Система уравнений. Подробная теория с примерами (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?

Все, что нужно знать о решении системы уравнений - в этой статье.

Помни, твоя цель - хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты. 

Let's go... (Поехали!) 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


 

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

 

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

 

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных - последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примере

Пример 1.

 

Из второго уравнения очень просто выразить  :

 

Теперь подставим то, что получилось вместо   в первое уравнение:

 

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

 

 

 

 

 

А теперь вернемся к выраженному   и подставим в него полученное значение  :

 .

Итак,

Ответ:  

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде:  . В случае трех неизвестных:  , и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ:  

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

1) Здесь проще всего выразить   из второго уравнения неравенства –

 

 , а затем подставить в первое.

 

Ответ:  

2) Выражаем   из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ:  

3) Здесь лучше выразить   из первого уравнения:

 

 , а затем уже подставлять во второе.

 

Ответ:  

 

 

 

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера. Для этого сперва выразим   в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно  ):

 

графическое решение системы уравнений

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами  .

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть:

 

(но ни в коем случае не наоборот:  )

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число  :

 

Но раз  , в правой части можем заменить   на  :

 .

Пример 2

 

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

 .

Вот как!   просто уничтожился в результате сложения. Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо   число  :

 

Ответ:  

Пример 3.

 

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на  :

 

Теперь можно складывать:

 

 

Теперь подставим   в первое уравнение системы:

 

Ответ:  

Теперь порешай сам (методом сложения):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными? Хм. Как из   получить   или из   получить  ? Умножать на дробное число? Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на  , второе на  :


 

 

 

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти  .

 

Подставляем в любое из уравнений и находим  .

Ответ: .

2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на  , а второе на  , и сложить.

Ответ:  .

3. Первое умножаем на  , а второе на   и складываем.

Ответ:  .

4. Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на  , а второе на  :

 

Теперь сложим уравнения:

 

 

 

 

Подставив в первое уравнение, найдем  :

 

Ответ:  

 

 

 

Тренировка без подсказок

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ответы:

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Как видишь, система уравнений - базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

 

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

 

Методы решения систем уравнений:

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

 

Но ни в коем случае не наоборот:

 

 

ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО... 

Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.

Теперь хотелось бы послушать тебя...

Как тебе статья?

Получается ли у тебя решать системы уравнений?

У тебя есть вопросы? Предложения?

Напиши в комментариях.

Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Валя
10 марта 2018

Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности

ответить

Полина
22 июня 2018

Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 - 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 - 5^y - 5^y = 100 складываем подобные - 2* 5^y = - 50 делим на 2 - 5^y = - 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x - 5^y = 100 5^x - 5^2 = 100 5^x - 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)

ответить

Александр (админ)
31 января 2019

Полина, спасибо за помощь!

ответить

Никита
05 июля 2018

Объясните пожалуйста куда здесь девались (x-1) и (y-1)

ответить

Алексей Шевчук
15 августа 2018

Никита, уточни, пожалуйста, о каком примере идёт речь?

ответить

Настя Отличница)
15 ноября 2018

Спасибо) очень помогло, всё понятно и не запутанно.

ответить

Александр (админ)
15 ноября 2018

Ну вот, даже отличники у нас учатся! :) Спасибо Настя.

ответить

дЭбил(нет)
23 декабря 2018

Эммм , а про однородные , симметричные и распадающиеся системы не слышали , было бы круто если у вас будет по ним теория

ответить

Александр (админ)
23 декабря 2018

Спасибо за отзыв, господин ... ) Пока денег хватает только на поддержание сайта. Найдем деньги, напишем теорию )

ответить

наталья
31 января 2019

а как быть если вместо равно больше или равно, или меньше или равно?

ответить

Александр (админ)
31 января 2019

Речь идет о системе неравенств. Нужно решать каждое неравенство отдельно. Например, методом интервалов и затем находить решение для системы неравенств. Вот здесь неплохо написано: https://ege-ok.ru/2012/01/07/reshenie-sistemyi-neravenstv-s-odnim-ne А как решать каждое неравенство отдельно у нас есть целый раздел в учебнике. Загляни на главную страницу сайта: Youclever.org и найди раздел "Неравенства".

ответить

Таня
14 февраля 2019

объясните пожалуйста подробно - как строить эти графики уравнений (пошагово, если можно)

ответить

Александр (админ)
14 февраля 2019

А для линейных уравнений все просто. 1) Считаешь, что x=0, потом решаешь уравнение и находишь чему равен Y. Вот тебе первая точка прямой (x=0, Y = ). Отмечаешь ее на графике 2) Потом считаешь, что y=0, решаешь уравнение и находишь чему равень X. Это вторая точка прямой. Отмечаешь ее на графике. 3) Соединяешь две точки - вот тебе одна прямая. 4) Тоже самое проделываешь для другого уравнения системы. Получаешь вторую прямую. 5) Решение - пересечение прямых.

ответить

Александр (админ)
14 февраля 2019

Таня, в первую очередь прочитай раздел "Графический метод" и обрати внимание вот на это: "Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида y=ax+b), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод.

ответить

Мина
17 мая 2019

Здрасьте!я и без вас все знала.

ответить

Александр (админ)
17 мая 2019

Какая молодец, Мина! :)

ответить

Мага Юсуфов
06 июля 2019

Пожалуйста помогите мне решать уравнение y-x=-3. 2x+y=9

ответить

Помощник
06 июля 2019

1) Вычти одно уравнение из другого. При вычитании Y станет равным 0 и ты получишь уравнение с одной переменной X (которое уже можно решить) 2) Реши это уравнение и получи чему X 3) Подставь значение X в любое из двух уравнений и ты получишь уравнение с одной переменной Y (которое тоже можно уже решить) 4) Реши уравнени и посмотри чему равен Y 5) Сделай проверку: подставь X и Y в любое уравнение.

ответить

Антон
12 сентября 2019

спасибо

ответить

Александр (admin)
12 сентября 2019

Пожалуйста, Антон.

ответить

Дарья
23 сентября 2019

Спасибо вам!!

ответить

Александр (админ)
24 сентября 2019

Дарья, и тебе спасибо! Удачи!

ответить

Денис
01 октября 2019

Здравствуйте! помогите решить пожалуйста x1-2x2-3x3=-4 3x1+x2-x3=3 4x1-x2-4x3=-1

ответить

Настя
12 ноября 2019

Здравствуйте,а если в системе у первого уравнения ,например,условие 3<=x>=5 , а у второго x от 4 до 5,то 3 тоже включать в ответ или если у второго его нет,то и у всей системы нет 3?

ответить

Алексей Шевчук
15 ноября 2019

Настя, если у второго его нет,то и у всей системы нет 3.

ответить

Михаил Коляда
15 ноября 2019

Здравствуйте. А если у меня получилось корни равны х=у. Делаю проверку, 5/х-у на ноль делить нельзя! Что, ответ нет решений?

ответить

Алексей Шевчук
15 ноября 2019

Михаил, всё верно, если в исходном уравнении (x-y) было в знаменателе, то это решение не подходит.

ответить

Михаил Коляда
17 ноября 2019

Спасибо

ответить

Миша
15 ноября 2019

Здравствуйте. Решал такую систему: a^2+c^2=4 b^2+c^2=25 a^2+d^2=17 a+b=c+d Методом подстановки получается это: a^2+(a+sqrt(21+a^2)-sqrt(4-a^2))^2=17 Если раскрывать квадрат скобки, то это: 2*a^2+2*a*sqrt(21+a^2)-2*a*sqrt(4-a^2)-2*sqrt(4-a^2)*sqrt(21+a^2)+8=0 Но что с этим делать дальше, как искать а? Спасибо.

ответить

Никита
27 ноября 2019

А как решать систему из 3 линейных уравнений методом подстановки?

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2019

Никита, из одного уравнения выражаем одну из переменных (например, переменную х из первого), подставляем в остальные два - и получается система двух уравнений, которую уже умеем решать.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть