12 июля

1 comments

Теорема косинусов. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Что же такое теорема косинусов?

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт! 

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь.

Один рисунок лучше тысячи слов 🙂

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Поехали!

Формулировка теоремы косинусов

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

В прямоугольном треугольнике:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

А что будет, если \(  \displaystyle \angle C\), скажем, острый?

Вроде ясно, что величина \(  \displaystyle {{c}^{2}}\)  должна быть меньше, чем \(  \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Но вот на сколько меньше?

В прямоугольном треугольнике:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

А если \(  \displaystyle \angle C\) – тупой?

Ну, тогда величина \(  \displaystyle {{c}^{2}}\)  больше, чем \(  \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)? 

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \(  \displaystyle \angle C\)?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \)

Доказательство теоремы косинусов

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой \(  \displaystyle «-2ab\cos \gamma »\). Ну вот, давай доказывать.

Случай 1: пусть \(  \displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}\)

Итак, \(  \displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}\), то есть острый.

Проведем высоту \(  \displaystyle AH\) из точки \(  \displaystyle A\) и рассмотрим треугольник \(  \displaystyle AHB\).

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

Что такое \(  \displaystyle AH\) и \(  \displaystyle HB\) ?

\(  \displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \(  \displaystyle AHC\).

\(  \displaystyle AH=b\sin \gamma \)

А вот \(  \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \(  \displaystyle \Delta AHC\) ).

Подставляем:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma \right)}^{2}}\)

Раскрываем:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=\underbrace{{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}\gamma }_{{}}+{{a}^{2}}-2ab\cos \gamma +\underbrace{{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}\gamma }_{{}}\)

Пользуемся тем, что \(  \displaystyle {{\sin }^{2}}\gamma +{{\cos }^{2}}\gamma =1\) и… всё!

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Случай 2: пусть \(  \displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}\)

Итак, \(  \displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}\) , то есть тупой.

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \(  \displaystyle A\).

И снова:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

А теперь, внимание, отличие!

\(  \displaystyle AH=b\sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)\) - это из \(  \displaystyle \Delta AHC\) , который теперь оказался снаружи \(  \displaystyle \Delta ABC\), а

\(  \displaystyle BH=a+b\cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)\).

Вспоминаем, что

\(  \displaystyle \sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)=\sin \gamma \)

\(  \displaystyle \cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)=-\cos \gamma \)

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, \(  \displaystyle \left| \begin{array}{l}AH=b\sin \gamma \\BH=a-b\cos \gamma \end{array} \right.\) – и все! Отличие закончилось!

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma \right)}^{2}}\) , – как и было, то есть:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Ну и остался последний случай.

Случай 3: пусть \(  \displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}\)

Итак, \(  \displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}\). Но тогда \(  \displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).

Зачем нужна теорема косинусов?

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

\(  \displaystyle {\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}-{c}^{2}}}{2{a}{b}}}\)

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Расскажи про свой опыт!

Раз ты решил изучить эту статью, тебе либо понадобилась эта теорема, либо ты просто хочешь лучше разбираться в геометрии и тригонометрии! И это прекрасно!

Это очень полезная теорема.

Расскажи нам ниже в комментариях, помогла ли тебе эта статья. И есть ли у тебя вопросы или предложения.

Мы читаем все.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ntpy_dame
    31 октября 2019
    Приятно оформленный сайт и хорошо изложенный материал, спасибо за ваш труд

    Беслан
    20 ноября 2019
    Спасибо! Очень доступно

    Лариса
    23 января 2020
    Спасибо! Более понятного объяснения не видела!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >