Параллелепипед, куб. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое параллелепипед

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом? Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Так и есть:

параллелепипед

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

параллелограмм

Основные понятия

Смотри, запоминай и не путай!

Грани

Ребра

Диагонали параллелепипеда

Диагонали граней параллелепипеда

Высота и основание параллелепипеда

Высота и основание параллелепипеда 2

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Проверь себя — реши задачи на параллелепипед, куб.

Свойства параллелепипеда

  • Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Противоположные грани параллелепипеда

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

  • Боковые ребра параллелепипеда равны:Противоположные грани параллелепипеда

Боковые ребра параллелепипеда

Боковые ребра параллелепипеда 2

  • Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали параллелепипеда пересекаются

Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.

Проверь себя — реши задачи на параллелепипед, куб.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

Прямой параллелепипед

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

Прямоугольный параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда все гранипрямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
\(\displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

Параллелепипед. Диагональ. Формула

\(\displaystyle \Delta BAD\) — прямоугольный, поэтому

\(\displaystyle B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\)

\(\displaystyle \Delta BD{{D}_{1}}\) — тоже прямоугольный!

Поэтому

\(\displaystyle B{{D}_{1}}^{2}=B{{D}^{2}}+D{{D}_{1}}^{2}\),

Подставим:

\(\displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\)

Вывели формулу.

Проверь себя — реши задачи на параллелепипед, куб.

Куб

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Параллелепипед, куб

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

\(\displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}\),

То есть

\(\displaystyle d=a\sqrt{3}\)

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна \(\displaystyle 5\sqrt{3}\). Найти полную поверхность».

Пользуясь нашей формулой: \(\displaystyle d=a\sqrt{3}\), мы узнали, что \(\displaystyle 5\sqrt{3}=a\sqrt{3}\ \), то есть \(\displaystyle a=5\).

Значит полная поверхность – шесть площадей квадратов со стороной \(\displaystyle a\) -равна:

\(\displaystyle S=6\cdot {{a}^{2}}=6\cdot 25=150\).

Видишь как быстро? И ты применяй!

Проверь себя — реши задачи на параллелепипед и куб.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *