Коротко о главном Средний уровень

Теорема косинусов. Коротко о главном.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

 

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике:
 

А что будет, если  , скажем, острый?

Теорема косинусов рис. 1 Вроде ясно, что величина   должна быть меньше, чем  . Но вот на сколько меньше?

А если   - тупой?

Теорема косинусов рис. 2 Ну, тогда величина   больше, чем  ? Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной  ?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов рис. 3  

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой  . Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть  .

Итак,  , то есть острый.

Теорема косинусов случай 1 Проведем высоту   из точки  и рассмотрим треугольник  . Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

 

Что такое   и  ?

  можно выразить из треугольника (прямоугольного!)  .

 

А вот   (снова из  ).

Подставляем:

 

Раскрываем:

 

Пользуемся тем, что   и… всё!

 .

2 Случай: пусть  .

Итак,  , то есть тупой.

Теорема косинусов случай 2 Начинаем точно также: опускаем высоту из точки  . И снова:
 

А теперь, внимание, отличие!

  - это из  , который теперь оказался снаружи  , а

 .

Вспоминаем, что

 

 

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит,   - и все! Отличие закончилось!

 , - как и было, то есть:

 .

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть  .

Итак,  . Но тогда   и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

 .

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

 .

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть