Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)

Решение уравнений и систем уравнений – на самый легкий, но зато универсальный метод решения задач.

Этим методом можно решить буквально любую задачу.

Поэтому им стоит овладеть в совершенстве.

Читай эту статью и ты научишься решать системы уравнений.

Решение систем уравнений – коротко о главном

Определение:

Система уравнений –это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

\( \left\{ \begin{array}{l}Уравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\…\end{array} \right.\)

3 метода решения систем уравнений:

  1. Метод подстановки – самый простой, но трудоемкий;
  2. Графический метод – самый неточный, годится только для некоторых линейных уравнений;
  3. Метод сложения – наиболее эффективный из трех, но не всегда удобен.

А теперь подробнее…

Что такое система уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Например, ты хочешь сходить на концерт любимой группы вечером. Для этого тебе нужно согласие мамы и папы одновременно. Мама запретит – уже не идешь. 🙂

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

\( \left\{ \begin{array}{l}Уравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\…\end{array} \right.\)

3 метода решения систем уравнений

1. Метод подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Графический метод

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то использовать графический метод не рекомендуется.

3. Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)

Но ни в коем случае не наоборот:

\( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\)

Рассмотрим каждый из методов отдельно.

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.

После его решения и нахождения одной из переменных последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примерах.

Пример 1

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=12\\3x-y=7\end{array} \right.\)

Из второго уравнения очень просто выразить \( y\):

\( 3x-y=7\text{ }\Rightarrow \text{ }y=3{x}-7\)

Теперь подставим то, что получилось вместо \( y\) в первое уравнение:

\( 2{x}+3{y}=12\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{x}+3\left( 3{x}-7 \right)=12\)

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

\( 2{x}+3\left( 3{x}-7 \right)=12\)

\( 2{x}+3\cdot 3{x}-3\cdot 7=12\)

\( 2{x}+9{x}-21=12\)

\( 11{x}=33\)

\( x=3\)

А теперь вернемся к выраженному \( y\) и подставим в него полученное значение \( x\):

\( y=3{x}-7=3\cdot 3-7=2\).

Итак,

Ответ: \( x=3;\text{ }y=2.\)

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: \( \left( x;\text{ }y \right)\).

В случае трех неизвестных: \( \left( x;\text{ }y;\text{ }z \right)\), и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ: \( (3;2)\)

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Пример 2. \( \left\{ \begin{array}{l}13x+6y=7\\2x-4y=6\end{array} \right.\)

Пример 3. \( \left\{ \begin{array}{l}6x-5y=23\\y+3x=8\end{array} \right.\)

Пример 4. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\8y-5x=57\end{array} \right.\)

Ответы:

Пример 2

Здесь проще всего выразить \( x\) из второго уравнения неравенства:

\( 2x-4y=6\)

\( 2x=6+4y\), а затем подставить в первое.

\( x=3+2y\)

Ответ: \( \left( 1;-1 \right)\)

Пример 3

Выражаем \( y\) из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ: \( \left( 3;-1 \right)\)

Пример 4

Здесь лучше выразить \( x\) из первого уравнения:

\( 2x+5y=10\) \( 2x=10-5y\)

\( x=5-\frac{5}{2}y\), а затем уже подставлять во второе.

Ответ\( \left( -5;4 \right)\)

Графический метод

Недаром ответ при решении системы уравнений записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из примера №1.

Для этого сперва выразим \( y\) в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно \( x\)):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=12\\3x-y=7\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=4-\frac{2}{3}x\\y=3{x}-7\end{array} \right.\)

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами \( \left( 3;\text{ }2 \right)\).

Ответ: \( (3;2)\)

Графический метод – самый неточный.

Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)

(но ни в коем случае не наоборот: \( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\))

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число \( c\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\)

Но раз \( c=d\), в правой части можем заменить \( c\) на \( d\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\).

Пример №5

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\)

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\underline{\underline{2x}}+\underline{y}+\underline{\underline{3x}}-\underline{y}=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }5x=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\).

Вот как! \( y\) просто уничтожился в результате сложения.

Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо \( x\) число \( 3\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2\cdot 3+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;\text{ }6 \right).\)

Пример №6

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом?

Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число?

Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.

Лучше всего умножить на \( (-2)\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\text{ }\left| \cdot \left( -2 \right) \right.\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Теперь можно складывать:

\( \left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }-4x-6y+4x+5y=-26+23\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-y=-3\text{ }\Leftrightarrow\)

\( y=3\)

Теперь подставим \( y=3\) в первое уравнение системы:

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2x+9=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 2;\text{ }3 \right).\)

Теперь порешай сам! (Методом сложения)

Пример 7. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\3x-2y=1\end{array} \right.\)

Пример 8. \( \left\{ \begin{array}{l}3y-4x=-13\\3x+7y=56\end{array} \right.\)

Пример 9. \( \left\{ \begin{array}{l}7x+3y=21\\4y-5x=-15\end{array} \right.\)

Пример 10. \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\end{array} \right.\)

Ответы:

Пример 7

На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?

Хм. Как из \( 2\) получить \( -3\) или из \( 2\) получить \( 5\)? Умножать на дробное число?

Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения!

Например, первое на \( 2\), второе на \( 5\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\text{ }\left| \cdot 2 \right.\\3x-2y=1\text{ }\left| \cdot 5 \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+10y=20\\15x-10y=5\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти \( x\).

\( \text{ }19x=25\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{25}{19}\)

Подставляем в любое из уравнений и находим \( y\).

Ответ:\( \left( \frac{25}{19};\frac{28}{19} \right)\).

Пример 8.

Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на \( 3\), а второе на \( 4\), и сложить.

Ответ\( \left( 7;\text{ }5 \right)\).

Пример 9.

Первое умножаем на \( 4\), а второе на \( {-3}\) и складываем.

Ответ\( \left( 3;\text{ }0 \right)\).

Пример 10.

Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на \( \frac{1}{4}\), а второе на \( \frac{1}{5}\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\text{ }\left| \cdot \frac{1}{4} \right.\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\text{ }\left| \cdot \frac{1}{5} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь сложим уравнения:

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{3}{2x}\text{+}\frac{9}{5x}\text{=-0,5+1,6}\Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \frac{15}{10x}\text{+}\frac{18}{10x}\text{= 1,1}\Leftrightarrow \frac{33}{10x}=1,1\Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow 33=11x\) \( x=3\)

Подставив в первое уравнение, найдем \( y\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{3}-\frac{8}{y}=-2\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-\frac{8}{y}=-4\\x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;2 \right)\)

Тренировка без подсказок (и ты справишься!)

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

  • \( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=11\\3x+2y=9\end{array} \right.\)
  • \( \left\{ \begin{array}{l}3x-y=85\\5x+2y=17\end{array} \right.\)
  • \( \left\{ \begin{array}{l}x-3y=6\\2y-5x=-4\end{array} \right.\)
  • \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{4}-\frac{x}{5}=6\\\frac{x}{15}+\frac{y}{12}=0\end{array} \right.\) 
  • \( \left\{ \begin{array}{l}y-x=5\\x+3y=3\end{array} \right.\)

Ответы

  • \( \left( 1;3 \right)\)
  • \( \left( 17;-34 \right)\)
  • \( \left( 0;-2 \right)\)
  • \( \left( -15;12 \right)\) 
  • \( \left( -3;2 \right)\)

Как видишь, система уравнений – базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Слово самому старательному! (тебе 🙂 )

Мы постарались объяснить, что такое системы уравнений и как их решать.

Теперь хотелось бы послушать тебя…

Как тебе статья?

Получается ли у тебя решать системы уравнений? Какой метод тебе нравится больше всего?

У тебя есть вопросы? Предложения?

Напиши в комментариях.

Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *