16 июля

0 comments

Угол между прямой и плоскостью. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Почти половина четверти уходит у школы на то, чтобы, изучая стереометрию, объяснить, как находятся различные углы в пространстве. 

Один из таких – угол между прямой и плоскостью, очень важный момент.

А мы попробуем объяснить тебе это за 15 минут!

Поехали!

Что есть угол между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью —  это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Вот, смотри: прямая \( a\) плоскость \( \displaystyle \alpha \). Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр (\( \displaystyle {{B}_{0}}\)) из любой точки прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \).

А потом провести прямую через точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle O\). Эта прямая (\( \displaystyle {{a}'}\)) называется проекцией прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \). Так вот, угол между прямой \( \displaystyle a\) и плоскостью \( \displaystyle \alpha \) (по определению !) равен углу (\( \displaystyle \varphi \)) между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle {{a}'}\).

Нахождение угла между прямой и плоскостью в задачах

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опустится перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|\)

Здесь (\( \displaystyle {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}}\)), (\( \displaystyle {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}}\)) – координаты двух точек на прямой, \( \displaystyle A\), \( \displaystyle B\), \( \displaystyle C\) – координаты в уравнении плоскости: \( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0\).

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точка \( \displaystyle M\) – середина ребра.

Найти угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \( \displaystyle SE=3FE\).

Решение задачи геометрическим методом 

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \( \displaystyle O\), то \( \displaystyle OE\) – это проекция \( \displaystyle SE\), а точка \( \displaystyle M\) проецируется в точку \( \displaystyle K\) – середину отрезка \( \displaystyle OE\).

И теперь \( \displaystyle FK\) – это проекция \( \displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \( \displaystyle \angle MFK\).

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \( \displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \( \displaystyle 3a\). Заметь, что \( \displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

\( \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{MK}{FK}\)

\( \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

(Помним тут, что \( \displaystyle BE=2AB\); \( \displaystyle OE=AB=FE=\)…..)

\( \displaystyle FK=FE\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (Это \( \displaystyle \Delta FKE\))

Значит,

\( \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Решение задачи алгебраическим методом (методом координат)

Введём систему координат с центром в точке \( \displaystyle O\), осями \( \displaystyle Ox\) – вдоль \( \displaystyle OE\), \( \displaystyle Oy\ -\ \bot AF\) и \( \displaystyle CD\), \( \displaystyle Oz\) – вдоль \( \displaystyle OS\).

Тогда координаты точки \( \displaystyle F(\frac{a}{2};~-\frac{a\sqrt{3}}{2};0)\)

Откуда?

\( \displaystyle \text{x}=LF=\frac{a}{2}\); \( \displaystyle y=-FK=-a\sin 60{}^\circ =-\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Координаты точки \( \displaystyle M\):

\( \displaystyle M(OK;0;MK)\)

\( \displaystyle OK=LF=\frac{a}{2};\)

\( \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

Значит \( \displaystyle M\left( \frac{a}{2};0;a\sqrt{2} \right)\)

Уравнение плоскости \( \displaystyle ABCDEF:Z=0\)

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью \( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{0\left( \frac{a}{2}-\frac{a}{2} \right)+0\cdot \left( 0-\left( -\frac{a\sqrt{3}}{a} \right) \right)+1\cdot \left( a\sqrt{2}-0 \right)}{\sqrt{0+\frac{3}{4}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}\cdot \sqrt{0+0+1}} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{11}a}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\)

Сверим ответы. Если \( \sin \varphi =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\), то \( \cos \varphi =\sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\) и \( tg\varphi =\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Сошлось!

Ответ: \( arctg\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать \( FK\) и \( MK\), а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Но помни: есть задачи, в которых удобнее применить именно алгебраический метод!

Все зависит от задачи. Поэтому важно научиться пользоваться двумя методами.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Определение

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\( \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Нам важно твое мнение!

Угол между прямой и плоскостью – одна из важнейших тем стереометрии. 

Что ж, поздравляю! Разобравшись с ней сейчас, ты подарил себе в будещем легкое решение множества задач.

Разобраться с ней очень важно. Потому что я помню, как в школьные годы считал себя умником и пытался решать задачи по нахождению угла на глаз. Ужасное решение. Особенно когда твой ответ – 60 градусов, а учебник говорит тебе, что ответ – арккосинус одной третьей.

Я очень горжусь тобой, ведь эта тема далеко не из легких. И ты нашел в себе силы разобраться с ней сам.

Напиши нам ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Все ли было понятно? Понравилась ли она тебе?

И если остались вопросы, обязательно задавай их.

Мы обязательно тебе ответим.

Успехов!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>