Теорема косинусов. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике:
 

А что будет, если  , скажем, острый?

Теорема косинусов рис. 1 Вроде ясно, что величина   должна быть меньше, чем  . Но вот на сколько меньше?

А если   - тупой?

Теорема косинусов рис. 2 Ну, тогда величина   больше, чем  ? Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной  ?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов рис. 3  

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой  . Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть  .

Итак,  , то есть острый.

Теорема косинусов случай 1 Проведем высоту   из точки  и рассмотрим треугольник  . Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

 

Что такое   и  ?

  можно выразить из треугольника (прямоугольного!)  .

 

А вот   (снова из  ).

Подставляем:

 

Раскрываем:

 

Пользуемся тем, что   и… всё!

 .

2 Случай: пусть  .

Итак,  , то есть тупой.

Теорема косинусов случай 2 Начинаем точно также: опускаем высоту из точки  . И снова:
 

А теперь, внимание, отличие!

  - это из  , который теперь оказался снаружи  , а

 .

Вспоминаем, что

 

 

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит,   - и все! Отличие закончилось!

 , - как и было, то есть:

 .

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть  .

Итак,  . Но тогда   и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

 .

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

 .

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

 

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Ntpy_dame
31 октября 2019

Приятно оформленный сайт и хорошо изложенный материал, спасибо за ваш труд

ответить

Александр (админ)
31 октября 2019

Спасибо, большое за хорошие слова!

ответить

Беслан
20 ноября 2019

Спасибо! Очень доступно

ответить

Александр (админ)
20 ноября 2019

Спасибо, Беслан! Очень рады.

ответить

Даниил
25 ноября 2019

Случай, если при C<90 B>90, т.е. H лежит вне отрезка BC, не рассмотрен(

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2019

Даниил, этот случай ничем не отличается от случая "2. ∠C>90" - просто поменяйте местами точки B и C,

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть