Угол между прямой и плоскостью. Визуальный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Угол между прямой и плоскостью – это...

...угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

 

Вот, смотри: прямая   плоскость  . Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ( ) из любой точки прямой   на плоскость  .

 

А потом провести прямую через точки   и  . Эта прямая ( ) называется проекцией прямой   на плоскость  . Так вот, угол между прямой   и плоскостью   (по определению !) равен углу ( ) между   и  .

 

 

Угол между прямой и плоскостью в задачах.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

 

Геометрический метод.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

 

Алгебраический метод.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

Здесь ( ), ( )- координаты двух точек на прямой,  ,  ,   –координаты в уравнении плоскости:  .

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

 

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью:

 

В правильной шестиугольной пирамиде   точка  - середина ребра. Найти угол между прямой   и плоскостью основания, если  .

Решение геометрическим методом:

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания  , то  - это проекция  , а точка   проецируется в точку  - середину отрезка  . И теперь  - это проекция  , а искомый угол между прямой   и плоскостью основания – это  .

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то  , тогда боковые рёбра –  . Заметь, что   – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

 

 

(Помним тут, что  ;  …..)

  (Это  )

Значит,

 

 

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Введём систему координат с центром в точке  , осями   – вдоль  ,   и  ,   – вдоль  .

Тогда координаты точки  

Откуда?

 ;  

Координаты точки  :

 

 

 

Значит  

Уравнение плоскости  

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью  

Сверим ответы. Если  , то   и  

Сошлось!

Ответ:  

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать   и  , а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

 

• Что тебе понравилось? Что не понравилось?
• Может быть ты нашел ошибку?
• Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

 

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!