Синус, косинус, тангенс и котангенс

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла. 

Звучит ужасно, да? 

Не так страшен чёрт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Поехали!

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок. 

Вектор \( AB\) «повернулся» относительно точки \( A\) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \( \alpha \).

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \( 1{}^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \( \frac{1}{360}\) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \( 360\) «кусочков» круговых дуг. То есть угол, описываемый окружностью, равен \( 360{}^\circ \).

То есть на рисунке выше изображён угол \( \beta \), равный \( 50{}^\circ \), то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \( \frac{50}{360}\) длины окружности.

Углом в \( 1\) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол \( \gamma \), равный \( 1\) радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \( AB\) равна длине \( BB’\) или радиус \( r\) равен длине дуги \( l\)).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\( l=\theta \cdot r\), где \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

\( L=2\pi \cdot r\)

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \( 2\pi \).

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \( 2\pi =360{}^\circ \).

Соответственно, \( \pi =180{}^\circ \).

Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют \( 60{}^\circ \)?

Всё верно \( \frac{\pi }{3}\)!

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

\( 36{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{2}=?\)
\( 30{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{4}=?\)
\( 90{}^\circ =?\)
\( \frac{2\pi }{3}=?\)
\( 45{}^\circ =?\)
\( 20{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{6}=?\)
\( 10{}^\circ =?\)
\( \frac{\pi }{9}=?\)
\( 3\pi =?\)
\( 720{}^\circ =?\)

Возникли трудности?

Тогда смотри ответы:

\( \frac{\pi }{5};\ 90{}^\circ ;\frac{\pi }{6};45{}^\circ ;\frac{\pi }{2};120{}^\circ ;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{9};30{}^\circ ;\frac{\pi }{18};20{}^\circ ;540{}^\circ ;4\pi .\)

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))

Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Не веришь?

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\( \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}\)

Ну что, уловил?

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}\).

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1\).

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

У нас есть целая статья, посвященная ей, которая так и называется «Тригонометрическая (единичная) окружность».

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x\) (в нашем примере, это радиус \( AB\)).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x\) и координата по оси \( y\).

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ACG\). Он прямоугольный, так как \( CG\) является перпендикуляром к оси \( x\).

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Всё верно \( \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}\).

Кроме того, нам ведь известно, что \( AC\) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1\).

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

\( \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{1}=AG\).

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Ну конечно, \( \sin \alpha =\frac{CG}{AC}\)!

Подставим значение радиуса \( AC\) в эту формулу и получим:

\( \sin \alpha =\frac{CG}{AC}=\frac{CG}{1}=CG\)

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C\), принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) — это просто числа?

Какой координате соответствует \( \cos \alpha \)?

Ну, конечно, координате \( x\)!

А какой координате соответствует \( \sin \alpha \)?

Всё верно, координате \( y\)!

Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )\).

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \)?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\), а \( ctg \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\).

А что, если угол будет больше \( 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}\)?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( {{A}_{1}}{{C}_{1}}G\): угол \( {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) (как прилежащий к углу \( \beta \)).

Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \( {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \)?

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

\( \begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\frac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\frac{x}{y}\end{array}\)

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y\); значение косинуса угла – координате \( x\); а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x\).

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360{}^\circ \) или \( 2\pi \).

А можно повернуть радиус-вектор на \( 390{}^\circ \) или на \( -1140{}^\circ \)?

Ну конечно, можно!

В первом случае, \( 390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \), таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30{}^\circ \) или \( \frac{\pi }{6}\).

Во втором случае, \( -1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \), то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \( -60{}^\circ \) или \( -\frac{\pi }{3}\).

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360{}^\circ \cdot m\) или \( 2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60{}^\circ \).

Это же изображение соответствует углу \( -420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д.

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360{}^\circ \cdot m\) или \( \beta +2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число)


\( \begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array}\)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:


\( \begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}\)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Итак, мы знаем, что:

\( \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\frac{y}{x};\\ctg\alpha =\frac{x}{y}.\end{array}\)

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right)\), следовательно:

\( \sin 90{}^\circ =y=1\);

\( \cos 90{}^\circ =x=0\);

\( \text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) — не существует;

\( \text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0\).

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \( 180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\ \) соответствуют точки с координатами \( \left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)\), соответственно.

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0\) \( \displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1\) \( \text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\frac{0}{-1}=0\)

\( \text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) — не существует

\( \sin \ 270{}^\circ =-1\) \( \cos \ 270{}^\circ =0\)

\( \text{tg}\ 270{}^\circ =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) — не существует

\( \text{ctg}\ 270{}^\circ =\frac{0}{-1}=0\) \( \sin \ 360{}^\circ =0\) \( \cos \ 360{}^\circ =1\) \( \text{tg}\ 360{}^\circ =\frac{0}{1}=0\)

\( \text{ctg}\ 360{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) — не существует

\( \sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1\) \( \cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0\)

\( \text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) — не существует

\( \text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{0}{1}=0\).

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

\( \left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\frac{y}{x};\\ctg \alpha =\frac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!}\)

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}\) и \( 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}\), приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки.

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)\) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5\).

Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом точки \( O\) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x\) точки \( P\) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ\). Длина отрезка \( UK\) соответствует координате \( x\) центра окружности, то есть равна \( 3\).

Длину отрезка \( KQ\) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\frac{KQ}{KP}=\frac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогда имеем, что для точки \( P\) координата \( x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P\).

Таким образом,

\( y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) — координаты центра окружности,

\( r\) — радиус окружности,

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array}\)

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

Упражнения по нахождению точек на окружности

  • Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( \frac{7\pi }{3}\).
  • Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( 750{}^\circ \).
  • Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right)\) на \( -225{}^\circ \).
  • Точка \( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7)\) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 2\). Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( -30{}^\circ \).
  • Точка \( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6)\) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 3\). Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( 60{}^\circ\).

Возникли проблемы в нахождении координат точки на окружности? Реши следующие пять примеров и ты научишься их находить!

Пять примеров нахождения координат точки на окружности

1. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos \frac{7\pi }{3}\\y=\sin \ \delta =\sin \frac{7\pi }{3}\end{array}\)

Можно заметить, что \( \frac{7\pi }{3}=\frac{6\pi +\pi }{3}=2\pi +\frac{\pi }{3}\). А мы ведь знаем, что \( 2\pi \) соответствует полному обороту начальной точки.

Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на \( \frac{\pi }{3}\). Зная это, найдём искомые координаты точки:

2. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos 750{}^\circ \\y=\sin \ \delta =\sin 750{}^\circ \end{array}\)

Можно заметить, что \( 750{}^\circ =360{}^\circ \cdot 2+30{}^\circ \). Мы знаем, что \( 360{}^\circ \cdot 2\) соответствует двум полным оборотам начальной точки.

Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на \( 30{}^\circ \).

Зная это, найдём искомые координаты точки:

3. Окружность единичная с центром в точке \( \left( 0;0 \right)\), значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

\( \begin{array}{l}x=\cos \ \beta =\cos (-225{}^\circ )\\y=\sin \ \beta =\sin (-225{}^\circ )\end{array}\).

Можно заметить, что \( -225{}^\circ =-360{}^\circ +135{}^\circ ;\ \ \ \ -225{}^\circ =-180{}^\circ -45{}^\circ \).

Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Радиус \( {{E}_{1}}W\) образует с осью \( x\) углы, равные \( 45{}^\circ\) и \( 135{}^\circ\).

Зная, что табличные значения косинуса и синуса \( 45{}^\circ\) равны \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\), и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

4. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде \( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) — координаты центра окружности (в нашем примере, \( {{x}_{0}}=5\), \( {{y}_{0}}=7\)

\( r\) — радиус окружности (по условию, \( r=2\))

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора (по условию, \( \delta =-30{}^\circ \))

Подставим все значения в формулу и получим:

\( \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )\end{array}\).

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

Как можно заметить, значение \( x\), то есть \( \cos \left( -30{}^\circ \right)\) положительно, а значение \( y\), то есть \( \sin (-30{}^\circ )\) — отрицательно.

Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде \( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) — координаты центра окружности (в нашем примере, \( {{x}_{0}}=-7\), \( {{y}_{0}}=6\)

\( r\) — радиус окружности (по условию, \( r=3\))

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора (по условию, \( \delta =60{}^\circ \)).

\( \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}\)

Подставим все значения в формулу и получим:

Подготовка к ЕГЭ на 90+

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

+7 (905) 541-39-06

alexei.shevchuk@youclever.org

  • сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
  • автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • профессиональный репетитор c 2003 года;
  • преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

16 комментариев

  1. Не до конца разобрался в теме и хотел себя проверить, а не могу. Последние 5 задач не имеют ответа и объяснения. всё обрывается на подобных предложениях: «Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:». Прошу у адм комментарий и исправление данной проблемы, надеюсь на ваше понимание.

    1. Антон, табличные значения так называются потому, что их проще запомнить, чем каждый раз выводить и объяснять, откуда они взялись. Тем не менее, понимать, откуда они взялись, действительно очень важно! А это объяснение ты сможешь найти прямо в следующей статье: https://youclever.org/book/trigonometricheskaya-okruzhnost-1/#syn-cos-tang-kotang

      Например, синус 30 градусов равен 1/2, потому что катет, лежащий напротив такого угла, равен половине гипотенузы (а это уже теорема из геометрии 7 класса: всё потому, что такой прямоугольный треугольник — это ровно половинка равностороннего треугольника).

  2. Готовлюсь, к вступительным экзаменам, хорошо дополнительно объяснён материал. Редко встретишь такую качественную работу. Спасибо!

  3. Спасибо за полезную статью — это во-первых.
    А теперь вопрос. Как понять: «Вектор ???????? «повернулся» относительно точки ???? на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол ????»? Нет ли здесь ошибки?.. И вообще, относительно чего обычно рассматривается поворот вектора?

  4. Благодаря этой статье я наконец то запомнил табличные значения синусов и косинусов, спасибо.

  5. Буквально с каждого нового факта на эту тему в шоке открывал рот с мыслью «а че так можно было что-ли?!», а таких фактов тут было много. Так же огромное спасибо за «фокусы», помогающие быстро и легко запомнить все эти, казалось бы, сложные и длинные правила.

  6. Отличная статья! Все подробно и понятно изложено. Огромное спасибо.

  7. Что то мне подсказывает что Вы ошиблись господа в «Единичная (тригонометрическая) окружность». «А чему равен sin α из треугольника ACG?»
    «Ну конечно, sinα=CGAC!» С Какой стати? Синус это отношение противолежащего угла к гипотенузе. А почему в треугольнике ACG Вы указываете cos? под предлогом синуса?!

    1. George, всё правильно, для угла CAG противолежащий катет CG делим на гипотенузу AC — получаем синус. А косинус обсудили на пару предложений раньше.

  8. Отличная статья — наконец сорван покров леденящей душу таинственности с этих удивительных и до сего момента малоизученных мною существах синусах косинусов и их собратьев. Спасибо!

    1. Отличный комментарий, Марат! Немного даже мистический 🙂 Спасибо.

  9. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Павел
    22 февраля 2018
    Читал статью 3 дня подряд по два часа в день и наконец-то разобрался. И ещё, где в 5-ой задаче, в условии написано, что угол равен 60 градусов? Сообразил как решать, только тогда, когда подсмотрел в ответ