Модуль числа – теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине “минус 70 километров” (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить “минус 5 кг апельсинов”. Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов “Lay’s”. На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией “Lay’s”, если они тебе недовесили?

Нет. Потому что  “Lay’s” устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это “плюс-минус” – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: “Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!” 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа – коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа \( \displaystyle x\) – это само число \( \displaystyle x\), если \( \displaystyle x\ge 0\), и число \( \displaystyle -x\), если \( \displaystyle x<0\):

\( \displaystyle \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\ \ x\ge 0\\-x,\ \ x<0\end{array} \right.\)

Свойства модуля:

  • Модуль числа есть число неотрицательное: \( \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0\);
  • Модули противоположных чисел равны: \( \left| -x \right|=\left| x \right|\);
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: \( \left| x\cdot y\right|=\left| x \right|\cdot \left|y\right|\);
  • Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: \( \displaystyle \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0}\);
  • Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:\( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\);
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\) при \( \displaystyle c>0\);
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: \( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: “Уравнения с модулем“. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления \( 0\).

Итак, ты делаешь \( 3\) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой \( 3\).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на \(3\) шага (\( 3\) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно \( 3\).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой \( 0\) сделать \( 3\) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой \( -3\).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (\( 3\) и \( -3\)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (\( 0\)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа \( 5\) будет \( 5\). Модуль числа \( -5\) также равен \( 5\).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

\( |\mathbf{a}|,\) (\( a\) – любое число).

Итак, найдём модуль числа \( 3\) и \( -3\):

\( \left| \mathbf{3} \right|=\mathbf{3}\)

\( \left| -\mathbf{3} \right|=\mathbf{3}.\)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом \( |\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \( \mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если \( \mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \( \displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \( a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если \( a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \( |\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \( a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \( 0\):

Если \( a=0\), то \( |\mathbf{a}|=\mathbf{a}\), или \( \displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

\( \left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)

\( \left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)

А теперь потренируйся:

  • \( \left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  •  \( \left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: \( \left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим \( 2-\sqrt{5}\):

\( 2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если \( 2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \( 2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \( 2-\sqrt{5}<0\)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

\( \left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

  • \( \left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)
  • \( \left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

\( \sqrt{3}-1; 3-\sqrt{7}; \sqrt{7}-2; 4-\sqrt{13.}\)

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: \( |a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot \right|b|\)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

\( \left| \mathbf{5}\cdot \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{5} \right|\cdot \left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{5}\cdot \mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{35};\)

\( \left| \mathbf{3}\cdot \left( -\mathbf{2} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{3} \right|\cdot \left| -\mathbf{2} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}\cdot \mathbf{2}\text{ }=\text{ }\mathbf{6}.\)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

\( \displaystyle |\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\) при условии, что \( \mathbf{b}\ne \mathbf{0}\) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

\( |a+b\left| \text{ }\le \text{ } \right|a\left| + \right|b|\)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа \( a\) и \( b\) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

\( \left| \mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{10} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)\( \left| \mathbf{3} \right|+\left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

\( \displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~\)\( \displaystyle=|-10|=10\)\( |-\mathbf{3}\left| + \right|-\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

\( \left| -\mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\)\( |-\mathbf{3}\left| + \right|\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

или

\( \left| \mathbf{3}+\left( -\mathbf{7} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| -\mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\)\( \left| \mathbf{3} \right|+\left| -\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)
\( \mathbf{4}<\mathbf{10}\)

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

\( \left| 7x \right|\)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что \( |a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot \right|b|\), а значит \( \left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|\). Число \( 7\) больше нуля, а значит можно просто записать:

\( \left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|=7\left| x \right|\)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|,\) при \( c>0\)

А чему равно такое выражение:

\( {{\left| x \right|}^{2}}=?\)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

\( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

\( {{\left| 5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

\( {{\left| -5 \right|}^{2}}=?\)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

\( {{\left| -5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения \( |x\left| \text{ }+\text{ } \right|y|\), если \( x=\text{ }-7,5\text{ },y=\text{ }12.\)

2. У каких чисел модуль равен \( 5\)?

3. Найдите значение выражений:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|;\)

б) \( |-5|\text{ }-\text{ }|6|;\)

в) \( |15\left| \cdot \right|-3|;\)

г) \( \displaystyle \frac{|8|}{|-2|}\).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения \( x\) и \( y\) в выражение \( |\mathbf{x}\left| \text{ }-\text{ } \right|\mathbf{y}|.\) Получим:

\( |-7,5|\text{ }+\text{ }|12|\text{ }=7,5\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }19,5.\)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное \( 5\) имеют два числа: \( 5\) и \( -5\).

Решение 3:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|=\text{ }3+9=\text{ }12;\)
б) \( |-5|-\text{ }\left| 6 \right|\text{ }=\text{ }5-6=\text{ }-1;\)
в) \( |15\left| \cdot \right|-3|\text{ }=\text{ }15\cdot 3=\text{ }45;\)
г) \( \frac{|8|}{|-2|}=\frac{8}{2}=4.\)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение \( \left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|\)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

\( \displaystyle \sqrt{3} \approx 1,7\). Получается, значение первого выражения под модулем \( \displaystyle \sqrt{3}-2\approx 1,7-2\approx -0,3\text{ }\).

\( -0,3<0\), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа \( x\) – это само число \( x\), если \( x\ge 0\), и число \( -x\), если \( x<0\):

\( \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\text{ }x\ge 0\\-x,\text{ }x<0\end{array} \right.\)

Например: \( \left| 4 \right|=4;\text{ }\left| 0 \right|=0;\text{ }\left| -3 \right|=-\left( -3 \right)=3.\)

Пример:

Упростите выражение \( \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|\).

Решение:

\( \sqrt{5}-3<0\Rightarrow \left| \sqrt{5}-3 \right|=-\left( \sqrt{5}-3 \right)=3-\sqrt{5};\)

\( \sqrt{5}+1>0\Rightarrow \left| \sqrt{5}+1 \right|=\sqrt{5}+1;\)

\( \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}+1=4.\)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех \( x,y\in \mathbb{R}\):

  • \( \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0;\)
  • \( \left| -x \right|=\left| x \right|;\)
  • \( \left| x\cdot y \right|=\left| x \right|\cdot \left| y \right|;\)
  • \( \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0};\)
  • \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
  • \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при \text{ }c>0\)
  • \( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Докажите свойство модуля: \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие \( x;y\in \mathbb{R}\), что \( \left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|.\) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

\( \displaystyle \begin{array}{l}\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|\Leftrightarrow \\{{\left( x+y \right)}^{2}}>{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\Leftrightarrow \\{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2\cdot \left| x \right|\cdot \left| y \right|+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких \( x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \( x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при \text{ }c>0\)

Воспользуемся свойством №3: \( \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|\), а поскольку \( c>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| c \right|=c\), тогда

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\), ч.т.д.

Упростите выражение \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 комментариев

  1. Здравствуйте, ещё раз. Пока писала Вам отзыв вставки с предложением зарегистрироваться исчезли. И теперь я могу прочитать статью полностью! Вот Спасибо!
    С уважением Лилия.

  2. Здравствуйте, Александр.
    Изумительная статья! Восхитительная! ВСЁ очень-очень доходчиво и понятно.
    Большое спасибо за неё.
    Но, изучая её, я наткнулась на вставочки, которые прерывают рассуждения автора. В этих вставках предлагается зарегистрироваться. Я это сделала.
    Попав на страницы учебника, я не нашла этой статьи о модулях. И вообще не нашла ничего про модули.
    Подскажите, пожалуйста, возможно ли так изменить статью, чтобы в ней не было вставок, а был текст полностью?
    С огромным уважением к автору статьи Лилия

    1. Спасибо, Лилия!
      В другом комментарии я вижу, что вы уже разобрались, но просто на будущее, вот здесь содержание всего учебника: https://youclever.org/book/
      По нему можно найти любую тему по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

  3. Спасибо, я 7 -ой класс, как-то модуль в школе прошел тихо, незаметно, а сейчас столкнулась и поняла, что “0”. Проработав Вашу статью все стало в голове на место.

    1. Ксения – ты супер! Самостоятельно разобраться с модулем дорогого стоит. Приходи в ЭТО воскресенье 26 сентября на бесплатный вебинар, где Алексей будет разбирать как решать уравнения с модулем. Он для ЕГЭшников, но раз ты сама модуль разобрала, справишься и будешь по модулям совсем крутышка. ) Вот ссылка на доступ к вебинару: https://app.livewebinar.com/991-815-000

  4. Спасибо большое, сидела психовала из за этой темы. А сейчас всё понятно.

    1. Спасибо, Pretty. Заходи еще, мы сейчас улучшаем каждую статью — будет еще понятнее )

  5. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Виктория
    27 мая 2018
    Спасибо!

    Александр (админ)
    27 мая 2018
    Пожалуйста, Виктория!

    Мария
    13 ноября 2018
    огромное спасибо, многое вспомнила

    Александр (админ)
    13 ноября 2018
    Пожалуйста, Мария!

    Денис
    17 февраля 2019
    Спасибо большое за эту статью, многое вспомнил))

    Александр (админ)
    17 февраля 2019
    Денис! Рады слышать! И тебе спасибо! )

    Анастасия
    13 мая 2019
    Спасибо большое! Очень понятно рассмотрен материал!

    Александр (админ)
    13 мая 2019
    Пожалуйста, Анастасия! Удачи на экзаменах!

    Иван
    25 мая 2019
    В самом начале рассматриваются не все случаи выражения ∣√5 – 3∣ + ∣√5 + 1∣. Пропущен случай, когда √5 < 0, в этом случае выражение будет иметь вид 2√5 – 2 или 2(√5 – 1), а не 4.

    Алексей Шевчук
    29 мая 2019

    Иван, √5 не может быть меньше нуля, это ведь вполне конкретное число (равное приблизительно 2,24, поэтому мы и пишем, что √5 – 30). И вообще, квадратный корень по определению не может быть отрицательным, какое бы число под ним не стояло.

    МАРИЯ
    31 июля 2019
    Огромное спасибо, очень помогло!

    Александр (админ)
    31 июля 2019
    Приятно слышать, Мария! Успехов!

    Анастасия
    15 февраля 2020
    Большое спасибо! Все просто и понятно. Я вообще учусь в 6 классе и впервые сталкиваюсь с таким понятием как модуль. Ни учебник по математике, ни учитель не мог мне понятно объяснить! Я зашла сюда и удивилась : -это же легко!! Большое спасибо администратору!!!

    Александр (админ)
    15 февраля 2020
    О, как круто! Спасибо, Анастасия. Ты молодец, что сама разобралась в такой теме. Хоть и с помощью нашего учебника, но все равно молодец! Так держать!