Коротко о главном Средний уровень

Перпендикулярность прямых в пространстве. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Перпендикулярность в пространстве рис. 1

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

Перпендикулярность в пространстве рис. 2

прямая   перпендикулярна прямой  , хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми   и  , нужно через произвольную точку   на прямой a провести прямую  . И тогда угол между   и   (по определению!) будет равен углу между   и  .

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые   и  , то нужно считать перпендикулярными прямые   и  .

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб  . И тебя просят найти угол между прямыми   и  . Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между   и  , проведём  .

Перпендикулярность в пространстве рис. 3

Из-за того, что   - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что  . А из-за того, что   – квадрат, выходит, что  . Ну, и значит  .

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Вот картинка:

Перпендикулярность в пространстве рис. 4

прямая   перпендикулярна плоскости  , если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и  , и  , и  , и даже  ! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

Перпендикулярность в пространстве рис. 5

если найдутся всего лишь две прямые (  и  ) в плоскости  , которым перпендикулярна прямая  , то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости  , то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой  ). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Перпендикулярность в пространстве рис. 6

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр  .

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 4

Задача: доказать, что  . Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 5

давай отметим середину   ребра   и проведём   и  . Это медианы в   и  . Треугольники – правильные   и  .

Вот оно, чудо: получается, что  , так как   и  . И далее,   всем прямым в плоскости  , а значит, и  . Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (  и  ) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (  и  ) к линии пересечения этих плоскостей равен  . И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

  • Если  , то   проходит через перпендикуляр к  .

И

  • Если   проходит через перпендикуляр к  , то  .

(естественно, здесь   и   - плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1.  

2.  .

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида  . Найти угол между прямыми   и  .

Теорема о трёх перпендикулярах на примере

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая   - проекция прямой  .

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике  . Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

 

И пишем ответ:  .