Система уравнений. Подробная теория с примерами (2019)
Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?
Все, что нужно знать о решении системы уравнений - в этой статье.
Помни, твоя цель - хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты.
Let's go... (Поехали!)
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. |
Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Метод подстановки
Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.
Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных - последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.
Непонятно? Давай рассмотрим на примере
Пример 1.
Из второго уравнения очень просто выразить
Теперь подставим то, что получилось вместо
Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:
А теперь вернемся к выраженному
Итак,
Ответ:
Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде:
То есть ответ в нашем примере запишется так:
Ответ:
Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:
Ответы:
1) Здесь проще всего выразить
Ответ:
2) Выражаем
Ответ:
3) Здесь лучше выразить
Ответ:
Графический метод
Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Например, построим графики уравнений из предыдущего примера. Для этого сперва выразим
Видно, что графики пересекаются в точке с координатами
Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида
Метод сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть:
(но ни в коем случае не наоборот:
Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число
Но раз
Пример 2
Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):
Вот как!
Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо
Ответ:
Пример 3.
Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на
Теперь можно складывать:
Теперь подставим
Ответ:
Теперь порешай сам (методом сложения):
Ответы:
1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными? Хм. Как из
Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти
Подставляем в любое из уравнений и находим
Ответ:
2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на
Ответ:
3. Первое умножаем на
Ответ:
4. Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на
Теперь сложим уравнения:
Подставив в первое уравнение, найдем
Ответ:
Тренировка без подсказок
Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!
Ответы:
Как видишь, система уравнений - базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:
Методы решения систем уравнений:
1. Решение методом подстановки
Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.
2. Решение графическим методом
Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида
3. Решение методом сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.
То есть:
Но ни в коем случае не наоборот:
ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...
Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.
Теперь хотелось бы послушать тебя...
Как тебе статья?
Получается ли у тебя решать системы уравнений?
У тебя есть вопросы? Предложения?
Напиши в комментариях.
Мы читаем все.
И удачи на экзаменах!
Комментарии
Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 - 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 - 5^y - 5^y = 100 складываем подобные - 2* 5^y = - 50 делим на 2 - 5^y = - 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x - 5^y = 100 5^x - 5^2 = 100 5^x - 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)
В методе подстановки вторая система уравнений решена неправильно. В данном случае ответом будет не целая пара чисел (3;-1), а обыкновенная дробь (64/21; -8/7)
Ответ ко второй системе уравнений в разделе метод сложения тоже неверный. Пара чисел (7;5) не является решением. Ответом будет (147/62; 72/31)
Эммм , а про однородные , симметричные и распадающиеся системы не слышали , было бы круто если у вас будет по ним теория
Спасибо за отзыв, господин ... ) Пока денег хватает только на поддержание сайта. Найдем деньги, напишем теорию )
а как быть если вместо равно больше или равно, или меньше или равно?
Речь идет о системе неравенств. Нужно решать каждое неравенство отдельно. Например, методом интервалов и затем находить решение для системы неравенств. Вот здесь неплохо написано: https://ege-ok.ru/2012/01/07/reshenie-sistemyi-neravenstv-s-odnim-ne А как решать каждое неравенство отдельно у нас есть целый раздел в учебнике. Загляни на главную страницу сайта: Youclever.org и найди раздел "Неравенства".
объясните пожалуйста подробно - как строить эти графики уравнений (пошагово, если можно)
А для линейных уравнений все просто. 1) Считаешь, что x=0, потом решаешь уравнение и находишь чему равен Y. Вот тебе первая точка прямой (x=0, Y = ). Отмечаешь ее на графике 2) Потом считаешь, что y=0, решаешь уравнение и находишь чему равень X. Это вторая точка прямой. Отмечаешь ее на графике. 3) Соединяешь две точки - вот тебе одна прямая. 4) Тоже самое проделываешь для другого уравнения системы. Получаешь вторую прямую. 5) Решение - пересечение прямых.
Таня, в первую очередь прочитай раздел "Графический метод" и обрати внимание вот на это: "Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида y=ax+b), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод.
Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности
ответить