18 июля

3 comments

Квадратные уравнения (ЕГЭ – 2021)

Почему нужно обязательно научиться щёлкать квадратные уравнения как орешки?

Потому что решение многих уравнений сводится к решению квадратных!

И будет обидно, например, на ЕГЭ решить более сложное уравнение и споткнуться на квадратном.

Изучи эту статью и про квадратные уравнения ты будешь знать всё!

Содержание

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное».

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

А определение квадратного уравнения выглядит так:

Квадратное уравнение, это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).
\(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, а \(c\) – свободным членом.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

\(\frac{3}{x}+\frac{x}{4}=21\)

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)

\(\frac{4x\cdot 3}{x}+\frac{4x\cdot x}{4}=4x\cdot 21\)

\(12+{{x}^{2}}=84x\)

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

\({{x}^{2}}-84x+12=0\)

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

\(\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{8}\)

Домножим левую и правую часть на \(8x\):

\(\frac{8x\cdot 1}{x}=\frac{8x\cdot {{x}^{2}}}{8}\)

\(8={{x}^{3}}\)

Это уравнение, хотя в нем изначально был \({{x}^{2}}\), не является квадратным!

\({{x}^{2}}+6-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\)

Домножим все на \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}{{x}^{2}}+6\cdot {{x}^{2}}-\frac{4\cdot {{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\)

\({{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4=0\)

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену \(t={{x}^{2}}\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

\({{t}^{2}}+6t-4=0\)

\({{x}^{2}}-3x+2=2x+{{x}^{2}}-1\)

Вроде бы есть \({{x}^{2}}\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

\({{x}^{2}}-3x+2-2{x}-{{x}^{2}}+1=0\)

\({{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3{x}-2x+2+1=0\)

\(-5x+3=0\)

Видишь, \({{x}^{2}}\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить:

  1. 1
    \(\ 2{{x}^{2}}+3{x}-4=0\)
  2. 2
    \(\frac{6}{x}=\frac{x}{7}\)
  3. 3
    \(5{{x}^{2}}-11x=5{{x}^{2}}+14\)
  4. 4
     \(\frac{{{x}^{2}}}{8}-\frac{3}{x}=0\)
  5. 5
     \(3\left( {{x}^{2}}+2 \right)-11x=3{{x}^{2}}\)
  6. 6
     \(\frac{x}{3}-12=\frac{5}{x}\)
  7. 7
     \(\frac{2}{x}={{x}^{2}}\)
  8. 8
    \(12x+\frac{7}{x}-4=0\)

Ответы:

  1. 1
    квадратное
  2. 2
    квадратное
  3. 3
    не квадратное
  4. 4
    не квадратное
  5. 5
    не квадратное
  6. 6
    квадратное
  7. 7
    не квадратное
  8. 8
    квадратное

Математики условно делят все квадратные уравнения на \(2\) вида:

Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)).

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю.

Например:

\(4{{x}^{2}}+5x=0\)

\(2{{x}^{2}}-9=0\)

\(6{{x}^{2}}=0\)

Неполные они потому, что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление?

Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:

  1. 1
    \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
  2. 2
    \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
  3. 3
    \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

\(a{{x}^{2}}+c=0\) и \(a\ne 0\ \ c\ne 0\).

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

\({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\).

Выражение \(\displaystyle -\frac{c}{a}\) может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число, так что: если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений.

А если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то получаем два корня \(x=\sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).

Давай попробуем решить несколько примеров.

Решите уравнение \(2{{x}^{2}}-18=0\)

Выразим \({{x}^{2}}\)

\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)

\({{x}^{2}}=9\)

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)

\(x=\pm 3\)

Ответ: \(-3;\text{ }3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Решите уравнение \(5{{x}^{2}}-80=0\)

\({{x}^{2}}=\frac{80}{5}\)

\({{x}^{2}}=16\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{16}\)

\(x=\pm 4\)

Ответ: \(-4;\text{ }4.\)

Решите уравнение \(18{{x}^{2}}+54=0\)

\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)

\({{x}^{2}}=-3\)

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

\(18{{x}^{2}}+54=0\) нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок – \(\emptyset \ \) (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ: \(\emptyset \ \)

\(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0\).

Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\).

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Решите уравнение \(6{{x}^{2}}+15x=0\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( 6x+15 \right)=0\)

Таким образом,

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\6x+15=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{15}{6}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=0,\\{{x}_{2}}=-2,5\end{array} \right.\)

У этого уравнения два корня.

Ответ: \(-2,5;\text{ }0.\)

\(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0\).

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

\(x=0\).

Здесь обойдемся без примеров.

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня.

Нужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм

Пример: \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\)

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)

Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).

\({{x}^{2}}+2{x}-3=0\),здесь\(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3.\)

Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:\( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)=\)\(\displaystyle=4+12=16\)

Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:\( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)

\(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

  • Если \(D=0\), то формула на шаге \(3\) сократится до \( \displaystyle x=\frac{-b}{2a}\). Таким образом, уравнение будет иметь всего \(1\) корень.
  • Если \(D<0\), то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге \(3\). Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)).

Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}+5{x}-6=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -6 \right)=25+96=121\)

\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 8}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{6}{8};\\{{x}_{2}}=-2.\end{array} \right.\)

Ответ: \(-2;\text{ }0,75\)

Пример 10

Решите уравнение \(4{{x}^{2}}-2x+0,25=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 0,25=4-4=0\)

\(D=0\), а значит уравнение имеет один корень.

\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left( -2 \right)}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}=0,25\)

Ответ: \(0,25.\)

Пример 11

Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+4x+5=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

\(D={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44\)

\(D<0\), азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.
А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):

\({{x}^{2}}+px+q=0\)

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 12

Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\)

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).

Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)

А произведение равно \(q\):

\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)

Составим и решим систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

  • \(12\) и \(1\). Сумма равна \(13\);
  • \(2\) и \(6\). Сумма равна \(8\);
  • \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)

Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(3\); \(4\).

Пример 13

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  • \(40\) и \(1\)
  • \(20\) и \(2\)
  • \(10\) и \(4\)
  • \(8\) и \(5\)

Очевидно, что под первое условие \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\) подходят только корни \(-5\) и \(8\):

\(\left\{ \begin{array}{l}-5+8=3;\\-5\cdot 8=-40\end{array} \right.\)

Ответ: \(-5;\text{ }8.\)

Пример 14

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

  • \(77\) и \(1\)
  • \(11\) и \(7\)

Очевидно, что корнями являются числа \(-7\) и \(-11\).

\(\left\{ \begin{array}{l}-11-7=-18;\\-11\cdot \left( -7 \right)=77\end{array} \right.\)

Ответ: \(-11;\text{ }-7.\)

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Квадратными называются уравнения, в которых присутствует переменная в квадрате, и при этом нет переменной в степенях, больших \(2\).

Другими словами, квадратное уравнение – это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).

Число \(a\) называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, \(b\) – вторым коэффициентом, а \(c\) – свободным членом.

Почему \(a\ne 0\)? Потому что если \(a=0\), уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет \({{x}^{2}}\).

При этом \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю. В этом случае уравнение называют неполным.

Если же все слагаемые на месте, то есть \(a,b,c\ne 0\), уравнение – полное.

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений – они проще.

Можно выделить \(3\) типа таких уравнений:

  1. 1
    \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
  2. 2
    \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
  3. 3
    \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1. \(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0,\text{ }b=0,\text{ }c=0\).

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

\(x=0\)

2. \(a{{x}^{2}}+c=0,\ \ \ a\ne 0,\text{ }b=0,\ c\ne 0\).

Выразим \({{x}^{2}}\):

\( \displaystyle {{x}^{2}}=-\frac{c}{a}\)

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

  • если \( \displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений;
  • если \( \displaystyle -\frac{c}{a}>0\), имеем учаем два корня \(x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\)

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).

Примеры:

  1. 1
    \(2{{x}^{2}}-18=0\)
  2. 2
    \(18{{x}^{2}}+54=0\)
  3. 3
    \(3{{x}^{2}}-36=0\)

Решения:

1. \(2{{x}^{2}}-18=0\)

Выразим \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)

\({{x}^{2}}=9\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)

\(x=\pm 3\)

Ответ: \(-3;3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

2. \(18{{x}^{2}}+54=0\)

\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)

\({{x}^{2}}=-3\)

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

\(18{{x}^{2}}+54=0\) нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества \(\displaystyle \emptyset \).

Ответ: \(\displaystyle \emptyset \)

3. \(3{{x}^{2}}-36=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=36\Leftrightarrow {{x}^{2}}=12\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\)

Итак, это уравнение имеет два корня: \({{x}_{1}}=2\sqrt{3}\) и \({{x}_{2}}=-2\sqrt{3}\).

Ответ: \(2\sqrt{3};\text{ }-2\sqrt{3}\)

3. \(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0,\text{ }c=0\).

Вынесем общим множитель \(x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: \({{x}_{1}}=0\) и \({{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\).

Пример:

Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+15x=0\).

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

\(3{{x}^{2}}+15x=0\Leftrightarrow 3x\left( x+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x=0\\x+5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-5.\end{array} \right.\)

Ответ: \(0;-5\)

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Алгоритм

Пример: \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\)

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)

Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).

\({{x}^{2}}+2{x}-3=0\),

здесь

\(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3.\)

Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:\( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)=\)\(\displaystyle=4+12=16\)

Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:\( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)

\(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?

Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

Дискриминант \(\left( D \right)\) указывает нам на количество корней уравнения.

  • Если \(D>0\), то уравнение имеет \(2\) корня:
    \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};\text{ }{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)
  • Если \(D=0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) одинаковых корня, а по сути, один корень:
    \( \displaystyle x=\frac{-b}{2a}\)
    Такие корни называются двукратными.
  • Если \(D<0\), то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(\displaystyle f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(\displaystyle x\)).

Парабола может вообще не пересекать ось \(\displaystyle x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(\displaystyle x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(а>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Примеры:

  1. 1
    \(2{{x}^{2}}+5{x}-7=0\)
  2. 2
    \(3{{x}^{2}}+4{x}-5=0\)
  3. 3
    \(4{{x}^{2}}-12x+9=0\)
  4. 4
    \(4{{x}^{2}}-5x+9=0\)

Решения:

1. \(2{{x}^{2}}+5{x}-7=0\)

\(a=2,\text{ }b=5,\text{ }c=-7.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -7 \right)=25+56=81>0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 9}{4};\)

\({{x}_{1}}=\frac{-5+9}{4}=1;\)

\({{x}_{2}}=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}.\)

Ответ: \(1;-3,5\)

2. \(3{{x}^{2}}+4{x}-5=0\)

\(a=3,\text{ }b=4,\text{ }c=-5.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -5 \right)=16+60=76>0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{76}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{3};\)

\({{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{19}}{3};\)

\({{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{19}}{3}.\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{19}-2}{3};\text{ }-\frac{\sqrt{19}+2}{3}\).

3. \(4{{x}^{2}}-12x+9=0\)

\(a=4,\text{ }b=-12,\text{ }c=9.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -12 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}.\)

Ответ: \(-1,25\)

4. \(4{{x}^{2}}-5x+9=0\)

\(a=4,\text{ }b=-5,\text{ }c=9.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 9=25-144=-119<0\)

\(D\text{ }<\text{ }0\), а значит, решений нет.

Ответ: \(\displaystyle \emptyset \).

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида \({{x}^{2}}+bx+c=0\), то есть уравнение, старший коэффициент которого равен единице (\(a=1\)).
Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+bx+c=0\) равна \(-b\), а произведение корней равно свободному члену \(c\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях (\(a=1\)).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1

Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\).

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\). Остальные коэффициенты: \(b=-7\); \(c=12\).

Сумма корней уравнения равна \(-b\):

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)

А произведение равно \(c\):

\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

  • \(12\) и \(1\). Сумма равна \(\displaystyle 13\);
  • \(2\) и \(\displaystyle 6\). Сумма равна \(8\);
  • \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)

Таким образом, \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(\displaystyle 3\); \(\displaystyle 4\).

Пример №2

\({{x}^{2}}+5x+6=0\).

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):

\(6\) и \(\displaystyle 1\): в сумме дают \(7\ne -5\).

\(3\) и \(2\): в сумме дают \(5\).

Чтобы получить \(-5\), достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: \(-3\) и \(-2\), ведь произведение.

Ответ: \(-3;-2\)

Пример №3

\({{x}^{2}}-2{x}-24=0\).

Решение:

\(a=1;\text{ }b=-2;\text{ }c=-24.\)

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна \(2\):

\(24\) и \(1\): их разность равна \(23\) – не подходит;

\(12\) и \(2\): \(12-2=10\) – не подходит;

\(8\) и \(3\): \(8-3=5\) – не подходит;

\(6\) и \(4\): \(6-4=2\) – подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться \(2>0\), то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: \(-4\). Проверяем: \(6+(-4)=2,6\cdot (-4)=-24\)

Ответ: \(-4;6\)

Пример №4

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  • \(40\) и \(1\)
  • \(20\) и \(2\)
  • \(10\) и \(4\)
  • \(8\) и \(5\)

Очевидно, что под первое условие \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\) подходят только корни \(-5\) и \(8\):

\(\left\{ \begin{array}{l}-5+8=3;\\-5\cdot 8=-40\end{array} \right.\)

Ответ: \(-5;\text{ }8.\)

Пример №5

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

  • \(\displaystyle 77\) и \(\displaystyle 1\)
  • \(11\) и \(\displaystyle 7\)

Очевидно, что корнями являются числа \(-7\) и \(-11\).

\(\left\{ \begin{array}{l}-11-7=-18;\\-11\cdot \left( -7 \right)=77\end{array} \right.\)

Ответ: \(-11;\text{ }-7.\)

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

  1. 1
    \({{x}^{2}}-8x+12=0\)
  2. 2
    \({{x}^{2}}+13x+36=0\)
  3. 3
    \(24{x}-22=2{{x}^{2}}\)
  4. 4
    \({{x}^{2}}-11{x}-26=0\)
  5. 5
    \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\)

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

\(12=12\cdot 1\) – не подходит, так как сумма \(12+1=13\ne 8\);

\(12=6\cdot 2\): сумма \(6+2=8\) – то что надо.

Ответ: \(2\); \(6\).

Задание 2. \({{x}^{2}}+13x+36=0\)

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}36=1\cdot 36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9\\1+36=37\\2+18=20\\3+12=15\\4+9=13\end{array}\)

Но так как должно быть не \(\displaystyle 13\), а \(\displaystyle -13\), меняем знаки корней: \(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle -9\) (в сумме \(\displaystyle -4+\left( -9 \right)=-13\)).

Ответ: \(\displaystyle -4\); \(\displaystyle -9\).

Задание 3. \(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\)

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 2}{{x}^{2}}-24x+22=0\)

Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):

\(\displaystyle \text{2}{{x}^{2}}-24x+22=0\text{ }\left| :2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-12x+11=0 \right.\)

Отлично. Тогда сумма корней равна \(\displaystyle \mathbf{12}\), а произведение \(\displaystyle \mathbf{11}\).

Тут подобрать проще простого: ведь \(\displaystyle \mathbf{11}\) – простое число (извини за тавтологию).

\(\displaystyle 11=11\cdot 1\)

\(\displaystyle 11+1=12\)

Ответ: \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 11\).

Задание 4. \(\displaystyle {{x}^{2}}-11{x}-26=0\)

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}26=26\cdot 1=13\cdot 2\\26-1=25\\13-2=11\end{array}\)

Итак, корни равны \(\displaystyle 13\) и \(\displaystyle 2\), но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть \(\displaystyle +\mathbf{11}\). Значит, минус будет у меньшего корня: \(\displaystyle \mathbf{13}\) и \(\displaystyle -2\), так как \(\displaystyle 13+\left( -2 \right)=11\).

Ответ: \(\displaystyle -2\); \(\displaystyle 13\).

Задание 5. \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\)

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

\(\displaystyle 2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\left| :2 \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+3{x}-28=0\)

Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}28=28\cdot 1=14\cdot 2=7\cdot 4\\28-1=27\\14-2=12\\7-4=3\end{array}\)

Корни равны \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 7\), но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна \(\displaystyle -3\), значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: \(\displaystyle -7\); \(\displaystyle 4\).

  • Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
  • Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
  • Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a{{y}^{2}}+c=0\).

Например:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+9}_{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2,\\x=-4.\end{array} \right.\)

Пример №1

Решите уравнение: \(4{{x}^{2}}+12{x}-7=0\).

Решение:

\(4{{x}^{2}}+12{x}-7=\left( {{\left( 2x \right)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot 3+9 \right)-9-7={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-16;\)

\({{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-16=0\Leftrightarrow {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+3=4\\2x+3=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{1}{2},\\x=-\frac{7}{2}.\end{array} \right.\)

Ответ: \(0,5;-3,5\)

Пример №2

Решите уравнение: \(3{{x}^{2}}+12x+8=0\).

Решение:

\(3{{x}^{2}}+12x+8=3\left( {{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 2+4 \right)-12+8=3{{\left( x+2 \right)}^{2}}-4;\)

\(3{{\left( x+2 \right)}^{2}}-4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\x+2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-2,\\x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-2.\end{array} \right.\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}-2;\text{ }-\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\)

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x \right)+c=a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x \right)+c=\) \(a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x+{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}} \right)+c-a\cdot {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}=a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}.\)

Значит, \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}\).

Отсюда следует: \( \displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\).

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Определения

Квадратное уравнение – это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\) - коэффициенты квадратного уравнения, \(c\) – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты \(a\), \(b\), \(\displaystyle c\) не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(a=1\), то есть: \({x}^{2}+bx+c=0\).

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(b\) и/или свободный член \(c\) равны нулю:

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+c=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle c\ne 0\):

1) Выразим неизвестное: \({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\),

2) Проверяем знак выражения \(\displaystyle -\frac{c}{a}\):

  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений,
  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\sqrt{(-\frac{c}{a})}\).

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle b\ne 0\):

1) Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки: \(x\left( ax+b \right)=0\),

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: \(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)

Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида [latex]a{{x}^{2}}+bx+c=0,[/latex] где \(a,b,c\ne 0\)

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\),

2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D={{b}^{2}}-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня, которые находятся по формуле: \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)
  • если \(D=0\), то уравнение имеет \(1\) корень, который находится по формуле: \(\displaystyle x=\frac{-b}{2a}\)
  • если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида \({x}^{2}+bx+c=0\), где \(a=1\)) равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\), т.е. \(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\), а \(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) имеет корни \(\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\), то его можно записать в виде : \(\displaystyle a\cdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А теперь мы хотим услышать тебя...

Хочешь жить – умей решать квадратные уравнения 🙂

Мы рассказали тебе об основных методах решения квадратных уравнений. А тепеь мы хотим услышать тебя.

Расскажи, что ты думаешь об этой статье? Все ли было понятно?

Напиши в комментариях ниже. А еще ты можешь задать любой вопрос, и мы обязательно тебе ответим!

Если у тебя есть какие-то идеи и предложения о том, что еще можно добавить в статью, напиши нам об этом!

Удачи!

  • Людмила Ивановна:

    Доброе время суток! в самом начале квадратных уравнений у вас высвечивается формула(на фото)
    D= .но ведь это формула для х=
    это на внимательность

    • Александр Кель:

      Спасибо, Людмила Ивановна! Точно! Это формула для нахождения корней. Исправим )

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Михаил
    15 апреля 2019
    Здравствуйте, большое спасибо за материалы! Могу ошибаться, но в части про определение квадратного уравнения в примере 2 для самостоятельной работы допущена опечатка, конкретнее в ответах написано, что уравнение квадратное, хотя таким не является. Мы обе части уравнения умножаем на 7x после чего в левой сокращаются иксы, а в правой семерки и получаем 42 = x^2. На сколько понял такой вид не является квадратным. И еще раз спасибо за материалы! Очень доступно описано то, обо что я бился головой не один день

    Александр (админ)
    15 апреля 2019
    Пожалуйста, Михаил. Очень рады, что понравился наш материал. По поводу вопроса. Я вижу в уравнении, которое ты привел переменную в квадрате, тот самый икс в квадрате. (42 = x^2). А по нашему вольному определению, данному вначале этого текста, уравнение является квадратным, если у него есть переменная в квадрате и нет переменных в 3-й и более степеней.

    Алексей
    23 августа 2019
    Здравствуйте! Скажите почему в неполных квадратных уравнениях (в 3 типе) нельзя перенести второе слагаемое вправо, а затем поделить на x. Получиться что x не равен 0. Но это не так! Мы ведь можем левую и правую часть подвергать любым операциям или это кроме операций с переменной (умножать на ее, делить и т.д.) Или в конце просто сделать проверку?

    Алексей Шевчук
    25 августа 2019
    Алексей, всё верно, на переменную умножать, делить и т.д. нельзя, если мы не уверены, что она не равна нулю. Если это сделать, то даже проверка не поможет найти упущенные корни. Пример, когда можно делить: (x^2+1)*x = 5*(x^2+1) здесь можно поделить на скобку (x^2+1), так как она равной нулю быть не может. Но для того, чтобы схема решения была универсальной, даже в таких задачах лучше всё переносить в одну сторону и раскладывать на множители — так меньше вероятность ошибки, и не придётся каждый раз анализировать, можно на неё делить или нет.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >