Система уравнений. Подробная теория с примерами (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?
Все, что нужно знать о решении системы уравнений - в этой статье.
Помни, твоя цель - хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты.
Let's go... (Поехали!)
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
| Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. |
Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Метод подстановки
Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий.
Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.
Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.
После его решения и нахождения одной из переменных - последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.
Непонятно?
Давай рассмотрим на примере
Пример 1
Из второго уравнения очень просто выразить
Теперь подставим то, что получилось вместо
Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:
А теперь вернемся к выраженному
Итак,
Ответ:
Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде:
В случае трех неизвестных:
То есть ответ в нашем примере запишется так:
Ответ:
Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:
Пример 2
1) Здесь проще всего выразить
Ответ:
Пример 3
Выражаем
Ответ:
Пример 4
Здесь лучше выразить
Ответ:
Графический метод
Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.
Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.
Пример 5
Для этого сперва выразим
Видно, что графики пересекаются в точке с координатами
Графический метод – самый неточный.
Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида
Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).
Метод сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.
То есть:
(но ни в коем случае не наоборот:
Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число
Но раз
Пример 6
Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):
Вот как!
Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.
Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо
Ответ:
Пример 7
Очевидно, здесь сложение ничего не даст.
Придется решать другим методом?
Нет!
Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число?
Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.
Лучше всего умножить на
Теперь можно складывать:
Теперь подставим
Ответ:
Теперь порешай сам (методом сложения):
Пример 8
1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?
Хм....
Как из
Умножать на дробное число?
Слишком громоздко получится.
Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на
Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти
Подставляем в любое из уравнений и находим
Ответ:
Пример 9
2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на
Ответ:
3. Первое умножаем на
Ответ:
Пример 10
4. Умножать можно и на дроби, то есть делить.
Умножим первое уравнение на
Теперь сложим уравнения:
Подставив в первое уравнение, найдем
Ответ:
Тренировка без подсказок
Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!
Примеры 11-16
Как видишь, система уравнений - базовая, но не самая сложная тема!
Используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:
Методы решения систем уравнений:
1. Решение методом подстановки
Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.
Повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.
2. Решение графическим методом
Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Графический метод – самый неточный.
Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида
Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).
3. Решение методом сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.
То есть:
Но ни в коем случае не наоборот:
ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...
Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.
Теперь хотелось бы послушать тебя...
Как тебе статья?
Получается ли у тебя решать системы уравнений?
У тебя есть вопросы? Предложения?
Напиши в комментариях.
Мы читаем все.
И удачи на экзаменах!
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",
А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Комментарии
Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 - 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 - 5^y - 5^y = 100 складываем подобные - 2* 5^y = - 50 делим на 2 - 5^y = - 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x - 5^y = 100 5^x - 5^2 = 100 5^x - 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)
Эммм , а про однородные , симметричные и распадающиеся системы не слышали , было бы круто если у вас будет по ним теория
Спасибо за отзыв, господин ... ) Пока денег хватает только на поддержание сайта. Найдем деньги, напишем теорию )
а как быть если вместо равно больше или равно, или меньше или равно?
Речь идет о системе неравенств. Нужно решать каждое неравенство отдельно. Например, методом интервалов и затем находить решение для системы неравенств. Вот здесь неплохо написано: https://ege-ok.ru/2012/01/07/reshenie-sistemyi-neravenstv-s-odnim-ne А как решать каждое неравенство отдельно у нас есть целый раздел в учебнике. Загляни на главную страницу сайта: Youclever.org и найди раздел "Неравенства".
объясните пожалуйста подробно - как строить эти графики уравнений (пошагово, если можно)
А для линейных уравнений все просто. 1) Считаешь, что x=0, потом решаешь уравнение и находишь чему равен Y. Вот тебе первая точка прямой (x=0, Y = ). Отмечаешь ее на графике 2) Потом считаешь, что y=0, решаешь уравнение и находишь чему равень X. Это вторая точка прямой. Отмечаешь ее на графике. 3) Соединяешь две точки - вот тебе одна прямая. 4) Тоже самое проделываешь для другого уравнения системы. Получаешь вторую прямую. 5) Решение - пересечение прямых.
Таня, в первую очередь прочитай раздел "Графический метод" и обрати внимание вот на это: "Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида y=ax+b), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод.
1) Вычти одно уравнение из другого. При вычитании Y станет равным 0 и ты получишь уравнение с одной переменной X (которое уже можно решить) 2) Реши это уравнение и получи чему X 3) Подставь значение X в любое из двух уравнений и ты получишь уравнение с одной переменной Y (которое тоже можно уже решить) 4) Реши уравнени и посмотри чему равен Y 5) Сделай проверку: подставь X и Y в любое уравнение.
Здравствуйте! помогите решить пожалуйста x1-2x2-3x3=-4 3x1+x2-x3=3 4x1-x2-4x3=-1
Здравствуйте,а если в системе у первого уравнения ,например,условие 3<=x>=5 , а у второго x от 4 до 5,то 3 тоже включать в ответ или если у второго его нет,то и у всей системы нет 3?
Здравствуйте. А если у меня получилось корни равны х=у. Делаю проверку, 5/х-у на ноль делить нельзя! Что, ответ нет решений?
Михаил, всё верно, если в исходном уравнении (x-y) было в знаменателе, то это решение не подходит.
Здравствуйте. Решал такую систему: a^2+c^2=4 b^2+c^2=25 a^2+d^2=17 a+b=c+d Методом подстановки получается это: a^2+(a+sqrt(21+a^2)-sqrt(4-a^2))^2=17 Если раскрывать квадрат скобки, то это: 2*a^2+2*a*sqrt(21+a^2)-2*a*sqrt(4-a^2)-2*sqrt(4-a^2)*sqrt(21+a^2)+8=0 Но что с этим делать дальше, как искать а? Спасибо.
Никита, из одного уравнения выражаем одну из переменных (например, переменную х из первого), подставляем в остальные два - и получается система двух уравнений, которую уже умеем решать.
Ева! Попробуй прочитать сначала. Тут все написано подробно. Должно получиться.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ СИСТЕМУ МЕТОДОМ СЛОЖЕНИЯ: X^2-Y^2=3 6X+6Y=18
А как решать системы уравнений, где присутствуют дроби? уравнение: х-у=-2 и 1/х-1/у=1/12
Ребят, все в наших курсах по самостоятельной подготовке или на вебинарах в группах: https://youclever.org/online-courses/ Мы тут, к сожалению, не сможем всем ответить.
А где примеры где больше или меньше равно??????????????????????7!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Примеры с неравенствами в статях про неравенства и в наших других курсах и вебинарах https://youclever.org/online-courses/
Полинка, это нормально. Все когда-то ничего не понимали. Сделай шаг назади и начни с более простых тем. Потихоньку разберешься.
Здесь мы не решаем (разве только Алексей Шевчук найдет время). Решаем на вебинарах. https://youclever.org/online-courses/
У вас одна маленькая помарка в решении примера №4. Там где вычисляется x, должно быть x=5-5/2y, а не x=5-2/5y. :)
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить (11 в степени х^2-х -1) корень из 6х-3=0
Юлия, 11 ни в какой степени не может равняться 0, поэтому его можно спокойно отбросить, и останется только корень=0. Ответ x=1/2.
Ну вот! Можно идти, вторую докторскую степень получать :) Спасибо и вам, очень приятно слышать, что у вас получилось!
Здравствуйте, теория понятна, но нам дали систему уравнений, и всё... вообще ничего не понимаю... х^3 - х=у^3 - у 2х^2 + 3у^2 =5ху
Дарья, ага, это прямо сложная система. Предлагаю такой способ. [1] В первом перенести y^3 влево, а x вправо: х^3 - у^3 = x - у. [2] Теперь разложим слева разность кубов (см. тему "Формулы сокращённого умножения"): (x-y)(x^2 + xy + y^2) = (x-y). [3] переносим (x-y) налево и выносим его за скобки: (х-у)((x^2 + xy + y^2) -1) = 0 => либо (х-у)=0, либо (x^2 + xy + y^2 -1)=0. [4] Если (x-y)=0, то x=y. Подставим во второе, получи 5x^2=5x^2 => x - любое, то есть x принадлежит R, y=x. [5] Если (x^2 + xy + y^2 -1)=0, то лучше переключиться на второе уравнение - там хотя бы обычных чисел нет. Итак, 2х^2 + 3у^2 =5ху <=> 2х^2 + 3у^2 - 5ху = 0. Это однородное уравнение, загляните в статью по этой теме. Поделим всё уравнение на y^2 (y не равно 0, потому что если оно =0, то и x=0, но тогда первое уравнение не сходится). Получили 2(x/y)^2 + 3 -5 (x/y) = 0. [6] Замена: t=x/y => получается квадратное уравнение: 2t^2-5t+3=0. [7] Его корни t=1 и t=1,5. [8] Обратная замена: x/y = 1 (этот случай у нас уже рассмотрен) или x/y=1.5 => x=1.5y (помним, что y не =0). [9] Подставим в первое: ((1.5y)^2 + 1.5y*y + y^2 -1)=0 <=> 4.75y^2=1. Ну, дальше осталось только выразить y (получится 2 корня) и подставить в x=1,5y.
Здравствуйте, прекрасный сайт, все понятно, но я искала чуть чуть другое, подскажите как решить систему уравнений: х+у=82 х/у=5,4 Где х/у - / черта дроби. Я единственное, что понимаю, что можно деление заменить умножением, а дальше никак.
Ангелина, спасибо! Эту систему лучше всего решать методом подстановки: из второго выразим x=5.4y (при этом обязательно нужно дописать "y не равно 0"). Подставим в первое: 5,4y + y = 82 <=> 6,4y = 82 <=> y = 205/16 => x = 5.4*205/16 = 1107/16.
спасибки, всё легко и доступно, поняла как делать только на вашем сайте. админу особая благодарность, целую :-*
Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности
ответить