Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Что же такое теорема косинусов?

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт! 

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов 🙂

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Поехали!

Теорема косинусов – коротко о главном

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \)

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.

Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

А что будет, если угол \(  \displaystyle \angle C\), скажем, острый?

Вроде ясно, что величина \(  \displaystyle {{c}^{2}}\)  должна быть меньше, чем \(  \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Но вот на сколько меньше?

А если угол \(  \displaystyle \angle C\) – тупой?

Ну, тогда величина \(  \displaystyle {{c}^{2}}\)  больше, чем \(  \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)? 

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \(  \displaystyle \angle C\)?

Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: \(  \displaystyle «-2ab\cos \gamma »\).

Вот она и “адаптирует” теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.

Доказательство теоремы косинусов

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \)

Рассмотрим три случая:

  • угол С острый,
  • угол С тупой,
  • угол С прямой.

И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!

Угол С острый

\(  \displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}\)

Проведем высоту \(  \displaystyle AH\) из точки \(  \displaystyle A\) и рассмотрим треугольник \(  \displaystyle AHB\).

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

Что такое \(  \displaystyle AH\) и \(  \displaystyle HB\) ?

\(  \displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \(  \displaystyle AHC\).

\(  \displaystyle AH=b\sin \gamma \)

А вот \(  \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \(  \displaystyle \Delta AHC\) ).

Подставляем:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma \right)}^{2}}\)

Раскрываем:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=\underbrace{{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}\gamma }_{{}}+{{a}^{2}}-2ab\cos \gamma +\underbrace{{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}\gamma }_{{}}\)

Пользуемся тем, что \(  \displaystyle {{\sin }^{2}}\gamma +{{\cos }^{2}}\gamma =1\) и… всё!

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Угол С тупой

\(  \displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}\)

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \(  \displaystyle A\). 

И снова:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

А теперь, внимание, отличие!

\(  \displaystyle AH=b\sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)\) – это из \(  \displaystyle \Delta AHC\) , который теперь оказался снаружи \(  \displaystyle \Delta ABC\), а

\(  \displaystyle BH=a+b\cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)\).

Вспоминаем, что

\(  \displaystyle \sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)=\sin \gamma \)

\(  \displaystyle \cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma \right)=-\cos \gamma \)

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, \(  \displaystyle \left| \begin{array}{l}AH=b\sin \gamma \\BH=a-b\cos \gamma \end{array} \right.\) – и все! Отличие закончилось!

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma \right)}^{2}}\) , – как и было, то есть:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Ну и остался последний случай.

Угол С прямой

\(  \displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}\).

Но тогда \(  \displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

\(  \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:

\(  \displaystyle {\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}-{c}^{2}}}{2{a}{b}}}\)

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) – универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части. 

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Расскажи про свой опыт!

Раз ты решил изучить эту статью, тебе либо понадобилась эта теорема, либо ты просто хочешь лучше разбираться в геометрии и тригонометрии! И это прекрасно!

Это очень полезная теорема.

Расскажи нам ниже в комментариях, помогла ли тебе эта статья. И есть ли у тебя вопросы или предложения.

Мы читаем все.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ntpy_dame
    31 октября 2019
    Приятно оформленный сайт и хорошо изложенный материал, спасибо за ваш труд

    Беслан
    20 ноября 2019
    Спасибо! Очень доступно

    Лариса
    23 января 2020
    Спасибо! Более понятного объяснения не видела!