Угол между прямой и плоскостью. Средний уровень.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

Угол между прямой и плоскостью – это...

...угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

 

Вот, смотри: прямая   плоскость  . Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ( ) из любой точки прямой   на плоскость  .

 

А потом провести прямую через точки   и  . Эта прямая ( ) называется проекцией прямой   на плоскость  . Так вот, угол между прямой   и плоскостью   (по определению !) равен углу ( ) между   и  .

 

 

Угол между прямой и плоскостью в задачах.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

 

Геометрический метод.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

 

Алгебраический метод.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

Здесь ( ), ( )- координаты двух точек на прямой,  ,  ,   –координаты в уравнении плоскости:  .

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

 

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью:

 

В правильной шестиугольной пирамиде   точка  - середина ребра. Найти угол между прямой   и плоскостью основания, если  .

Решение геометрическим методом:

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания  , то  - это проекция  , а точка   проецируется в точку  - середину отрезка  . И теперь  - это проекция  , а искомый угол между прямой   и плоскостью основания – это  .

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то  , тогда боковые рёбра –  . Заметь, что   – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

 

 

(Помним тут, что  ;  …..)

  (Это  )

Значит,

 

 

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Введём систему координат с центром в точке  , осями   – вдоль  ,   и  ,   – вдоль  .

Тогда координаты точки  

Откуда?

 ;  

Координаты точки  :

 

 

 

Значит  

Уравнение плоскости  

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью  

Сверим ответы. Если  , то   и  

Сошлось!

Ответ:  

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать   и  , а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

 

• Что тебе понравилось? Что не понравилось?
• Может быть ты нашел ошибку?
• Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке: