Перпендикулярность в пространстве. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Перпендикулярность в пространстве рис. 1

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

Перпендикулярность в пространстве рис. 2

прямая $latex \displaystyle a$ перпендикулярна прямой $latex \displaystyle b$, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$, нужно через произвольную точку $latex \displaystyle O$ на прямой a провести прямую $latex \displaystyle {b}’\parallel b$. И тогда угол между $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$ (по определению!) будет равен углу между $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle {{b}’}$.

 

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle {{b}’}$, то нужно считать перпендикулярными прямые $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб $latex \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$. И тебя просят найти угол между прямыми $latex \displaystyle AC$ и $latex \displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}$. Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между $latex \displaystyle AC$ и $latex \displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}$, проведём $latex \displaystyle BD$.

Перпендикулярность в пространстве рис. 3

Из-за того, что $latex \displaystyle B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D$ — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что $latex \displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}\parallel BD$. А из-за того, что $latex \displaystyle ABCD$ – квадрат, выходит, что $latex \displaystyle AC\bot BD$. Ну, и значит $latex \displaystyle AC\bot {{B}_{1}}{{D}_{1}}$.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

 

Вот картинка:

Перпендикулярность в пространстве рис. 4

прямая $latex \displaystyle h$ перпендикулярна плоскости $latex \displaystyle \alpha $, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и $latex \displaystyle a$, и $latex \displaystyle b$, и $latex \displaystyle c$, и даже $latex \displaystyle d$! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

Перпендикулярность в пространстве рис. 5

если найдутся всего лишь две прямые ($latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$) в плоскости $latex \displaystyle\alpha$, которым перпендикулярна прямая $latex \displaystyle h$, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости $latex \displaystyle \alpha $, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой $latex \displaystyle c$). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Перпендикулярность в пространстве рис. 6

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр $latex \displaystyle ABCD$.

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 4

Задача: доказать, что $latex \displaystyle BD\bot AC$. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 5

давай отметим середину $latex \displaystyle M$ ребра $latex \displaystyle AC$ и проведём $latex \displaystyle BM$ и $latex \displaystyle DM$. Это медианы в $latex \displaystyle \Delta ABC$ и $latex \displaystyle \Delta ADC$. Треугольники – правильные $latex \displaystyle \Rightarrow BM\bot AC$ и $latex \displaystyle DM\bot AC$.

Вот оно, чудо: получается, что $latex \displaystyle AC\bot BMD$, так как $latex \displaystyle AC\bot BM$ и $latex \displaystyle AC\bot DM$. И далее, $latex \displaystyle AC\bot BMD\Rightarrow AC\bot $ всем прямым в плоскости $latex \displaystyle BMD$, а значит, и $latex \displaystyle AC\bot BD$. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости ($latex \displaystyle \alpha$ и $latex \displaystyle \beta$) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами ($latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$) к линии пересечения этих плоскостей равен $latex \displaystyle 90{}^\circ $. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

  • Если $latex \displaystyle \alpha \bot \beta $, то $latex \displaystyle \alpha $ проходит через перпендикуляр к $latex \displaystyle \beta $.

И

  • Если $latex \displaystyle \alpha $ проходит через перпендикуляр к $latex \displaystyle \beta $, то $latex \displaystyle \alpha \bot \beta $.

(естественно, здесь $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle \beta $ — плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая $latex \displaystyle a$, не лежащая в плоскости $latex \displaystyle \alpha $, перпендикулярна прямой $latex \displaystyle b$, лежащей в плоскости $latex \displaystyle \alpha $, тогда и только тогда, когда проекция $latex \displaystyle {{a}’}$ прямой a перпендикулярна прямой $latex \displaystyle b$.

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1. $latex \displaystyle a\bot b\Rightarrow {a}’\bot b$

2. $latex \displaystyle {a}’\bot b\Rightarrow a\bot b$.

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида $latex \displaystyle SABCDEF$. Найти угол между прямыми $latex \displaystyle AS$ и $latex \displaystyle CE$.

Теорема о трёх перпендикулярах на примере

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая $latex \displaystyle AD$ — проекция прямой $latex \displaystyle AS$.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике $latex \displaystyle AD\bot CE$. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

$latex \displaystyle AD\bot CE\Rightarrow AS\bot CE$

И пишем ответ: $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

 

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий