Квадратные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то квадратное уравнение, это уравнение вида $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0$, где $latex x$ – неизвестное, $latex a$, $latex b$, $latex c$ – некоторые числа, причем $latex a\ne 0$.$latex a$ и $latex b$ называют коэффициентами квадратного уравнения, а $latex c$ – свободным членом.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

$latex \frac{3}{x}+\frac{x}{4}=21$

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на $latex 4x$

$latex \frac{4x\cdot 3}{x}+\frac{4x\cdot x}{4}=4x\cdot 21$

$latex 12+{{x}^{2}}=84x$

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

$latex {{x}^{2}}-84x+12=0$

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

$latex \frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{8}$

Домножим левую и правую часть на $latex 8x$:

$latex \frac{8x\cdot 1}{x}=\frac{8x\cdot {{x}^{2}}}{8}$

$latex 8={{x}^{3}}$

Это уравнение, хотя в нем изначально был $latex {{x}^{2}}$, не является квадратным!

Пример 3.

$latex {{x}^{2}}+6{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0$

Домножим все на $latex {{x}^{2}}$:

$latex {{x}^{2}}{{x}^{2}}+6x\cdot {{x}^{2}}-\frac{4\cdot {{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0$

$latex {{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-4=0$

Страшно? Четвертая и третья степени… Однако, если произвести замену $latex t={{x}^{2}}$, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

$latex {{t}^{2}}+6t-4=0$

Пример 4.

$latex {{x}^{2}}-3x+2=2x+{{x}^{2}}-1$

Вроде бы есть $latex {{x}^{2}}$, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

$latex {{x}^{2}}-3x+2-2{x}-{{x}^{2}}+1=0$

$latex {{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3{x}-2x+2+1=0$

$latex -5x+3=0$

Видишь, $latex {{x}^{2}}$ сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

  1. $latex \ 2{{x}^{2}}+3{x}-4=0$
  2. $latex \frac{6}{x}=\frac{x}{7}$
  3. $latex 5{{x}^{2}}-11x=5{{x}^{2}}+14$
  4. $latex \frac{{{x}^{2}}}{8}-\frac{3}{x}=0$
  5. $latex 3\left( {{x}^{2}}+2 \right)-11x=3{{x}^{2}}$
  6. $latex \frac{x}{3}-12=\frac{5}{x}$
  7. $latex \frac{2}{x}={{x}^{2}}$
  8. $latex 12x+\frac{7}{x}-4=0$

Ответы:

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Больше задач — после регистрации.

Математики условно делят все квадратные уравнения на $latex 2$ вида:

  • Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты $latex a$ и $latex b$, а также свободный член с не равны нулю (как в примере $latex 1$). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент $latex a=1$ (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
  • Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент $latex b$ и или свободный член с равны нулю:
    $latex 4{{x}^{2}}+5x=0$
    $latex 2{{x}^{2}}-9=0$
    $latex 6{{x}^{2}}=0$
    Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают $latex 3$ типов:

  1. $latex a{{x}^{2}}+c=0$, в этом уравнении коэффициент $latex b$ равен $latex 0$.
  2. $latex a{{x}^{2}}+bx=0$, в этом уравнении свободный член $latex c$ равен $latex 0$.
  3. $latex a{{x}^{2}}=0$, в этом уравнении коэффициент $latex b$ и свободный член $latex c$ равны $latex 0$.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1. $latex a{{x}^{2}}+c=0$ и $latex a\ne 0\ \ c\ne 0$. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

$latex {{x}^{2}}=$$latex \displaystyle -\frac{c}{a}$.

Выражение $latex \displaystyle -\frac{c}{a}$ может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число, так что: если $latex \displaystyle -\frac{c}{a}<0$, то уравнение не имеет решений.

А если $latex \displaystyle -\frac{c}{a}>0$, то получаем два корня $latex x=\sqrt{-\frac{c}{a}}$. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что $latex {{x}^{2}}$ не может быть меньше $latex 0$.

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение $latex 2{{x}^{2}}-18=0$

Выразим $latex {{x}^{2}}$

$latex {{x}^{2}}=\frac{18}{2}$

$latex {{x}^{2}}=9$

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

$latex \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}$

$latex x=\pm 3$

Ответ: $latex -3;\text{ }3.$

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение $latex 5{{x}^{2}}-80=0$

$latex {{x}^{2}}=\frac{80}{5}$

$latex {{x}^{2}}=16$

$latex \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

Ответ: $latex -4;\text{ }4.$

Пример 7:

Решите уравнение $latex 18{{x}^{2}}+54=0$

$latex {{x}^{2}}=-\frac{54}{18}$

$latex {{x}^{2}}=-3$

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

$latex 18{{x}^{2}}+54=0$ нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок – $latex \emptyset \ $ (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ: $latex \emptyset \ $

2. $latex a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0$.

Вынесем общим множитель $latex \displaystyle x$ за скобки:

$latex x\left( ax+b \right)=0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

$latex \left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.$.

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение $latex 6{{x}^{2}}+15x=0$

Вынесем общий множитель $latex \displaystyle x$ за скобки:

$latex x\left( 6x+15 \right)=0$

Таким образом,

$latex \left[ \begin{array}{l}x=0,\\6x+15=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{15}{6}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=0,\\{{x}_{2}}=-2,5\end{array} \right.$

У этого уравнения два корня.

Ответ: $latex -2,5;\text{ }0.$

3. $latex a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0$.

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

$latex x=0$.

Здесь обойдемся без примеров.

Больше задач — после регистрации.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение $latex a{{x}^{2}}+by+c=0,$ где $latex a,b,c\ne 0.$

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если $latex D>0$, то уравнение имеет $latex \displaystyle 2$ корняНужно особое внимание обратить на шаг $latex \displaystyle 2$. Дискриминант ($latex \displaystyle D$) указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример:$latex {{x}^{2}}+2{x}-3=0$
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты $latex a$ и $latex b$ и свободный член $latex c$. $latex {{x}^{2}}+2{x}-3=0$,здесь$latex a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3.$
Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:$latex D={{b}^{2}}-4ac$ $latex \displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)=$$latex \displaystyle =4+12=16$
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:$latex x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.$ $latex x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow $$latex \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.$

 

  • Если $latex D=0$, то формула на шаге $latex 3$ сократится до $latex x=\frac{-b}{2a}$. Таким образом, уравнение будет иметь всего $latex 1$ корень.
  • Если $latex D<0$, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге $latex 3$. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение, $latex f\left( x \right)=0$. А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось $latex x$). Парабола может вообще не пересекать ось $latex x$, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси $latex x$) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент $latex a$. Если $latex a>0$, то ветви параболы направлены вверх, а если $latex a<0$ – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение $latex 4{{x}^{2}}+5{x}-6=0$

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -6 \right)=25+96=121$

$latex D>0$, а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

$latex x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 8}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{6}{8};\\{{x}_{2}}=-2.\end{array} \right.$

Ответ: $latex -2;\text{ }0,75$

Пример 10:

Решите уравнение $latex 4{{x}^{2}}-2x+0,25=0$

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 0,25=4-4=0$

$latex D=0$, а значит уравнение имеет один корень.

$latex x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left( -2 \right)}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}=0,25$

Ответ: $latex 0,25.$

Пример 11:

Решите уравнение $latex 3{{x}^{2}}+4x+5=0$

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44$

$latex D<0$, азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

Больше задач — после регистрации.

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус $latex p$ он получил.
А корней произведенье дает $latex q$ из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен $latex 1$):

$latex {{x}^{2}}+px+q=0$

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения $latex {{x}^{2}}+px+q=0$ равна $latex -p$, а произведение корней равно $latex q$.

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 12:

Решите уравнение $latex {{x}^{2}}-7x+12=0$

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. $latex a=1$.

Сумма корней уравнения равна $latex -p$, т.е. получаем первое уравнение:

$latex {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7$

А произведение равно $latex q$:

$latex {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12$

Составим и решим систему:

$latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.$

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно $latex 12$, и проверим, равна ли их сумма $latex 7$:

  • $latex 12$ и $latex 1$. Сумма равна $latex 13$;
  • $latex 2$ и $latex 6$. Сумма равна $latex 8$;
  • $latex 3$ и $latex 4$. Сумма равна $latex 7$.

$latex 3$ и $latex 4$ являются решением системы:

$latex \left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.$

Таким образом, $latex 3$ и $latex 4$ – корни нашего уравнения.

Ответ: $latex 3$; $latex 4$.

Пример 13:

Решите уравнение $latex {{x}^{2}}-3{x}-40=0$

Уравнение приведенное, а значит:

$latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.$

Свободный член $latex \left( -40 \right)$ отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно $latex 40$, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  • $latex 40$ и $latex 1$
  • $latex 20$ и $latex 2$
  • $latex 10$ и $latex 4$
  • $latex 8$ и $latex 5$

Очевидно, что под первое условие $latex {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$ подходят только корни $latex -5$ и $latex 8$:

$latex \left\{ \begin{array}{l}-5+8=3;\\-5\cdot 8=-40\end{array} \right.$

Ответ: $latex -5;\text{ }8.$

Пример 14:

Решите уравнение $latex {{x}^{2}}+18x+77=0$

Уравнение приведенное, а значит:

$latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.$

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно $latex 77$:

  • $latex 77$ и $latex 1$
  • $latex 11$ и $latex 7$

Очевидно, что корнями являются числа $latex -7$ и $latex -11$.

$latex \left\{ \begin{array}{l}-11-7=-18;\\-11\cdot \left( -7 \right)=77\end{array} \right.$

Ответ: $latex -11;\text{ }-7.$

Проверь себя — реши задачи на квадратные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий