9 июля

0 comments

Системы уравнений (ЕГЭ – 2021)

Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?

Все, что нужно знать о решении системы уравнений – в этой статье.

Помни, твоя цель - хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты. 

Let's go! (Поехали!)

Что такое система уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Например, ты хочешь сходить на концерт любимой группы вечером. Для этого тебе нужно согласие мамы и папы ОДНОВРЕМЕННО. Мама запретит – уже не идешь. 🙂

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

\( \left\{ \begin{array}{l}Уравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\...\end{array} \right.\)

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.

После его решения и нахождения одной из переменных последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примере.

Пример 1

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=12\\3x-y=7\end{array} \right.\)

Из второго уравнения очень просто выразить \( y\):

\( 3x-y=7\text{ }\Rightarrow \text{ }y=3{x}-7\)

Теперь подставим то, что получилось вместо \( y\) в первое уравнение:

\( 2{x}+3{y}=12\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{x}+3\left( 3{x}-7 \right)=12\)

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

\( 2{x}+3\left( 3{x}-7 \right)=12\)

\( 2{x}+3\cdot 3{x}-3\cdot 7=12\)

\( 2{x}+9{x}-21=12\)

\( 11{x}=33\)

\( x=3\)

А теперь вернемся к выраженному \( y\) и подставим в него полученное значение \( x\):

\( y=3{x}-7=3\cdot 3-7=2\).

Итак,

Ответ: \( x=3;\text{ }y=2.\)

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: \( \left( x;\text{ }y \right)\).

В случае трех неизвестных: \( \left( x;\text{ }y;\text{ }z \right)\), и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ: \( (3;2)\)

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Пример 2. \( \left\{ \begin{array}{l}13x+6y=7\\2x-4y=6\end{array} \right.\)

Пример 3. \( \left\{ \begin{array}{l}6x-5y=23\\y+3x=8\end{array} \right.\)

Пример 4. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\8y-5x=57\end{array} \right.\)

Ответы:

Пример 2

Здесь проще всего выразить \( x\) из второго уравнения неравенства:

\( 2x-4y=6\)

\( 2x=6+4y\), а затем подставить в первое.

\( x=3+2y\)

Ответ: \( \left( 1;-1 \right)\)

Пример 3

Выражаем \( y\) из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ: \( \left( 3;-1 \right)\)

Пример 4

Здесь лучше выразить \( x\) из первого уравнения:

\( 2x+5y=10\)

\( 2x=10-5y\)

\( x=5-\frac{5}{2}y\), а затем уже подставлять во второе.

Ответ: \( \left( -5;4 \right)\)

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 5

Для этого сперва выразим \( y\) в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно \( x\)):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=12\\3x-y=7\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=4-\frac{2}{3}x\\y=3{x}-7\end{array} \right.\)

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами \( \left( 3;\text{ }2 \right)\).

Графический метод – самый неточный.

Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)

(но ни в коем случае не наоборот: \( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\))

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число \( c\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\)

Но раз \( c=d\), в правой части можем заменить \( c\) на \( d\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\).

Пример 6

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\)

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\underline{\underline{2x}}+\underline{y}+\underline{\underline{3x}}-\underline{y}=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }5x=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\).

Вот как! \( y\) просто уничтожился в результате сложения.

Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо \( x\) число \( 3\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2\cdot 3+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;\text{ }6 \right).\)

Пример 7

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом?

Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число?

Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.

Лучше всего умножить на \( (-2)\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\text{ }\left| \cdot \left( -2 \right) \right.\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Теперь можно складывать:

\( \left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }-4x-6y+4x+5y=-26+23\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-y=-3\text{ }\Leftrightarrow\)

\( y=3\)

Теперь подставим \( y=3\) в первое уравнение системы:

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2x+9=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 2;\text{ }3 \right).\)

Задачи

Теперь порешай сам! (Методом сложения)

Пример 8. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\3x-2y=1\end{array} \right.\)

Пример 9. \( \left\{ \begin{array}{l}3y-4x=-13\\3x+7y=56\end{array} \right.\)

Пример 10. \( \left\{ \begin{array}{l}7x+3y=21\\4y-5x=-15\end{array} \right.\)

Пример 11. \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\end{array} \right.\)

Ответы:

Пример 8 (одна из задач). Разбор

На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?

Хм. Как из \( 2\) получить \( -3\) или из \( 2\) получить \( 5\)? Умножать на дробное число?

Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения!

Например, первое на \( 2\), второе на \( 5\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\text{ }\left| \cdot 2 \right.\\3x-2y=1\text{ }\left| \cdot 5 \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+10y=20\\15x-10y=5\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти \( x\).

\( \text{ }19x=25\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{25}{19}\)

Подставляем в любое из уравнений и находим \( y\).

Ответ:\( \left( \frac{25}{19};\frac{28}{19} \right)\).

Пример 9. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на \( 3\), а второе на \( 4\), и сложить.

Ответ: \( \left( 7;\text{ }5 \right)\).

Пример 10. Первое умножаем на \( 4\), а второе на \( {-3}\) и складываем.

Ответ: \( \left( 3;\text{ }0 \right)\).

Пример 11. Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на \( \frac{1}{4}\), а второе на \( \frac{1}{5}\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\text{ }\left| \cdot \frac{1}{4} \right.\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\text{ }\left| \cdot \frac{1}{5} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь сложим уравнения:

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{3}{2x}\text{+}\frac{9}{5x}\text{=-0,5+1,6}\Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{15}{10x}\text{+}\frac{18}{10x}\text{= 1,1}\Leftrightarrow \frac{33}{10x}=1,1\Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow 33=11x\)

\( x=3\)

Подставив в первое уравнение, найдем \( y\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{3}-\frac{8}{y}=-2\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-\frac{8}{y}=-4\\x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;2 \right)\)

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

  1. 1
    \( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=11\\3x+2y=9\end{array} \right.\)
  2. 2
    \( \left\{ \begin{array}{l}3x-y=85\\5x+2y=17\end{array} \right.\)
  3. 3
    \( \left\{ \begin{array}{l}x-3y=6\\2y-5x=-4\end{array} \right.\)
  4. 4
    \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{4}-\frac{x}{5}=6\\\frac{x}{15}+\frac{y}{12}=0\end{array} \right.\) 
  5. 5
    \( \left\{ \begin{array}{l}y-x=5\\x+3y=3\end{array} \right.\)

Ответы:

  1. 1
    \( \left( 1;3 \right)\)
  2. 2
    \( \left( 17;-34 \right)\)
  3. 3
    \( \left( 0;-2 \right)\)
  4. 4
    \( \left( -15;12 \right)\) 
  5. 5
    \( \left( -3;2 \right)\)

Как видишь, система уравнений – базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Определение

Система уравнений  это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:
\( \left\{ \begin{array}{l}Уравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\...\end{array} \right.\)

Методы решения систем уравнений

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)

Но ни в коем случае не наоборот:

\( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Cлово самому старательному! (тебе 🙂 )

Мы постарались объяснить, что такое системы уравнений и как их решать.

Теперь хотелось бы послушать тебя...

Как тебе статья?

Получается ли у тебя решать системы уравнений? Какой метод тебе нравится больше всего?

У тебя есть вопросы? Предложения?

Напиши в комментариях.

Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>