Свойства степеней и действия с ними

Определение степени

Степенью называется выражение вида: \(  {{a}^{b}}\), где \(  a\) – основание степени и \(  b\) – показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

• \(  {{a}^{1}}=a\)
• \(  {{a}^{2}}=a\cdot a\)
• \(  {{a}^{3}}=a\cdot a\cdot a\)

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя \(  n\) раз:

• \(  {{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot …a}_{n}\)

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

\(  {{a}^{n}}={{a}^{n}},\ n>0\)

Возведение в нулевую степень:

\(  {{a}^{0}}=1,\ a\ne 0\) . \(  {{0}^{0}}\) – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, \(  0\) в любой степени – это \(  0\) , а с другой – любое число в \(  0\) -ой степени – это \(  1\) .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

\(  {{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}},\ a\ne 0\) (т.к. на \(  0\) делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение \(  {{0}^{k}}\) не определено в случае \(  k\le 0\). Если \(  k>0\) , то \(  {{0}^{k}}=0\) .

Примеры:

\(  {{6}^{-1}}=\frac{1}{6}\) \(  {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=\frac{4}{9}\)

Степень с рациональным показателем

Если,

• \(  a>0\);
• \(  m\) – натуральное число;
• \(  n\) – целое число;

Тогда:

• \(  {{a}^{\frac{n}{m}}}=\sqrt[m]{{{a}^{n}}}\)

Примеры:

\(  {{a}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a}\) \(  {{a}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{a}\) \(  {{a}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{{{a}^{3}}}}\)

Свойства степеней

Произведение степеней	\(  {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\)  \(  {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\)
Деление степеней	\(  \frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}\)  \(  \frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\)
Возведение степени в степень	\(  {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}\)

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Доказательства свойств степени

1. \(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\)

Посмотрим: что такое \(  \displaystyle {{a}^{n}}\) и \(  \displaystyle {{a}^{m}}\) ?

По определению:

\(  \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}\text{ }\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }{{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}\)

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к \(  \displaystyle n\) множителям мы дописали \(  \displaystyle m\) множителей, итого получилось \(  \displaystyle n+m\) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

\(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n+m\text{ множителей}}\)

Но по определению это степень числа \(  \displaystyle \mathbf{a}\) с показателем \(  \displaystyle \mathbf{n}+\mathbf{m}\), то есть:

\(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение \(  \displaystyle {{5}^{4}}\cdot {{5}^{7}}\cdot {{5}^{9}}\) .

Решение: \(  \displaystyle {{5}^{4}}\cdot {{5}^{7}}\cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}}\) .

Пример: Упростите выражение \(  \displaystyle {{3}^{5}}\cdot {{3}^{8}}\cdot {{5}^{7}}\) .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием \(  \displaystyle 3\) мы объединяем, а \(  \displaystyle {{5}^{7}}\) остается отдельным множителем:

\(  \displaystyle {{3}^{5}}\cdot {{3}^{8}}\cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}\cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}\cdot {{5}^{7}}\) .

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что \(  \displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}\) .

2. \(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\)

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

\(  \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{b}^{n}}=\underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }{{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}\) .

Перегруппируем это произведение так:

\(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}=\underbrace{\left( a\cdot b \right)\cdot \left( a\cdot b \right)\cdot …\cdot \left( a\cdot b \right)}_{n\text{ множителей}}\).

Получается, что выражение \(  \displaystyle a\cdot b\) умножается само на себя \(  \displaystyle n\) раз, то есть, согласно определению, это и есть \(  \displaystyle n\) -я степень числа \(  \displaystyle a\cdot b\) :

\(  \displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\), ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: \(  \displaystyle {{2}^{4}}+{{3}^{4}}\ne {{\left( 2+3 \right)}^{4}}\) !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать \(  \displaystyle {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) ? Но это неверно, ведь \(  \displaystyle {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) .

3. \(  \displaystyle \frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}\)

И снова используем определение степени:

\(  \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}\text{ }\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }\frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=\frac{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}}\)

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что \(  \displaystyle n>m\) (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда \(  \displaystyle m\) множителей числителя сокращаются со всеми \(  \displaystyle m\) множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве \(  \displaystyle n-m\) штук:

\(  \displaystyle \frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=\frac{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}}=\frac{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n-m\text{ множителей}}}{1}={{a}^{n-m}}\) , ч.т.д.

4. \(  \displaystyle \frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\)

Все как обычно – записываем определение степеней \(  \displaystyle {{a}^{n}}\) и \(  \displaystyle {{b}^{n}}\) , делим их друг на друга, разбиваем на пары \(  \displaystyle \frac{a}{b}\) и получаем:

\(  \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{b}^{n}}=\underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}=\frac{\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}}=\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot …\cdot \frac{a}{b}}_{n\text{ множителей}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\) , ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.