Перпендикулярность в пространстве. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними \(\displaystyle 90{}^\circ \).

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Перпендикулярность в пространстве рис. 1

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

Перпендикулярность в пространстве рис. 2

прямая \(\displaystyle a\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle b\), хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\), нужно через произвольную точку \(\displaystyle O\) на прямой a провести прямую \(\displaystyle {b}’\parallel b\). И тогда угол между \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) (по определению!) будет равен углу между \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle {{b}’}\).

 

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle {{b}’}\), то нужно считать перпендикулярными прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\).

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб \(\displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\). И тебя просят найти угол между прямыми \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}\). Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}\), проведём \(\displaystyle BD\).

Перпендикулярность в пространстве рис. 3

Из-за того, что \(\displaystyle B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D\) — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что \(\displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}\parallel BD\). А из-за того, что \(\displaystyle ABCD\) – квадрат, выходит, что \(\displaystyle AC\bot BD\). Ну, и значит \(\displaystyle AC\bot {{B}_{1}}{{D}_{1}}\).

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

 

Вот картинка:

Перпендикулярность в пространстве рис. 4

прямая \(\displaystyle h\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle \alpha \), если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и \(\displaystyle a\), и \(\displaystyle b\), и \(\displaystyle c\), и даже \(\displaystyle d\)! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

Перпендикулярность в пространстве рис. 5

если найдутся всего лишь две прямые (\(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\)) в плоскости \(\displaystyle\alpha\), которым перпендикулярна прямая \(\displaystyle h\), то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости \(\displaystyle \alpha \), то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой \(\displaystyle c\)). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Перпендикулярность в пространстве рис. 6

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр \(\displaystyle ABCD\).

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 4

Задача: доказать, что \(\displaystyle BD\bot AC\). Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 5

давай отметим середину \(\displaystyle M\) ребра \(\displaystyle AC\) и проведём \(\displaystyle BM\) и \(\displaystyle DM\). Это медианы в \(\displaystyle \Delta ABC\) и \(\displaystyle \Delta ADC\). Треугольники – правильные \(\displaystyle \Rightarrow BM\bot AC\) и \(\displaystyle DM\bot AC\).

Вот оно, чудо: получается, что \(\displaystyle AC\bot BMD\), так как \(\displaystyle AC\bot BM\) и \(\displaystyle AC\bot DM\). И далее, \(\displaystyle AC\bot BMD\Rightarrow AC\bot \) всем прямым в плоскости \(\displaystyle BMD\), а значит, и \(\displaystyle AC\bot BD\). Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен \(\displaystyle 90{}^\circ \).

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (\(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\)) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (\(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\)) к линии пересечения этих плоскостей равен \(\displaystyle 90{}^\circ \). И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

  • Если \(\displaystyle \alpha \bot \beta \), то \(\displaystyle \alpha \) проходит через перпендикуляр к \(\displaystyle \beta \).

И

  • Если \(\displaystyle \alpha \) проходит через перпендикуляр к \(\displaystyle \beta \), то \(\displaystyle \alpha \bot \beta \).

(естественно, здесь \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta \) — плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая \(\displaystyle a\), не лежащая в плоскости \(\displaystyle \alpha \), перпендикулярна прямой \(\displaystyle b\), лежащей в плоскости \(\displaystyle \alpha \), тогда и только тогда, когда проекция \(\displaystyle {{a}’}\) прямой a перпендикулярна прямой \(\displaystyle b\).

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1. \(\displaystyle a\bot b\Rightarrow {a}’\bot b\)

2. \(\displaystyle {a}’\bot b\Rightarrow a\bot b\).

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида \(\displaystyle SABCDEF\). Найти угол между прямыми \(\displaystyle AS\) и \(\displaystyle CE\).

Теорема о трёх перпендикулярах на примере

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая \(\displaystyle AD\) — проекция прямой \(\displaystyle AS\).

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике \(\displaystyle AD\bot CE\). Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

\(\displaystyle AD\bot CE\Rightarrow AS\bot CE\)

И пишем ответ: \(\displaystyle 90{}^\circ \).

 

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий