25 июля

1 comments

Модуль числа. Ненаучное объяснение того, зачем он нужен (ЕГЭ – 2021)

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности.

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен. Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине "минус 70 километров" (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить "минус 5 кг апельсинов". Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов "Lay's". На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией "Lay's", если они тебе недовесили?

Нет. Потому что  "Lay's" устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это "плюс-минус" – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: "Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!" 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее...

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления \( 0\).

Итак, ты делаешь \( 3\) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой \( 3\).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на \(3\) шага (\( 3\) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно \( 3\).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой \( 0\) сделать \( 3\) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой \( -3\).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (\( 3\) и \( -3\)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (\( 0\)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа \( 5\) будет \( 5\). Модуль числа \( -5\) также равен \( 5\).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

\( |\mathbf{a}|,\) (\( a\) - любое число).

Итак, найдём модуль числа \( 3\) и \( -3\):

\( \left| \mathbf{3} \right|=\mathbf{3}\)

\( \left| -\mathbf{3} \right|=\mathbf{3}.\)

Модуль не может быть выражен отрицательным числом \( |\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \( \mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если \( \mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \( \displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \( a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если \( a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \( |\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \( a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \( 0\):

Если \( a=0\), то \( |\mathbf{a}|=\mathbf{a}\), или \( \displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

\( \left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)

\( \left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)

А теперь потренируйся:

  1. 1
    \( \left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  2. 2
    \( \left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  3. 3
    \( \left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  4. 4
     \( \left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  5. 5
    \( \left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: \( \left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим \( 2-\sqrt{5}\):

\( 2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если \( 2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \( 2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \( 2-\sqrt{5}<0\)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

\( \left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

  1. 1
    \( \left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)
  2. 2
    \( \left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)
  3. 3
    \( \left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)
  4. 4
    \( \left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

\( \sqrt{3}-1; 3-\sqrt{7}; \sqrt{7}-2; 4-\sqrt{13.}\)

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: \( |a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot \right|b|\)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

\( \left| \mathbf{5}\cdot \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{5} \right|\cdot \left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{5}\cdot \mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{35};\)

\( \left| \mathbf{3}\cdot \left( -\mathbf{2} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{3} \right|\cdot \left| -\mathbf{2} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}\cdot \mathbf{2}\text{ }=\text{ }\mathbf{6}.\)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

\( \displaystyle |\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\) при условии, что \( \mathbf{b}\ne \mathbf{0}\) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля...

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

\( |a+b\left| \text{ }\le \text{ } \right|a\left| + \right|b|\)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа \( a\) и \( b\) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

\( \left| \mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{10} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)\( \left| \mathbf{3} \right|+\left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

\( \displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~\)\( \displaystyle=|-10|=10\)

\( |-\mathbf{3}\left| + \right|-\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

\( \left| -\mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\)\( |-\mathbf{3}\left| + \right|\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

или

\( \left| \mathbf{3}+\left( -\mathbf{7} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| -\mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\)\( \left| \mathbf{3} \right|+\left| -\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

\( \mathbf{4}<\mathbf{10}\)

Что если перед нами такое выражение:

\( \left| 7x \right|\)

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что \( |a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot \right|b|\), а значит \( \left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|\). Число \( 7\) больше нуля, а значит можно просто записать:

\( \left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|=7\left| x \right|\)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|,\) при \( c>0\)

А чему равно такое выражение:

\( {{\left| x \right|}^{2}}=?\)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак? Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

\( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

\( {{\left| 5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

\( {{\left| -5 \right|}^{2}}=?\)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

\( {{\left| -5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения \( |x\left| \text{ }+\text{ } \right|y|\), если \( x=\text{ }-7,5\text{ },y=\text{ }12.\)

2. У каких чисел модуль равен \( 5\)?

3. Найдите значение выражений:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|;\)

б) \( |-5|\text{ }-\text{ }|6|;\)

в) \( |15\left| \cdot \right|-3|;\)

г) \( \displaystyle \frac{|8|}{|-2|}\).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения \( x\) и \( y\) в выражение \( |\mathbf{x}\left| \text{ }-\text{ } \right|\mathbf{y}|.\) Получим:

\( |-7,5|\text{ }+\text{ }|12|\text{ }=7,5\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }19,5.\)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное \( 5\) имеют два числа: \( 5\) и \( -5\).

Решение 3:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|=\text{ }3+9=\text{ }12;\)
б) \( |-5|-\text{ }\left| 6 \right|\text{ }=\text{ }5-6=\text{ }-1;\)
в) \( |15\left| \cdot \right|-3|\text{ }=\text{ }15\cdot 3=\text{ }45;\)
г) \( \frac{|8|}{|-2|}=\frac{8}{2}=4.\)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение \( \left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|\)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

\( \displaystyle \sqrt{3} \approx 1,7\). Получается, значение первого выражения под модулем \( \displaystyle \sqrt{3}-2\approx 1,7-2\approx -0,3\text{ }\).

\( -0,3<0\), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

\( \left| \sqrt{3}-2 \right|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}\)

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

\( \left| \sqrt{3}+5 \right|=\sqrt{3}+5\)

Упростим данное выражение целиком:

\( \left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+5=2+5=7\)

Модуль (абсолютная величина) числа \( x\) - это само число \( x\), если \( x\ge 0\), и число \( -x\), если \( x<0\):

\( \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\text{ }x\ge 0\\-x,\text{ }x<0\end{array} \right.\)

Например: \( \left| 4 \right|=4;\text{ }\left| 0 \right|=0;\text{ }\left| -3 \right|=-\left( -3 \right)=3.\)

Пример:

Упростите выражение \( \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|\).

Решение:

\( \sqrt{5}-3<0\Rightarrow \left| \sqrt{5}-3 \right|=-\left( \sqrt{5}-3 \right)=3-\sqrt{5};\)

\( \sqrt{5}+1>0\Rightarrow \left| \sqrt{5}+1 \right|=\sqrt{5}+1;\)

\( \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}+1=4.\)

Для всех \( x,y\in \mathbb{R}\):

  1. 1
    \( \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0;\)
  2. 2
    \( \left| -x \right|=\left| x \right|;\)
  3. 3
    \( \left| x\cdot y \right|=\left| x \right|\cdot \left| y \right|;\)
  4. 4
    \( \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0};\)
  5. 5
    \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
  6. 6
    \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при \text{ }c>0\)
  7. 7
    \( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Докажите свойство №5

Доказательство:

Предположим, что существуют такие \( x;y\in \mathbb{R}\), что \( \left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|.\) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

\( \displaystyle \begin{array}{l}\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|\Leftrightarrow \\{{\left( x+y \right)}^{2}}>{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\Leftrightarrow \\{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2\cdot \left| x \right|\cdot \left| y \right|+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких \( x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \( x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: \( \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|\), а поскольку \( c>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| c \right|=c\), тогда

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\), ч.т.д.

2) \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа и \( \frac{31}{8}\) и \( \sqrt{15}\):

\( \frac{31}{8}\vee \sqrt{15}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \frac{31}{8} \right)}^{2}}\vee 15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{961}{64}\vee 15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }961\vee 15\cdot 64\text{ }\Leftrightarrow \text{ 961}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,960\text{ }\Rightarrow \)

\( \Rightarrow \text{ }\frac{31}{8}>\sqrt{15}\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{31}{8}-\sqrt{15}>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}\)

b. Теперь сравним \( \frac{15}{4}\) и \( \sqrt{15}\):

\( \frac{15}{4}\vee \sqrt{15}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \frac{15}{4} \right)}^{2}}\vee 15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{15}^{2}}}{16}\vee 15\text{ }\Leftrightarrow \text{ 1}{{\text{5}}^{2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{ }\Rightarrow \text{ }\)

\( \frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}\).

Складываем значения модулей:

\( \displaystyle \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125\)

Определение

Модуль (абсолютная величина) числа \( \displaystyle x\) - это само число \( \displaystyle x\), если \( \displaystyle x\ge 0\), и число \( \displaystyle -x\), если \( \displaystyle x<0\):
\( \displaystyle \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\ \ x\ge 0\\-x,\ \ x<0\end{array} \right.\)

Свойства модуля

  • Модуль числа есть число неотрицательное: \( \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0\);
  • Модули противоположных чисел равны: \( \left| -x \right|=\left| x \right|\);
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: \( \left| x\cdot y\right|=\left| x \right|\cdot \left|y\right|\);
  • Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: \( \displaystyle \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0}\);
  • Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:\( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\);
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\) при \( \displaystyle c>0\);
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: \( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Твой ход!

Теперь ты знаешь все о модуле! Я уверен, что ты справишься с любой задачей! И я очень горжусь тобой.

Это было не так сложно, правда? Особенно, когда разбираешь все подробно и поэтапно.

А сейчас мы хотим услышать тебя! Как тебе статья? Понравился разбор понятия модуля? 🙂

Напиши в комментариях свое мнение об этой статье! 

Мы читаем все. И ответим на любые твои вопросы.

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Виктория
    27 мая 2018
    Спасибо!

    Александр (админ)
    27 мая 2018
    Пожалуйста, Виктория!

    Мария
    13 ноября 2018
    огромное спасибо, многое вспомнила

    Александр (админ)
    13 ноября 2018
    Пожалуйста, Мария!

    Денис
    17 февраля 2019
    Спасибо большое за эту статью, многое вспомнил))

    Александр (админ)
    17 февраля 2019
    Денис! Рады слышать! И тебе спасибо! )

    Анастасия
    13 мая 2019
    Спасибо большое! Очень понятно рассмотрен материал!

    Александр (админ)
    13 мая 2019
    Пожалуйста, Анастасия! Удачи на экзаменах!

    Иван
    25 мая 2019
    В самом начале рассматриваются не все случаи выражения ∣√5 — 3∣ + ∣√5 + 1∣. Пропущен случай, когда √5 < 0, в этом случае выражение будет иметь вид 2√5 - 2 или 2(√5 - 1), а не 4. Алексей Шевчук 29 мая 2019 Иван, √5 не может быть меньше нуля, это ведь вполне конкретное число (равное приблизительно 2,24, поэтому мы и пишем, что √5 - 3<0, а √5 + 1>0). И вообще, квадратный корень по определению не может быть отрицательным, какое бы число под ним не стояло.

    МАРИЯ
    31 июля 2019
    Огромное спасибо, очень помогло!

    Александр (админ)
    31 июля 2019
    Приятно слышать, Мария! Успехов!

    Анастасия
    15 февраля 2020
    Большое спасибо! Все просто и понятно. Я вообще учусь в 6 классе и впервые сталкиваюсь с таким понятием как модуль. Ни учебник по математике, ни учитель не мог мне понятно объяснить! Я зашла сюда и удивилась : -это же легко!! Большое спасибо администратору!!!

    Александр (админ)
    15 февраля 2020
    О, как круто! Спасибо, Анастасия. Ты молодец, что сама разобралась в такой теме. Хоть и с помощью нашего учебника, но все равно молодец! Так держать!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >