}\)?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( {{A}_{1}}{{C}_{1}}G\): угол \( {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) (как прилежащий к углу \( \beta \)).

Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \( {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \)?

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

\( \begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\frac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\frac{x}{y}\end{array}\)

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y\); значение косинуса угла – координате \( x\); а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x\).

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360{}^\circ \) или \( 2\pi \).

А можно повернуть радиус-вектор на \( 390{}^\circ \) или на \( -1140{}^\circ \)?

Ну конечно, можно!

В первом случае, \( 390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \), таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30{}^\circ \) или \( \frac{\pi }{6}\).

Во втором случае, \( -1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \), то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \( -60{}^\circ \) или \( -\frac{\pi }{3}\).

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360{}^\circ \cdot m\) или \( 2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60{}^\circ \).

Это же изображение соответствует углу \( -420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д.

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360{}^\circ \cdot m\) или \( \beta +2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число)

\( \begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array}\)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\( \begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}\)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Итак, мы знаем, что:

\( \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\frac{y}{x};\\ctg\alpha =\frac{x}{y}.\end{array}\)

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right)\), следовательно:

\( \sin 90{}^\circ =y=1\);

\( \cos 90{}^\circ =x=0\);

\( \text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;

\( \text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0\).

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \( 180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\ \) соответствуют точки с координатами \( \left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)\), соответственно.

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0\)

\( \displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\( \text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\frac{0}{-1}=0\)

\( \text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует

\( \sin \ 270{}^\circ =-1\)

\( \cos \ 270{}^\circ =0\)

\( \text{tg}\ 270{}^\circ =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует

\( \text{ctg}\ 270{}^\circ =\frac{0}{-1}=0\)

\( \sin \ 360{}^\circ =0\)

\( \cos \ 360{}^\circ =1\)

\( \text{tg}\ 360{}^\circ =\frac{0}{1}=0\)

\( \text{ctg}\ 360{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует

\( \sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1\)

\( \cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0\)

\( \text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует

\( \text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{0}{1}=0\).

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

\( \left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\frac{y}{x};\\ctg \alpha =\frac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!}\)

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}\) и \( 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}\), приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\( 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\frac{\pi }{3}\)), а также значение тангенса угла в \( 30{}^\circ \).

Зная эти \( 4\) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

\( \begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\frac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array}\)

\( \text{tg}\ 30{}^\circ \ =\frac{1}{\sqrt{3}}\), зная это можно восстановить значения для \( \text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \).

Числитель «\( 1\)» будет соответствовать \( \text{tg}\ 45{}^\circ \ \), а знаменатель «\( \sqrt{\text{3}}\)» соответствует \( \text{tg}\ 60{}^\circ \ \).

Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \( 4\) значения из таблицы.

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки.

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)\) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5\).

Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом точки \( O\) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x\) точки \( P\) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ\). Длина отрезка \( UK\) соответствует координате \( x\) центра окружности, то есть равна \( 3\).

Длину отрезка \( KQ\) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\frac{KQ}{KP}=\frac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогда имеем, что для точки \( P\) координата \( x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P\).

Таким образом,

\( y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) - координаты центра окружности,

\( r\) - радиус окружности,

\( \delta \) - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array}\)

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

  1. 1
    Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( \frac{7\pi }{3}\).
  2. 2
    Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( 750{}^\circ \).
  3. 3
    Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( -225{}^\circ \).
  4. 4
    Точка \( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7)\) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 2\). Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( -30{}^\circ \).
  5. 5
    Точка \( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6)\) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 3\). Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( 60{}^\circ\).

Возникли проблемы в нахождении координат точки на окружности?

Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

1. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos \frac{7\pi }{3}\\y=\sin \ \delta =\sin \frac{7\pi }{3}\end{array}\)

Можно заметить, что \( \frac{7\pi }{3}=\frac{6\pi +\pi }{3}=2\pi +\frac{\pi }{3}\). А мы ведь знаем, что \( 2\pi \) соответствует полному обороту начальной точки.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на \( \frac{\pi }{3}\). Зная это, найдём искомые координаты точки:

\( \begin{array}{l}x=\cos \frac{7\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}\\y=\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\end{array}\)

Синус \( \frac{\pi }{3}\) и косинус \( \frac{\pi }{3}\) - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

\( \begin{array}{l}x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\\y=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\)

Таким образом, искомая точка имеет координаты \( \left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\).

2. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos 750{}^\circ \\y=\sin \ \delta =\sin 750{}^\circ \end{array}\)

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Можно заметить, что \( 750{}^\circ =360{}^\circ \cdot 2+30{}^\circ \). Мы знаем, что \( 360{}^\circ \cdot 2\) соответствует двум полным оборотам начальной точки.

Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на \( 30{}^\circ \). Зная это, найдём искомые координаты точки:

\( \begin{array}{l}x=\cos 750{}^\circ =\cos 30{}^\circ \\y=\sin 750{}^\circ =\sin 30{}^\circ \end{array}\).

Синус \( 30{}^\circ \) и косинус \( 30{}^\circ \) - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

\( \begin{array}{l}x=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\y=\sin 30{}^\circ =\frac{1}{2}\end{array}\)

Таким образом, искомая точка имеет координаты \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2} \right)\).

3. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \beta =\cos (-225{}^\circ )\\y=\sin \ \beta =\sin (-225{}^\circ )\end{array}\).

Можно заметить, что \( -225{}^\circ =-360{}^\circ +135{}^\circ ;\ \ \ \ -225{}^\circ =-180{}^\circ -45{}^\circ \). Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Радиус \( {{E}_{1}}W\) образует с осью \( x\) углы, равные \( 45{}^\circ\) и \( 135{}^\circ\).

Зная, что табличные значения косинуса и синуса \( 45{}^\circ\) равны \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\), и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

\( \begin{array}{l}x=\cos (-225{}^\circ )=-\cos 45{}^\circ =-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\sin (-225{}^\circ )=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\)

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме "Формулы тригонометрии".

Таким образом, искомая точка имеет координаты \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\).

4. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде \( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) - координаты центра окружности (в нашем примере, \( {{x}_{0}}=5\), \( {{y}_{0}}=7\)

\( r\) - радиус окружности (по условию, \( r=2\))

\( \delta \) - угол поворота радиуса вектора (по условию, \( \delta =-30{}^\circ \))

Подставим все значения в формулу и получим:

\( \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )\end{array}\).

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

Как можно заметить, значение \( x\), то есть \( \cos \left( -30{}^\circ \right)\) положительно, а значение \( y\), то есть \( \sin (-30{}^\circ )\) - отрицательно.

Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \begin{array}{l}\cos \left( -30{}^\circ \right)=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin \left( -30{}^\circ \right)=-\sin 30{}^\circ =-\frac{1}{2}\end{array}\)

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:

\( \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}\)

Таким образом, искомая точка имеет координаты \( \left( 5+\sqrt{3};6 \right)\).

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде \( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) - координаты центра окружности (в нашем примере, \( {{x}_{0}}=-7\), \( {{y}_{0}}=6\)

\( r\) - радиус окружности (по условию, \( r=3\))

\( \delta \) - угол поворота радиуса вектора (по условию, \( \delta =60{}^\circ \)).

\( \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}\)

Подставим все значения в формулу и получим:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ \\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ \end{array}\)

\( \cos 60{}^\circ \) и \( \cos 60{}^\circ \) - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

\( \begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ =-7+3\cdot \frac{1}{2}=-5,5\\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ =6+3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6+\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}\)

Таким образом, искомая точка имеет координаты \( \left( -5,5;6+\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)\).

  • Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\);
  • Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\);
  • Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\);
  • Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему). \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь хотим услышать тебя!

Всегда интересно наблюдать, как из чего-то простого (единичная окружность) рождается что-то комплексное и сложное (огромное множество теорем тригонометрии, о которых ты тоже можешь прочитать в наших статьях!)

Мы рассказали тебе все о том, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс. А ты расскажи нам, понравилась ли тебе статья 🙂

Всё ли было понятно?

Напиши нам в комментариях!

Мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

  • Отличная статья — наконец сорван покров леденящей душу таинственности с этих удивительных и до сего момента малоизученных мною существах синусах косинусов и их собратьев. Спасибо!

    • Александр Кель:

      Отличный комментарий, Марат! Немного даже мистический 🙂 Спасибо.

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Павел
    22 февраля 2018
    Читал статью 3 дня подряд по два часа в день и наконец-то разобрался. И ещё, где в 5-ой задаче, в условии написано, что угол равен 60 градусов? Сообразил как решать, только тогда, когда подсмотрел в ответ

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >