Квадратные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Почему нужно обязательно научиться щёлкать квадратные уравнения как орешки?

Потому что решение многих уравнений сводится к решению квадратных! И будет обидно, например, на ЕГЭ решить более сложное уравнение и споткнуться на квадратном.

Изучи эту статью реши вместе с Алексеем все 32 примера и про квадратные уравнения ты будешь знать всё!

От дискриминанта, до теоремы Виета или метода выделения полного квадрата.

Квадратное уравнение — коротко о главном

Определения

Квадратное уравнение – это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\) — коэффициенты квадратного уравнения, \(c\) – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты \(a\), \(b\), \(\displaystyle c\) не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(a=1\), то есть: \({x}^{2}+bx+c=0\).

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(b\) и/или свободный член \(c\) равны нулю:

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+c=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle c\ne 0\):

1) Выразим неизвестное: \({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\),

2) Проверяем знак выражения \(\displaystyle -\frac{c}{a}\):

  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений,
  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\sqrt{(-\frac{c}{a})}\).

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle b\ne 0\):

1) Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки: \(x\left( ax+b \right)=0\),

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: \(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(a,b,c\ne 0\)

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\),

2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D={{b}^{2}}-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня, которые находятся по формуле: \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)
  • если \(D=0\), то уравнение имеет \(1\) корень, который находится по формуле: \(\displaystyle x=\frac{-b}{2a}\)
  • если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида \({x}^{2}+bx+c=0\), где \(a=1\)) равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\), т.е. \(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\), а \(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) имеет корни \(\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\), то его можно записать в виде : \(\displaystyle a\cdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\).

Определение квадратного уравнения

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное».

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

А определение квадратного уравнения выглядит так:

Квадратное уравнение, это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).

\(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, а \(c\) – свободным членом.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Как отличать квадратные уравнения от неквадратных

Рассмотрим на примерах.

Пример 1

\(\frac{3}{x}+\frac{x}{4}=21\)

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)

\(\frac{4x\cdot 3}{x}+\frac{4x\cdot x}{4}=4x\cdot 21\)

\(12+{{x}^{2}}=84x\)

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

\({{x}^{2}}-84x+12=0\)

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!


Пример 2

\(\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{8}\)

Домножим левую и правую часть на \(8x\):

\(\frac{8x\cdot 1}{x}=\frac{8x\cdot {{x}^{2}}}{8}\)

\(8={{x}^{3}}\)

Это уравнение, хотя в нем изначально был \({{x}^{2}}\), не является квадратным!


Пример 3

\({{x}^{2}}+6-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\)

Домножим все на \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}{{x}^{2}}+6\cdot {{x}^{2}}-\frac{4\cdot {{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\)

\({{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4=0\)

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену \(t={{x}^{2}}\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

\({{t}^{2}}+6t-4=0\)


Пример 4

\({{x}^{2}}-3x+2=2x+{{x}^{2}}-1\)

Вроде бы есть \({{x}^{2}}\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

\({{x}^{2}}-3x+2-2{x}-{{x}^{2}}+1=0\) \({{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3{x}-2x+2+1=0\) \(-5x+3=0\)

Видишь, \({{x}^{2}}\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Определи сам, какое из следующих уравнений является квадратным:

  • \(\ 2{{x}^{2}}+3{x}-4=0\)
  • \(\frac{6}{x}=\frac{x}{7}\)
  • \(5{{x}^{2}}-11x=5{{x}^{2}}+14\)
  •  \(\frac{{{x}^{2}}}{8}-\frac{3}{x}=0\)
  •  \(3\left( {{x}^{2}}+2 \right)-11x=3{{x}^{2}}\)
  •  \(\frac{x}{3}-12=\frac{5}{x}\)
  •  \(\frac{2}{x}={{x}^{2}}\)
  • \(12x+\frac{7}{x}-4=0\)

Ответы:

  • квадратное
  • квадратное
  • не квадратное
  • не квадратное
  • не квадратное
  • квадратное
  • не квадратное
  • квадратное

Два вида квадратных уравнений

Все квадратные уравнения можно разделить на два вида:

Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)).

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю.

Например:

\(4{{x}^{2}}+5x=0\)

\(2{{x}^{2}}-9=0\)

\(6{{x}^{2}}=0\)

Неполные они потому, что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление?

Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:

  • \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
  • \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
  • \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Решение неполных квадратных уравнений первого типа

\(a{{x}^{2}}+c=0\) и \(a\ne 0\ \ c\ne 0\).

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

\({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\).

Выражение \(\displaystyle -\frac{c}{a}\) может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.

Так что: если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений.

А если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то получаем два корня \(x=\sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение \(2{{x}^{2}}-18=0\)

Выразим \({{x}^{2}}\)

\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)

\({{x}^{2}}=9\)

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)

\(x=\pm 3\)

Ответ\(-3;\text{ }3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!


Пример 6

Решите уравнение \(5{{x}^{2}}-80=0\)

\({{x}^{2}}=\frac{80}{5}\)

\({{x}^{2}}=16\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{16}\)

\(x=\pm 4\)

Ответ: \(-4;\text{ }4.\)


Пример 7

Решите уравнение \(18{{x}^{2}}+54=0\)

\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)

\({{x}^{2}}=-3\)

Ой! Все ли здесь правильно?

Решение неполных квадратных уравнений второго типа

\(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0\).

Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\).

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение \(6{{x}^{2}}+15x=0\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( 6x+15 \right)=0\)

Таким образом,

Решение неполных квадратных уравнений третьего типа

\(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0\).

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

\(x=0\).

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта


Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)

Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).

Пример: \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\), здесь \(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3\)


Шаг 2. Вычислить дискриминант по формуле: \( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

Пример: \(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)\)\(\displaystyle=4+12=16\)


Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле: \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)

Пример: \(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)


Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня.

Нужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения:

  1. Если \(D=0\), то формула на шаге \(3\) сократится до \( \displaystyle x=\frac{-b}{2a}\). Таким образом, уравнение будет иметь всего \(1\) корень.
  2. Если \(D<0\), то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге \(3\). Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)).

Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}+5{x}-6=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -6 \right)=25+96=121\)

\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 8}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{6}{8};\\{{x}_{2}}=-2.\end{array} \right.\)

Ответ: \(-2;\text{ }0,75\)


Пример 10

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}-2x+0,25=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Пример 11

Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+4x+5=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.
А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):

\({{x}^{2}}+px+q=0\)

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12

Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\)

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).

Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)

А произведение равно \(q\):

\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)

Составим и решим систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

  • \(12\) и \(1\). Сумма равна \(13\);
  • \(2\) и \(6\). Сумма равна \(8\);
  • \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)

Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(3\); \(4\).


Пример 13

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Пример 14

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Пример 15

\({{x}^{2}}+5x+6=0\).

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):

Пример 16

\({{x}^{2}}-2{x}-24=0\).

Решение:

\(a=1;\text{ }b=-2;\text{ }c=-24.\)

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна \(2\):

Пример 17

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Пример 18

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма.

А для этого порешай-ка еще примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!

Тренировка теоремы Виета

  • \({{x}^{2}}-8x+12=0\)
  • \({{x}^{2}}+13x+36=0\)
  • \(24{x}-22=2{{x}^{2}}\)
  • \({{x}^{2}}-11{x}-26=0\)
  • \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\)

Решения

Пример 19

{{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Пример 20

\({{x}^{2}}+13x+36=0\)

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).

Пример 21 

\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\)

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 2}{{x}^{2}}-24x+22=0\)

Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):

Пример 22 

\(\displaystyle {{x}^{2}}-11{x}-26=0\)

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).

Задание 5. \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\)

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

\(\displaystyle 2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\left| :2 \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+3{x}-28=0\)

Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):

Выводы:

  • Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
  • Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
  • Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a{{y}^{2}}+c=0\).

Например:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+9}_{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2,\\x=-4.\end{array} \right.\)

Пример 23

Решите уравнение: \(4{{x}^{2}}+12{x}-7=0\).

Решение:

Пример 24

Решите уравнение: \(3{{x}^{2}}+12x+8=0\).

Решение:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x \right)+c=a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x \right)+c=\) \(a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x+{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}} \right)+c-a\cdot {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}=a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}.\)

Значит, \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}\).

Отсюда следует: \( \displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\).

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Выделение полного квадрата — это самое сложное и важное умение, относящееся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.

В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык и вы сможете приобрести его посмотрев это видео.

Выделение полного квадрата (разбор 8 примеров)

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук

  • ведущий курсов и автор учебника ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — 18 лет;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ — 100 баллов (мат, физ) и 98 баллов (инф);
  • рейтинг на Профи.ру — «4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

А теперь мы хотим услышать тебя…

Хочешь жить – умей решать квадратные уравнения 🙂

Мы рассказали тебе об основных методах решения квадратных уравнений. А теперь мы хотим услышать тебя.

Расскажи, что ты думаешь об этой статье? Все ли было понятно?

Напиши в комментариях ниже. А еще ты можешь задать любой вопрос, и мы обязательно тебе ответим!

Если у тебя есть какие-то идеи и предложения о том, что еще можно добавить в статью, напиши нам об этом!

Удачи на экзаменах!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 комментария

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Михаил
    15 апреля 2019
    Здравствуйте, большое спасибо за материалы! Могу ошибаться, но в части про определение квадратного уравнения в примере 2 для самостоятельной работы допущена опечатка, конкретнее в ответах написано, что уравнение квадратное, хотя таким не является. Мы обе части уравнения умножаем на 7x после чего в левой сокращаются иксы, а в правой семерки и получаем 42 = x^2. На сколько понял такой вид не является квадратным. И еще раз спасибо за материалы! Очень доступно описано то, обо что я бился головой не один день

    Александр (админ)
    15 апреля 2019
    Пожалуйста, Михаил. Очень рады, что понравился наш материал. По поводу вопроса. Я вижу в уравнении, которое ты привел переменную в квадрате, тот самый икс в квадрате. (42 = x^2). А по нашему вольному определению, данному вначале этого текста, уравнение является квадратным, если у него есть переменная в квадрате и нет переменных в 3-й и более степеней.

    Алексей
    23 августа 2019
    Здравствуйте! Скажите почему в неполных квадратных уравнениях (в 3 типе) нельзя перенести второе слагаемое вправо, а затем поделить на x. Получиться что x не равен 0. Но это не так! Мы ведь можем левую и правую часть подвергать любым операциям или это кроме операций с переменной (умножать на ее, делить и т.д.) Или в конце просто сделать проверку?

    Алексей Шевчук
    25 августа 2019
    Алексей, всё верно, на переменную умножать, делить и т.д. нельзя, если мы не уверены, что она не равна нулю. Если это сделать, то даже проверка не поможет найти упущенные корни. Пример, когда можно делить: (x^2+1)*x = 5*(x^2+1) здесь можно поделить на скобку (x^2+1), так как она равной нулю быть не может. Но для того, чтобы схема решения была универсальной, даже в таких задачах лучше всё переносить в одну сторону и раскладывать на множители — так меньше вероятность ошибки, и не придётся каждый раз анализировать, можно на неё делить или нет.