Квадратные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то квадратное уравнение, это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).\(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, а \(c\) – свободным членом.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

\(\frac{3}{x}+\frac{x}{4}=21\)

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)

\(\frac{4x\cdot 3}{x}+\frac{4x\cdot x}{4}=4x\cdot 21\)

\(12+{{x}^{2}}=84x\)

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

\({{x}^{2}}-84x+12=0\)

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

\(\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{8}\)

Домножим левую и правую часть на \(8x\):

\(\frac{8x\cdot 1}{x}=\frac{8x\cdot {{x}^{2}}}{8}\)

\(8={{x}^{3}}\)

Это уравнение, хотя в нем изначально был \({{x}^{2}}\), не является квадратным!

Пример 3.

\({{x}^{2}}+6{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\)

Домножим все на \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}{{x}^{2}}+6x\cdot {{x}^{2}}-\frac{4\cdot {{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\)

\({{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-4=0\)

Страшно? Четвертая и третья степени… Однако, если произвести замену \(t={{x}^{2}}\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

\({{t}^{2}}+6t-4=0\)

Пример 4.

\({{x}^{2}}-3x+2=2x+{{x}^{2}}-1\)

Вроде бы есть \({{x}^{2}}\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

\({{x}^{2}}-3x+2-2{x}-{{x}^{2}}+1=0\)

\({{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3{x}-2x+2+1=0\)

\(-5x+3=0\)

Видишь, \({{x}^{2}}\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

  1. \(\ 2{{x}^{2}}+3{x}-4=0\)
  2. \(\frac{6}{x}=\frac{x}{7}\)
  3. \(5{{x}^{2}}-11x=5{{x}^{2}}+14\)
  4. \(\frac{{{x}^{2}}}{8}-\frac{3}{x}=0\)
  5. \(3\left( {{x}^{2}}+2 \right)-11x=3{{x}^{2}}\)
  6. \(\frac{x}{3}-12=\frac{5}{x}\)
  7. \(\frac{2}{x}={{x}^{2}}\)
  8. \(12x+\frac{7}{x}-4=0\)

Ответы:

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Больше задач — после регистрации.

Математики условно делят все квадратные уравнения на \(2\) вида:

  • Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
  • Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю:
    \(4{{x}^{2}}+5x=0\)
    \(2{{x}^{2}}-9=0\)
    \(6{{x}^{2}}=0\)
    Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:

  1. \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
  2. \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
  3. \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1. \(a{{x}^{2}}+c=0\) и \(a\ne 0\ \ c\ne 0\). Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

\({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\).

Выражение \(\displaystyle -\frac{c}{a}\) может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число, так что: если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений.

А если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то получаем два корня \(x=\sqrt{-\frac{c}{a}}\). Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение \(2{{x}^{2}}-18=0\)

Выразим \({{x}^{2}}\)

\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)

\({{x}^{2}}=9\)

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)

\(x=\pm 3\)

Ответ: \(-3;\text{ }3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение \(5{{x}^{2}}-80=0\)

\({{x}^{2}}=\frac{80}{5}\)

\({{x}^{2}}=16\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{16}\)

\(x=\pm 4\)

Ответ: \(-4;\text{ }4.\)

Пример 7:

Решите уравнение \(18{{x}^{2}}+54=0\)

\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)

\({{x}^{2}}=-3\)

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

\(18{{x}^{2}}+54=0\) нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок – \(\emptyset \ \) (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ: \(\emptyset \ \)

2. \(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0\).

Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\).

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение \(6{{x}^{2}}+15x=0\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( 6x+15 \right)=0\)

Таким образом,

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\6x+15=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{15}{6}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=0,\\{{x}_{2}}=-2,5\end{array} \right.\)

У этого уравнения два корня.

Ответ: \(-2,5;\text{ }0.\)

3. \(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0\).

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

\(x=0\).

Здесь обойдемся без примеров.

Больше задач — после регистрации.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корняНужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример:\({{x}^{2}}+2{x}-3=0\)
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\). \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\),здесь\(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3.\)
Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:\(D={{b}^{2}}-4ac\) \(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)=\)\(\displaystyle =4+12=16\)
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\) \(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

 

  • Если \(D=0\), то формула на шаге \(3\) сократится до \(x=\frac{-b}{2a}\). Таким образом, уравнение будет иметь всего \(1\) корень.
  • Если \(D<0\), то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге \(3\). Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)). Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}+5{x}-6=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -6 \right)=25+96=121\)

\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 8}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{6}{8};\\{{x}_{2}}=-2.\end{array} \right.\)

Ответ: \(-2;\text{ }0,75\)

Пример 10:

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}-2x+0,25=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 0,25=4-4=0\)

\(D=0\), а значит уравнение имеет один корень.

\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left( -2 \right)}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}=0,25\)

Ответ: \(0,25.\)

Пример 11:

Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+4x+5=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44\)

\(D<0\), азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

Больше задач — после регистрации.

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.
А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):

\({{x}^{2}}+px+q=0\)

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 12:

Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\)

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).

Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)

А произведение равно \(q\):

\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)

Составим и решим систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

  • \(12\) и \(1\). Сумма равна \(13\);
  • \(2\) и \(6\). Сумма равна \(8\);
  • \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)

Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(3\); \(4\).

Пример 13:

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  • \(40\) и \(1\)
  • \(20\) и \(2\)
  • \(10\) и \(4\)
  • \(8\) и \(5\)

Очевидно, что под первое условие \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\) подходят только корни \(-5\) и \(8\):

\(\left\{ \begin{array}{l}-5+8=3;\\-5\cdot 8=-40\end{array} \right.\)

Ответ: \(-5;\text{ }8.\)

Пример 14:

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

  • \(77\) и \(1\)
  • \(11\) и \(7\)

Очевидно, что корнями являются числа \(-7\) и \(-11\).

\(\left\{ \begin{array}{l}-11-7=-18;\\-11\cdot \left( -7 \right)=77\end{array} \right.\)

Ответ: \(-11;\text{ }-7.\)

Проверь себя — реши задачи на квадратные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *