Коротко о главном Средний уровень

Угол между прямой и плоскостью. Средний уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Угол между прямой и плоскостью – это...

...угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

 

Прямая и плоскость
Вот, смотри: прямая   плоскость  . Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ( ) из любой точки прямой   на плоскость  .

 

Прямая и плоскость. Проекция.

А потом провести прямую через точки   и  . Эта прямая ( ) называется проекцией прямой   на плоскость  . Так вот, угол между прямой   и плоскостью   (по определению !) равен углу ( ) между   и  .

 

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF...

Скачай ее здесь!

 

Угол между прямой и плоскостью в задачах.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

 

Геометрический метод.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

 

Алгебраический метод.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

Координаты точек на прямой Здесь ( ), ( )- координаты двух точек на прямой,  ,  ,   –координаты в уравнении плоскости:  .

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

 

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью:

 

Правильная шестиугольная пирамида В правильной шестиугольной пирамиде   точка  - середина ребра. Найти угол между прямой   и плоскостью основания, если  .

Решение геометрическим методом:

Правильная шестиугольная пирамида. Высота Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания  , то  - это проекция  , а точка   проецируется в точку  - середину отрезка  . И теперь  - это проекция  , а искомый угол между прямой   и плоскостью основания – это  .

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то  , тогда боковые рёбра –  . Заметь, что   – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

 

 

(Помним тут, что  ;  …..)

  (Это  )

Значит,

 

 

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Правильная шестиугольная пирамида. Система координат. Введём систему координат с центром в точке  , осями   – вдоль  ,   и  ,   – вдоль  .

Тогда координаты точки  

Откуда?

  

Координаты точки  :

 

 

 

Значит  

Уравнение плоскости  

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью  

Сверим ответы. Если  , то   и  

Сошлось!

Ответ:  

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать   и  , а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

 

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку