Угол между прямой и плоскостью (ЕГЭ 2022)

Привет!

Почти половина четверти уходит у школы на то, чтобы, изучая стереометрию, объяснить, как находятся различные углы в пространстве. 

Один из таких – угол между прямой и плоскостью, очень важный момент!

А мы попробуем объяснить тебе это за 15 минут!

Поехали!

Угол между прямой и плоскостью – коротко о главном

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|\)

Что есть угол между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью —  это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.


Вот, смотри: прямая \( a\) плоскость \( \displaystyle \alpha \).

Как определить угол между ними?

В соответствии с определением, которое мы только что дали), нужно опустить перпендикуляр (\( \displaystyle {{B}_{0}}\)) из любой точки прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \).

А потом провести прямую через точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle O\).

Эта прямая (\( \displaystyle {{a}’}\)) называется проекцией прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \).

Так вот, по определению, угол между прямой \( \displaystyle a\) и плоскостью \( \displaystyle \alpha \) равен углу (\( \displaystyle \varphi \)) между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle {{a}’}\).

Угол между прямой и плоскостью в задачах

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опустится перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|\)

Здесь (\( \displaystyle {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}}\)), (\( \displaystyle {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}}\)) – координаты двух точек на прямой, \( \displaystyle A\), \( \displaystyle B\), \( \displaystyle C\) – координаты в уравнении плоскости: \( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0\).

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точка \( \displaystyle M\) – середина ребра.

Найти угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \( \displaystyle SE=3FE\).

Решение задачи геометрическим методом

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \( \displaystyle O\), то \( \displaystyle OE\) – это проекция \( \displaystyle SE\), а точка \( \displaystyle M\) проецируется в точку \( \displaystyle K\) – середину отрезка \( \displaystyle OE\).

И теперь \( \displaystyle FK\) – это проекция \( \displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \( \displaystyle \angle MFK\).

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \( \displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \( \displaystyle 3a\). Заметь, что \( \displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Проще всего найти тангенс этого угла.

\( \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{MK}{FK}\) \( \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

(Помним тут, что \( \displaystyle BE=2AB\); \( \displaystyle OE=AB=FE=\)…..)

\( \displaystyle FK=FE\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (Это \( \displaystyle \Delta FKE\))

Значит,

\( \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Решение задачи алгебраическим методом (методом координат)

Введём систему координат с центром в точке \( \displaystyle O\), осями \( \displaystyle Ox\) – вдоль \( \displaystyle OE\), \( \displaystyle Oy\ -\ \bot AF\) и \( \displaystyle CD\), \( \displaystyle Oz\) – вдоль \( \displaystyle OS\).

Тогда координаты точки \( \displaystyle F(\frac{a}{2};~-\frac{a\sqrt{3}}{2};0)\)

Откуда?

\( \displaystyle \text{x}=LF=\frac{a}{2}\); \( \displaystyle y=-FK=-a\sin 60{}^\circ =-\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Координаты точки \( \displaystyle M\):

\( \displaystyle M(OK;0;MK)\) \( \displaystyle OK=LF=\frac{a}{2};\) \( \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

Значит \( \displaystyle M\left( \frac{a}{2};0;a\sqrt{2} \right)\)

Уравнение плоскости \( \displaystyle ABCDEF:Z=0\)

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью

\( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{0\left( \frac{a}{2}-\frac{a}{2} \right)+0\cdot \left( 0-\left( -\frac{a\sqrt{3}}{a} \right) \right)+1\cdot \left( a\sqrt{2}-0 \right)}{\sqrt{0+\frac{3}{4}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}\cdot \sqrt{0+0+1}} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{11}a}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\)

Сверим ответы. Если \( \sin \varphi =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\), то \( \cos \varphi =\sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\) и \( tg\varphi =\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Сошлось!

Ответ: \( arctg\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать \( FK\) и \( MK\), а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Но помни: есть задачи, в которых удобнее применить именно алгебраический метод!

Все зависит от задачи. Поэтому важно научиться пользоваться двумя методами.

Бонусы: вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14. Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Расстояние между точками и от точки до прямой – это первое видео раздела “Стереометрия”, входящее в полный курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).

В этом видео мы научимся “видеть” 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).

Затем мы научимся двум основным вещам – находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ №14. Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ

Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.

Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.

Об этом в нашем вебинаре в задаче о шестиугольной призме.

ЕГЭ 14 Стереометрия. Разбора задачи статграда, февраль 2021

Что проще: призма или пирамида? Хоть в призме и больше рёбер и граней, но с пирамидами справляться сложнее, причём прямо начиная с рисунка: все линии налезают друг на друга, ничего нигде не параллельно, в общем, лучше бы призму дали.

Но как только научились рисовать пирамиду, сразу всё стало проще: кругом одни треугольники, а как известно, фигур проще треугольника в геометрии найти не так-то просто :)

А если где прямые углы найдём, то вообще сказка.

Из этого видео вы узнаете, как правильно рисовать пирамиду и научитесь решать задачу №14 из февральского СтатГрада

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Твое мнение?

Угол между прямой и плоскостью – одна из важнейших тем стереометрии. 

Что ж, поздравляю! Разобравшись с ней сейчас, ты подарил себе в будещем легкое решение множества задач.

Разобраться с ней очень важно. Потому что я помню, как в школьные годы считал себя умником и пытался решать задачи по нахождению угла на глаз. Ужасное решение! Особенно когда твой ответ – 60 градусов, а учебник говорит тебе, что ответ – арккосинус одной третьей.

Напиши нам ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Все ли было понятно? Понравилась ли она тебе?

И если остались вопросы, обязательно задавай их.

Мы ответим.

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *