Коротко о главном Средний уровень

Угол между прямой и плоскостью. Средний уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Угол между прямой и плоскостью – это...

...угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

Прямая и плоскость
Вот, смотри: прямая плоскость . Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ( ) из любой точки прямой на плоскость .

Прямая и плоскость. Проекция.

А потом провести прямую через точки и . Эта прямая ( ) называется проекцией прямой на плоскость . Так вот, угол между прямой и плоскостью (по определению !) равен углу ( ) между и .

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF...

Скачай ее здесь!

Угол между прямой и плоскостью в задачах.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Здесь ( ), ( )- координаты двух точек на прямой, , , –координаты в уравнении плоскости: .

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью:

В правильной шестиугольной пирамиде точка - середина ребра. Найти угол между прямой и плоскостью основания, если .

Решение геометрическим методом:

Правильная шестиугольная пирамида. Высота

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания , то - это проекция , а точка проецируется в точку - середину отрезка . И теперь - это проекция , а искомый угол между прямой и плоскостью основания – это .

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то , тогда боковые рёбра – . Заметь, что – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

(Помним тут, что ; …..)

(Это )

Значит,

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Правильная шестиугольная пирамида. Система координат.

Введём систему координат с центром в точке , осями – вдоль , и , – вдоль .

Тогда координаты точки

Откуда?

;

Координаты точки :

Значит

Уравнение плоскости

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Сверим ответы. Если , то и

Сошлось!

Ответ:

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать и , а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

Что тебе понравилось? Что не понравилось?
Может быть ты нашел ошибку?
Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.