Геометрическая прогрессия. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Числовая последовательность

Если ты уже читал тему «Арифметическая прогрессия» ты можешь смело пропускать этот блок и переходить к самой сути. Если нет, то советую ознакомиться, чтобы иметь общее представление о том, что такое прогрессия в целом и с чем ее едят.

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: $latex \displaystyle 4,\text{ }7,\text{ }-8,\text{ }13,\text{ }-5,\text{ }-6,\text{ }0,\text{ }\ldots $

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их $latex \displaystyle 7$). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Числовая последовательность рис.1

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и $latex \displaystyle n$-ное число) всегда одно.

Число с номером $latex \displaystyle n$ называетмя $latex \displaystyle n$-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, $latex \displaystyle a$), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: $latex \displaystyle {{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{10}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{n}}$.

В нашем случае:

Числовая последовательность рис.2

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии.

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: $latex \displaystyle 1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }8,\text{ }16…$ Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на $latex \displaystyle 7\%$ от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на $latex \displaystyle 1,07$. Ещё через год уже эта сумма увеличится на $latex \displaystyle 7\%$, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на $latex \displaystyle 1,07$ и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил $latex \displaystyle 4$ человек, те в свою очередь заразили еще по $latex \displaystyle 4$ человека, и таким образом вторая волна заражения – $latex \displaystyle 16$ человек, а те в свою очередь, заразили еще $latex \displaystyle 4$… и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Геометрическая прогрессия.

Допустим, у нас есть числовая последовательность:

$latex \displaystyle 2;\text{ }4;\text{ }6;8;10$.

Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности — арифметическая прогрессия с разностью ее членов $latex \displaystyle d\text{ }=\text{ }2$. А как на счет такого:

Геометрическая прогрессия рис.1

Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница ($latex \displaystyle 9;90;900$ и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в $latex \displaystyle 10$ раз больше предыдущего!

геометрическая прогрессия рис.2

Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается $latex \displaystyle {{b}_{n}}$.

Геометрическая прогрессия {$latex \displaystyle {{b}_{n}}$ } — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $latex \displaystyle \mathbf{q}\text{ }\ne \text{ }0$. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Ограничения, что первый член {$latex \displaystyle {{b}_{1}}$} не равен $latex \displaystyle 0$ и $latex \displaystyle \mathbf{q}\text{ }\ne \text{ }0$ не случайны. Допустим, что их нет, и первый член все же равен $latex \displaystyle 0$, а q равно, хм.. пусть $latex \displaystyle 2$, тогда получается:

$latex \displaystyle {{b}_{1}}=0$

$latex \displaystyle {{b}_{1}}=0\cdot 2=0…$ и так далее.

Согласись, что это уже никакая не прогрессия.

Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если $latex \displaystyle {{b}_{1}}$ будет каким-либо числом, отличным от нуля, а $latex \displaystyle q=0$. В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.

Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о $latex \displaystyle q$.

Повторим: $latex \displaystyle q$ – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Как ты думаешь, каким может быть $latex \displaystyle q$? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).

Допустим, что $latex \displaystyle q$ у нас положительное. Пусть в нашем случае $latex \displaystyle q=3$, а $latex \displaystyle {{b}_{1}}=4$. Чему равен второй член $latex \displaystyle {{b}_{2}}$ и $latex \displaystyle {{b}_{3}}$? Ты без труда ответишь, что:

$latex \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot 3=12$

$latex \displaystyle {{b}_{2}}=12\cdot 3=36$

Все верно. Соответственно, если $latex \displaystyle q>0$, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.

А что если $latex \displaystyle q$ отрицательное? Например, $latex \displaystyle q=-3$, а $latex \displaystyle {{b}_{1}}=4$. Чему равен второй член $latex \displaystyle {{b}_{2}}$ и $latex \displaystyle {{b}_{3}}$?

Это уже совсем другая история

$latex \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot -3=-12$

$latex \displaystyle {{b}_{3}}=-12\cdot \left( -3 \right)=36$

Попробуй посчитать $latex \displaystyle 4$ член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня $latex \displaystyle -108$. Таким образом, если $latex \displaystyle q<0$, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на $latex \displaystyle 100\%$ отрицательный. Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.

Больше задач — после регистрации.

Теперь немного потренируемся: попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:

  1. $latex \displaystyle 3;\text{ }6;\text{ }12;\text{ }24;\text{ }48;\text{ }56\ldots $
  2. $latex \displaystyle 1;\text{ }12;\text{ }23;\text{ }34;\text{ }45\text{ }\ldots $
  3. $latex \displaystyle -99;\text{ }33;\text{ }-11\ldots $
  4. $latex \displaystyle 5;\text{ }7;\text{ }9;\text{ }11;\text{ }13\ldots $
  5. $latex \displaystyle -6;\text{ }5;\text{ }17;\text{ }28;\text{ }39\ldots $
  6. $latex \displaystyle 64;\text{ }16;\text{ }4;\text{ }1\ldots $
  7. $latex \displaystyle 2;\text{ }4;\text{ }8;\text{ }18\ldots $

Разобрался? Сравним наши ответы:

  • Геометрическая прогрессия – 3, 6.
  • Арифметическая прогрессия – 2, 4.
  • Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями — 1, 5, 7.

Вернемся к нашей последней прогрессии $latex \displaystyle q=-3$, а $latex \displaystyle {{b}_{1}}=4$ и попробуем так же как и в арифметической найти ее $latex \displaystyle 6$ член. Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения.

Последовательно умножаем каждый член на $latex \displaystyle q$.

  1. $latex \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot -3=-12$
  2. $latex \displaystyle {{b}_{3}}=-12\cdot \left( -3 \right)=36$
  3. $latex \displaystyle {{b}_{4}}=36\cdot \left( -3 \right)=-108$
  4. $latex \displaystyle {{b}_{5}}=-108\cdot \left( -3 \right)=324$
  5. $latex \displaystyle {{b}_{6}}=324\cdot \left( -3 \right)=-972$

Итак, $latex \displaystyle 6$-ой член описанной геометрической прогрессии равен $latex \displaystyle -972$.

Как ты уже догадываешься, сейчас ты сам выведешь формулу, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии. Или ты ее уже вывел для себя, расписывая, как поэтапно находить $latex \displaystyle 6$-ой член? Если так, то проверь правильность твоих рассуждений.

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии $latex \displaystyle {{b}_{1}}$ на знаменатель $latex \displaystyle q$ в степени, которая на $latex \displaystyle 1$ единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.

Проиллюстрируем это на примере нахождения $latex \displaystyle 4$-го члена данной прогрессии:

Геометрическая прогрессия рис.3

Иными словами:

$latex \displaystyle {{b}_{4}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{4-1}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{3}}=-108$

Найди самостоятельно значение члена $latex \displaystyle n=\text{ }6$ заданной геометрической прогрессии.

Получилось? Сравним наши ответы:

$latex \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{6-1}}$

$latex \displaystyle {{b}_{6}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{6-1}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{5}}=-972$

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно умножали на $latex \displaystyle q$ каждый предыдущий член геометрической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$ — уравнение членов геометрической прогрессии.

Выведенная формула верна для всех значений — как положительных, так и отрицательных. Проверь это самостоятельно, рассчитав $latex \displaystyle 5$ и $latex \displaystyle 6$ члены геометрической прогрессии со следующими условиями: $latex \displaystyle q\text{ }=\text{ }2$, а $latex \displaystyle {{b}_{1}}=7$.

Посчитал? Сравним полученные результаты:

$latex \displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{5-1}}$

$latex \displaystyle {{b}_{5}}=7\cdot {{2}^{5-1}}=7\cdot {{2}^{4}}=7\cdot 16=112$

$latex \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{6-1}}={{b}_{5}}\cdot q$

$latex \displaystyle {{b}_{6}}=7\cdot {{2}^{6-1}}=112\cdot 2=224$

Согласись, что находить $latex \displaystyle 6$ член прогрессии можно было бы так же как и $latex \displaystyle 5$ член, однако, есть вероятность неправильно посчитать $latex \displaystyle {{2}^{5}}$. А если мы нашли уже $latex \displaystyle 5$-ый член геометрической прогрессии, а $latex \displaystyle q=2$, то что может быть проще, чем воспользоваться «обрезанной» частью формулы $latex \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{5}}\cdot q$.

Больше задач — после регистрации.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что $latex \displaystyle q$ может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения $latex \displaystyle q$ при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

При $latex \displaystyle -1<q<1$ – прогрессия называется бесконечно убывающей.

Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из $latex \displaystyle 5$ членов.
Допустим, $latex \displaystyle {{b}_{1}}=1$, а $latex \displaystyle q=\frac{1}{2}$, тогда:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$

$latex \displaystyle {{b}_{2}}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$latex \displaystyle {{b}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$latex \displaystyle {{b}_{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

$latex \displaystyle {{b}_{5}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в $latex \displaystyle \frac{1}{2}$ раза, но будет ли какое-либо число $latex \displaystyle {{b}_{n}}=0$? Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$ приобретает следующий вид:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}=1\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}$

На графиках нам привычно строить зависимость $latex \displaystyle x$ от $latex \displaystyle y$, поэтому:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}=y(x)$,
$latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x-1}}$

Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за $latex \displaystyle y$, а порядковый номер обозначили не как $latex \displaystyle n$, а как $latex \displaystyle x$. Все, что осталось сделать – построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

245z-6

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата $latex \displaystyle x$ и $latex \displaystyle y$:

245z-7

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при $latex \displaystyle q=2$, если первый ее член также равен $latex \displaystyle 1$. Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

245z-8

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее $latex \displaystyle {{b}_{n}}$ член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Больше задач — после регистрации.

Свойство геометрической прогрессии.

Помнишь свойство членов арифметической прогрессии? Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил? Вот это:

$latex \displaystyle {{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}$ — свойство членов арифметической прогрессии.

Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии. Чтобы вывести подобную формулу, давай начнем рисовать и рассуждать. Вот увидишь, это очень легко, и если ты забудешь, то сможешь вывести ее самостоятельно.

Возьмем еще одну простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны $latex \displaystyle {{b}_{2}}=6$ и $latex \displaystyle {{b}_{4}}=54$. Как найти $latex \displaystyle {{b}_{3}}$? При арифметической прогрессии это легко и просто, а как здесь? На самом деле в геометрической тоже нет ничего сложного — необходимо просто расписать по формуле $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$ каждое данное нам значение.

$latex \displaystyle {{b}_{2}}={{b}_{1}}\cdot q\ $

$latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{3-1}}=\ {{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}$

$latex \displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{4-1}}=\ {{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}$

Ты спросишь, и что теперь нам с этим делать? Да очень просто. Для начала изобразим данные формулы на рисунке, и попытаемся сделать с ними различные манипуляции, чтобы прийти к значению $latex \displaystyle {{b}_{3}}$.

Геометрическая прогрессия рис.4

Абстрагируемся от чисел, которые у нас даны, сосредоточимся только на их выражении через формулу. Нам необходимо найти значение, выделенное оранжевым цветом, зная соседствующие с ним члены. Попробуем произвести с ними различные действия, в результате которых мы сможем получить $latex \displaystyle {{b}_{3}}=\ {{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}$.

Сложение.
Попробуем сложить два выражения $latex \displaystyle {{b}_{2}}$ и $latex \displaystyle {{b}_{4}}$, мы получим:

$latex \displaystyle {{b}_{2}}+{{b}_{4}}={{b}_{1}}\cdot q\ +{{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}=\ {{b}_{1}}\cdot q\ \cdot \left( 1+{{q}^{2}} \right)$

Из данного выражения, как ты видишь, мы никак не сможем выразить $latex \displaystyle {{b}_{3}}$, следовательно, будем пробовать другой вариант – вычитание.

Вычитание.
$latex \displaystyle {{b}_{2}}-{{b}_{4}}={{b}_{1}}\cdot q\ -{{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}=\ {{b}_{1}}\cdot q\ \cdot \left( 1-{{q}^{2}} \right)$

Как ты видишь, из этого мы тоже не можем выразить $latex \displaystyle {{b}_{3}}$, следовательно, попробуем умножить данные выражения друг на друга.

Умножение.
$latex \displaystyle {{b}_{2}}\cdot {{b}_{4}}={{b}_{1}}\cdot q\ \cdot {{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}=\ {{b}_{1}}^{2}\cdot {{q}^{4}}\ $

А теперь посмотри внимательно, что мы имеем, перемножая данные нам члены геометрической прогрессии в сравнении с тем, что необходимо найти:

1) $latex \displaystyle {{b}_{2}}\cdot {{b}_{4}}={{b}_{1}}^{2}\cdot {{q}^{4}}\ $

2) $latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}\ $

Догадался о чем я говорю? Правильно, чтобы найти $latex \displaystyle {{b}_{3}}$ нам необходимо взять квадратный корень от перемноженных друг на друга соседствующих с искомым чисел геометрической прогрессии:

$latex \displaystyle {{b}_{3}}=\sqrt{{{b}_{2}}\cdot {{b}_{4}}}\ $

Ну вот. Ты сам вывел свойство геометрической прогрессии. Попробуй записать эту формулу в общем виде. Получилось?

$latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+1}}\cdot {{b}_{n-1}}}\ $, при $latex \displaystyle n>2$

Забыл условие при $latex \displaystyle n>2$? Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать $latex \displaystyle {{b}_{n}}\ $, при $latex \displaystyle n=1$. Что получится в этом случае? Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:

$latex \displaystyle {{b}_{1}}=\sqrt{{{b}_{1+1}}\cdot {{b}_{1-1}}}\ $

Соответственно, не забывай это ограничение.

Теперь посчитаем, чему же равно $latex \displaystyle {{b}_{3}}$

$latex \displaystyle {{b}_{3}}=\sqrt{6\cdot 54}=\sqrt{324}=…$

Правильный ответ – $latex \displaystyle {{b}_{3}}=\pm 18$! Если ты при расчете не забыл второе возможное значение, то ты большой молодец и сразу можешь переходить к тренировке, а если забыл – прочитай то, что разобрано далее и обрати внимание, почему в ответе необходимо записывать оба корня.

Нарисуем обе наши геометрические прогрессии – одну со значением $latex \displaystyle {{b}_{3}}=18$, а другую со значением $latex \displaystyle {{b}_{3}}=-18$ и проверим, имеют ли обе из них право на существование:

Геометрическая прогрессия рис.5

Для того, чтобы проверить, существует ли такая геометрическая прогрессия или нет, необходимо посмотреть, одинаковое ли $latex \displaystyle q$ между всеми ее заданными членами? Рассчитай q для первого и второго случая.

1) $latex \displaystyle q=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$

2) $latex \displaystyle q=\frac{-18}{6}=\frac{54}{-18}=-3$

Видишь, почему мы должны писать два ответа? Потому что знак у искомого члена зависит от того, какой $latex \displaystyle q$ – положительный или отрицательный! А так как мы не знаем, какой он, нам необходимо писать оба ответа и с плюсом, и с минусом.

Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди $latex \displaystyle {{b}_{n}}\ $, зная $latex \displaystyle {{b}_{n+1}}$ и $latex \displaystyle {{b}_{n-1}}$

  1. $latex \displaystyle {{b}_{n+1}}=4$, $latex \displaystyle {{b}_{n-1}}=36$
  2. $latex \displaystyle {{b}_{n+1}}=-3$, $latex \displaystyle {{b}_{n-1}}=-12$
  3. $latex \displaystyle {{b}_{n+1}}=-2$, $latex \displaystyle {{b}_{n-1}}=-32$

Сравни полученные ответы с правильными:

  1. $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 12\ $
  2. $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 6\ $
  3. $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 8\ $

Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него. Например, нам необходимо найти $latex \displaystyle {{b}_{3}}\ $, а даны $latex \displaystyle {{b}_{1}}\ $ и $latex \displaystyle {{b}_{5}}\ $. Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу? Попробуй точно так же подтвердить или опровергнуть эту возможность, расписывая из чего состоит каждое значение, как ты делал, выводя изначально формулу $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+1}}\cdot {{b}_{n-1}}}\ $, при $latex \displaystyle n>2$.
Что у тебя получилось?

$latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}\ $

$latex \displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{4}}\ $

$latex \displaystyle {{b}_{1}}\ \cdot \ {{b}_{5}}={{b}_{1}}\ \cdot \ \left( {{b}_{1}}\cdot {{q}^{4}}\  \right)={{b}_{1}}^{2}\cdot {{q}^{4}}$

Теперь опять посмотри внимательно.
$latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}\ $ и $latex \displaystyle {{b}_{1}}\ \cdot \ {{b}_{5}}={{b}_{1}}^{2}\cdot {{q}^{4}}$, соответственно:

$latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}=\sqrt{{{b}_{1}}\cdot {{b}_{5}}}\ $

Из этого мы можем сделать вывод, что формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.

Таким образом, наша первоначальная формула приобретает вид:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+k}}\cdot {{b}_{n-k}}}\ $, при $latex \displaystyle k<n,\ \ \ \ k\in N$

То есть, если в первом случае мы говорили, что $latex \displaystyle k=1$, то сейчас мы говорим, что $latex \displaystyle k$ может быть равен любому натуральному числу, которое меньше $latex \displaystyle n$. Главное, чтобы $latex \displaystyle k$ был одинаков для обоих заданных чисел.

Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!

  1. $latex \displaystyle {{b}_{1}}=-1$, $latex \displaystyle {{b}_{5}}=-81$. Найти $latex \displaystyle {{b}_{3}}$.
  2. $latex \displaystyle {{b}_{2}}=128$, $latex \displaystyle {{b}_{6}}=8$. Найти $latex \displaystyle {{b}_{4}}$.
  3. $latex \displaystyle {{b}_{3}}=18$, $latex \displaystyle {{b}_{6}}=486$. Найти $latex \displaystyle {{b}_{4}}$.

Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.

Сравниваем результаты.

В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:

  1. $latex \displaystyle {{b}_{3}}=\pm 9\ $
  2. $latex \displaystyle {{b}_{4}}=\pm 32\ $

В третьем случае при внимательном рассмотрении порядковых номеров данных нам чисел, мы понимаем, что они не равноудалены от искомого нами числа: $latex \displaystyle {{b}_{3}}$ является предыдущим числом, а $latex \displaystyle {{b}_{6}}$ удалена на $latex \displaystyle 2$ позиции, таким образом применить формулу не предоставляется возможным.

Как же ее решать? На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.

$latex \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}\ $

$latex \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{5}}\cdot q={{b}_{1}}\cdot {{q}^{5}}\ $

$latex \displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}\cdot q={{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}$

Итак, у нас есть $latex \displaystyle {{b}_{3}}$ и $latex \displaystyle {{b}_{6}}$. Посмотрим, что с ними можно сделать? Предлагаю разделить $latex \displaystyle {{b}_{6}}$ на $latex \displaystyle {{b}_{3}}$. Получаем:

$latex \displaystyle \frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=\frac{{{b}_{1}}\cdot {{q}^{5}}}{{{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}}={{q}^{3}}$

Подставляем в формулу наши данные:

$latex \displaystyle \frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=\frac{486}{18}=27$

Следующим шагом мы можем найти $latex \displaystyle q$ – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.

$latex \displaystyle {{q}^{3}}=27\ \ \Rightarrow \ q=\sqrt[3]{27}=3$

А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть $latex \displaystyle {{b}_{3}}$, а найти нам необходимо $latex \displaystyle {{b}_{4}}$, а он, в свою очередь равен:

$latex \displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}\cdot q$

Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:

$latex \displaystyle {{b}_{4}}=18\cdot 3=54$

Наш ответ: $latex \displaystyle 54$.

Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: $latex \displaystyle {{b}_{3}}=18$, $latex \displaystyle {{b}_{5}}=648$
Найти: $latex \displaystyle {{b}_{2}}$

Сколько у тебя получилось? У меня — $latex \displaystyle {{b}_{2}}=\pm 3\ $ .

Как ты видишь, по сути, тебе необходимо запомнить лишь одну формулу — $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$. Все остальные ты без какого-либо труда можешь вывести самостоятельно в любой момент. Для этого просто напиши на листочке самую простую геометрическую прогрессию и распиши, чему согласно вышеописанной формуле равно каждое ее число.

Больше задач — после регистрации.

Сумма членов геометрической прогрессии.

Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+…+{{b}_{n-2}}+{{b}_{n-1}}+{{b}_{n}}$

Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на $latex \displaystyle q$. Получим:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}q={{b}_{1}}q+{{b}_{2}}q+{{b}_{3}}q+…+{{b}_{n-2}}q+{{b}_{n-1}}q+{{b}_{n}}q$

Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например $latex \displaystyle {{b}_{2}}={{b}_{1}}q$ и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое. Что у тебя получилось?

$latex \displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{n}}q-{{b}_{1}}$

Теперь вырази $latex \displaystyle {{b}_{n}}$ через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n-1}}q-{{b}_{1}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}-{{b}_{1}}$

Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}(q-1)={{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)$

Все, что осталось сделать – выразить $latex \displaystyle {{S}_{n}}$:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}$ или $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}$

Соответственно, в этом случае $latex \displaystyle q\ne 1$.

А что если $latex \displaystyle q=1$? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при $latex \displaystyle q=1$. Что она из себя представляет? Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=n{{b}_{1}}$

Как и по арифметической, так и по геометрической прогрессии существует множество легенд. Одна из них – легенда о Сете, создателе шахмат.

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски $latex \displaystyle 1$ пшеничное зерно, за вторую $latex \displaystyle 2$ пшеничных зерна, за третью $latex \displaystyle -4$, за четвертую $latex \displaystyle -8$ и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все $latex \displaystyle 64$ клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил $latex \displaystyle 1$ пшеничное зерно, за вторую $latex \displaystyle 2$, за третью $latex \displaystyle -4$, за четвертую $latex \displaystyle -8$ и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии. Чему равно $latex \displaystyle q$ в этом случае?
Правильно.

$latex \displaystyle q=\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=2$

Всего клеток шахматной доски $latex \displaystyle 64$. Соответственно, $latex \displaystyle n=64$. Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{1({{2}^{64}}-1)}{2-1}={{2}^{64}}-1$

Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем $latex \displaystyle {{2}^{64}}$, используя свойства степени:

$latex \displaystyle {{2}^{64}}={{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{4}}$

Раскроем далее значения $latex \displaystyle {{2}^{10}}$ и $latex \displaystyle {{2}^{4}}$. Как ты знаешь, $latex \displaystyle {{2}^{10}}=1024$, а $latex \displaystyle {{2}^{4}}=64$. Подставим данное значение в предыдущее выражение:

$latex \displaystyle {{2}^{64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64$

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет $latex \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615$.
То есть:

$latex \displaystyle 18$ квинтильонов $latex \displaystyle 446$ квадрильонов $latex \displaystyle 744$ триллиона $latex \displaystyle 73$ миллиарда $latex \displaystyle 709$ миллионов $latex \displaystyle 551$ тысяч $latex \displaystyle 615$.

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара $latex \displaystyle 4$ м и ширине $latex \displaystyle 10$ м длина его должна была бы простираться на $latex \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000$ км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее $latex \displaystyle 10$ суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать $latex \displaystyle 18$ квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе $latex \displaystyle 31$ человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?

Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть $latex \displaystyle 1$ человек. $latex \displaystyle 2$-ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{b}_{1}}=1\\q=2\\{{S}_{n}}=31\end{array}$

Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}$

$latex \displaystyle 31=\frac{1({{2}^{n}}-1)}{2-1}={{2}^{n}}-1$

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{2}^{n}}=31+1\\{{2}^{n}}=32\\{{2}^{n}}={{2}^{5}}\\n=5\end{array}$

Весь класс заболеет за $latex \displaystyle 5$ дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось? Смотри, как это выглядит у меня:

Геометрическая прогрессия на примере распределения болезни

Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по $latex \displaystyle 3$ человека, а в классе училось $latex \displaystyle 26$ человек.

Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя $latex \displaystyle 3$ дня.

Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, $latex \displaystyle 16$ человек из $latex \displaystyle 31$ замыкают цепочку ($latex \displaystyle 51,6\%$). Таким образом, если бы $latex \displaystyle 31$ человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то $latex \displaystyle 16$ человек ($latex \displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}{{q}^{4}}$ или в общем случае $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}$) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.

Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.

Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:

245z-12

А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}$ или $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}$

К чему у нас стремится $latex \displaystyle {{q}^{n}}$? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю. То есть при $latex \displaystyle n\to \infty $, $latex \displaystyle {{q}^{n}}$ будет почти равно $latex \displaystyle 0$, соответственно, при вычислении выражения $latex \displaystyle 1-{{q}^{n}}$ мы получим почти $latex \displaystyle 1$. В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна $latex \displaystyle 1$.

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{q-1}$

формула сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если $latex \displaystyle -1<q<1$ или $latex \displaystyle \left| q \right|<1$.

А теперь потренируемся.

  1. Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с $latex \displaystyle {{b}_{1}}=9$ и $latex \displaystyle q=\frac{1}{3}$.
  2. Найди сумму первых $latex \displaystyle 3$ членов геометрической прогрессии с $latex \displaystyle {{b}_{1}}=64$ и $latex \displaystyle q=\frac{1}{4}$.
  3. Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с $latex \displaystyle {{b}_{1}}=2$ и $latex \displaystyle q=\frac{1}{4}$.

Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:

  1. $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{1-q}$
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{2}{3}}=9\cdot \frac{3}{2}=\frac{27}{2}=13,5$
  2. $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}$
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{64\cdot \left( 1-{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3}} \right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{64\cdot \left( 1-\frac{1}{64} \right)}{\frac{3}{4}}=\frac{64\cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{4}}=\frac{63}{\frac{3}{4}}=84$
  3. $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{1-q}$
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{\frac{3}{4}}=2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике. Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене – это задачи на вычисление сложных процентов. Именно о них и пойдет речь.

Больше задач — после регистрации.

Задачи на вычисление сложных процентов.

Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.

Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада. То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под $latex \displaystyle 10\%$, то $latex \displaystyle 10\%$ зачислятся только в конце года. Соответственно, к окончанию вклада мы получим $latex \displaystyle 110$ рублей.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Допустим, что мы кладем все те же $latex \displaystyle 100$ рублей по $latex \displaystyle 10\%$ годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?

$latex \displaystyle 1$ месяц — $latex \displaystyle 100\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)$

Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.

Мы принесли в банк $latex \displaystyle 100$ рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших $latex \displaystyle 100$ рублей плюс процентов по ним, то есть:

$latex \displaystyle 100+100\cdot x\%$ Согласен?

Мы можем вынести $latex \displaystyle 100$ за скобку и тогда мы получим:

$latex \displaystyle 100+100\cdot x\%=100\cdot \left( 1+x\% \right)$

Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами

В условии задачи нам сказано про $latex \displaystyle 10\%$ годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем $latex \displaystyle 100$ на $latex \displaystyle 10$ – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:

$latex \displaystyle 10\%=\frac{10}{100}$

Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число $latex \displaystyle 12$? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО. Как ты знаешь, в году $latex \displaystyle 12$ месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц $latex \displaystyle 12$ часть от годовых процентов:

$latex \displaystyle 10\%\ ежегодно\ =\frac{10}{100\cdot 12}\ ежемесячно$

Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:

$latex \displaystyle 10\%\ ежегодно\ =\frac{10}{100\cdot 365}\ ежедневно$

Формула начисления процентов

Молодец! Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот что получилось у меня:

$latex \displaystyle 100\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)$

Или, иными словами:

Формула начисления сложных процентов

Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию. Напиши, чему будет равен ее $latex \displaystyle 12$ член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце $latex \displaystyle 12$ месяца.
Сделал? Проверяем!

$latex \displaystyle 100\cdot {{\left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)}^{12}}\approx 110,47$

Как ты видишь, если ты кладешь деньги в банк на год под простой процент, то ты получишь $latex \displaystyle 110$ рублей, а если под сложный – $latex \displaystyle 110,47$ рублей. Выгода небольшая, но так происходит только в течение $latex \displaystyle 1$-го года, а вот на более длительный период капитализация намного выгодней:

245z-15

Рассмотрим еще один тип задач на сложные проценты. После того, в чем ты разобрался, это будет для тебя элементарно. Итак, задача:

Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал $latex \displaystyle 5000$ долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет $latex \displaystyle 100\%$ от капитала предыдущего года. Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Думаю, ты уже знаешь, как и что считать, но на всякий случай распишу подробно:

$latex \displaystyle {{b}_{1}}=5000$ — капитал компании «Звезда» в 2000 году.
$latex \displaystyle {{b}_{2}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot \left( 1+1 \right)=5000\cdot 2=10000$ — капитал компании «Звезда» в 2001 году.
$latex \displaystyle {{b}_{3}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot 4=20000$ — капитал компании «Звезда» в 2002 году.
$latex \displaystyle {{b}_{4}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot 8=40000$ — капитал компании «Звезда» в 2003 году.

Либо мы можем написать кратко:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$

Для нашего случая:

$latex \displaystyle {{b}_{1}}=5000$

$latex \displaystyle n=4$ — 2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
$latex \displaystyle q\ =2$ — увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
Соответственно:
$latex \displaystyle {{b}_{2003\ года}}=5000\cdot 2{{\ }^{4-1}}=5000\cdot {{2}^{3}}=5000\cdot 8=40000$ рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на $latex \displaystyle 12$, ни на $latex \displaystyle 365$, так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО. То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.

Тренировка.

  1. Найдите $latex \displaystyle 4$ член геометрической прогрессии, если известно, что $latex \displaystyle {{b}_{1}}=3$, а $latex \displaystyle q=-2$
  2. Найдите $latex \displaystyle 3$ член геометрической прогрессии, если известно, что $latex \displaystyle {{b}_{1}}=7$, а $latex \displaystyle {{b}_{5}}=567$
  3. Найдите сумму первых $latex \displaystyle 5$ членов геометрической прогрессии, если известно, что $latex \displaystyle {{b}_{1}}=12$, а $latex \displaystyle q=\frac{1}{3}$
  4. Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал $latex \displaystyle 5000$ долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет $latex \displaystyle 100\%$ от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере  $latex \displaystyle 200\%$. На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

  1. $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$
    $latex \displaystyle {{b}_{4}}=3\cdot \left( -2 \right){{\ }^{4-1}}=3\cdot \left( -2 \right){{\ }^{3}}=3\cdot \left( -8 \right)=-24$
  2. $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+k}}\cdot {{b}_{n-k}}}\ $ при $latex \displaystyle k<n,\ \ \ \ k\in N$
    $latex \displaystyle {{b}_{3}}=\sqrt{7\cdot 567}=\pm 63\ $
  3. Так как в условии задачи не сказано, что прогрессия бесконечная и требуется найти сумму конкретного числа ее членов, то расчет идет по формуле:
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}$
    $latex \displaystyle {{S}_{5}}=\frac{12\cdot \left( 1-{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{5}} \right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12\cdot \left( 1-\frac{1}{125} \right)}{\frac{2}{3}}=\frac{12\cdot \frac{124}{125}}{\frac{2}{3}}=\frac{12\cdot 124\cdot 3}{125\cdot 2}=17\frac{107}{125}$
  4. $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$
    Компания «МДМ Капитал»:
    $latex \displaystyle {{b}_{1}}=5000$
    $latex \displaystyle n=5$ — 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 года.
    $latex \displaystyle q\ =2$ — увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
    Соответственно:
    $latex \displaystyle {{b}_{2007\ года}}=5000\cdot 2{{\ }^{5-1}}=5000\cdot {{2}^{4}}=5000\cdot 16=80000$рублей
    Компания «МСК Денежные потоки»:
    $latex \displaystyle {{b}_{1}}=10000$
    $latex \displaystyle n=3$ — 2005, 2006, 2007 года.
    $latex \displaystyle q\ =3$ — увеличивается на  $latex \displaystyle 200\%$, то есть в $latex \displaystyle 3$ раза.
    Соответственно:
    $latex \displaystyle {{b}_{2007\ года}}=10000\cdot 2{{\ }^{3-1}}=10000\cdot {{2}^{2}}=10000\cdot 4=40000$ рублей
    $latex \displaystyle 80\ 000-40\ 000=40\ 000$ рублей

Подведем итоги.

1) Геометрическая прогрессия {$latex \displaystyle {{b}_{n}}$} — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $latex \displaystyle q~\ne ~0$. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

2) Уравнение членов геометрической прогрессии — $latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$.

3) $latex \displaystyle q$ может принимать любые значения, кроме $latex \displaystyle 0$ и $latex \displaystyle 1$.

  • если $latex \displaystyle q>0$, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
  • если $latex \displaystyle q<0$, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
  • при $latex \displaystyle ~-1<q<1$ – прогрессия называется бесконечно убывающей.

4) $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+1}}\cdot {{b}_{n-1}}}\ $, при $latex n\ge 2$ – свойство геометрической прогрессии (соседствующие члены)

либо
$latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+k}}\cdot {{b}_{n-k}}}\ $, при $latex \displaystyle k<n,\ \ \ \ k\in N$ (равноудаленные члены)

При нахождении $latex \displaystyle {{b}_{n}}$ не стоит забывать о том, что ответа должно быть два.

Например, $latex \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{144}=\pm 12\ $

5) Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}$ или $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}$

Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:
$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{q-1}$ или $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{1-q}$

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

6) Задачи на сложные проценты также вычисляются по формуле $latex \displaystyle n$-го члена геометрической прогрессии, при условии, что денежные средства из оборота не изымались:

$latex \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}$

Проверь себя — реши задачи на геометрическую прогрессию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий