Проценты. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Задачи на проценты

Знаю: наверняка ты терпеть не можешь слово «процент». Но это чувство у тебя скоро исчезнет. Чтобы это произошло, разберем такой вопрос:

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть». То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

Процент от числа

И все. Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».

Например: чему равны $latex \displaystyle 34\%$ от числа $latex \displaystyle 120$?

Прочтем это задание по-другому: чему равны $latex \displaystyle 34$ сотых доли числа $latex \displaystyle 120$? Элементарно, правда? Нужно разделить число $latex \displaystyle 120$ на $latex \displaystyle 100$ частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять $latex \displaystyle 34$ таких части:

$latex \displaystyle \frac{120}{100}\cdot 34=1,2\cdot 34=40,8$.

Сколько процентов содержится в числе?

Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»: Сколько сотых частей находится в числе? Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на $latex \displaystyle 100$ частей, сколько будет этих частей? Очевидно же, что $latex \displaystyle 100$).

Разберем еще несколько примеров.

  1. Чему равны $latex \displaystyle 125\%$ от числа $latex \displaystyle 350$?
  2. Чему равно число, $latex \displaystyle 30\%$ которого равны $latex \displaystyle 90$?
  3. Сколько процентов составляет число $latex \displaystyle 45$ от числа $latex \displaystyle 75$?

Решения:

1) И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны $latex \displaystyle 125$ сотых числа $latex \displaystyle 350$?

$latex \displaystyle \frac{125}{100}\cdot 350=\text{1}\text{,25}\cdot 350=437,5$.

Может показаться странным, что у нас целых $latex \displaystyle 125\%$ – ведь мы уже выяснили, что в числе всего $latex \displaystyle 100\%$. Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа. Почему нельзя одну сотую числа взять $latex \displaystyle 125$ раз? Можно, ведь по сути это – просто число.

2) Итак, $latex \displaystyle \frac{30}{100}$ от числа равны $latex \displaystyle 90$. Можем составить простенькое уравнение:

$latex \displaystyle \frac{30}{100}\cdot x=90\text{  }\Rightarrow \text{  }x=300$.

Ты заметил, что я сразу же вместо $latex \displaystyle 30\%$ написал $latex \displaystyle \frac{30}{100}$? И правда, один процент – это одна сотая, а значит, $latex \displaystyle 30$ процентов – это $latex \displaystyle 30$ сотых. Ты можешь тоже так делать.

3) Обозначим искомое количество процентов буквой $latex \displaystyle x$. Тогда $latex \displaystyle x\%$ от числа $latex \displaystyle 75$ равно $latex \displaystyle 45$. Или, что то же самое, $latex \displaystyle x$ сотых от числа $latex \displaystyle 75$ равно $latex \displaystyle 45$:

$latex \displaystyle \frac{x}{100}\cdot 75=45\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{45\cdot 100}{75}=60$.

Ответ: $latex \displaystyle 60\%$.

1. Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать $latex \displaystyle \frac{1}{100}$, или просто разделить на $latex \displaystyle 100$. То есть, $latex \displaystyle 25\%$ – это то же самое, что $latex \displaystyle \frac{25}{100}$; $latex \displaystyle 247\%$ – это $latex \displaystyle \frac{247}{100}$ и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Например:

$latex \displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25$;

$latex \displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47$;

$latex \displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158$,

и так далее.

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Например:

1) Чему равны $latex \displaystyle 35\%$ от числа $latex \displaystyle 60$?

Вместо $latex \displaystyle 35\%$ напишем что? $latex \displaystyle 0,35$. Итак, $latex \displaystyle 0,35\cdot 60=21$.

2) $latex \displaystyle 48\%$ от какого числа равны $latex \displaystyle 456$?

$latex \displaystyle 0,48x=456\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{456}{0,48}=950$.

2. Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на $latex \displaystyle x$, это значит, что к числу надо прибавить $latex \displaystyle x$.

Если же число уменьшилось на $latex \displaystyle x$, это значит, что из числа надо вычесть $latex \displaystyle x$.

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на $latex \displaystyle 5\%$. Какой стала цена, если изначально холодильник стоил $latex \displaystyle 12500$р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на $latex \displaystyle 5\%$. Но $latex \displaystyle 5\%$ от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника ($latex \displaystyle 12500$ р). Получается, что нам нужно найти $latex \displaystyle 5\%$ от $latex \displaystyle 12500$р:

$latex \displaystyle 0,05\cdot 12500=625$.

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на $latex \displaystyle 625$р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена $latex \displaystyle =12500+625=13125$ рублей.

Ответ: $latex \displaystyle 13125.$

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит $latex \displaystyle 360$р. Во время акции все книги продаются со скидкой $latex \displaystyle 15\%.$. Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в $latex \displaystyle 15\%.$ означает, что стоимость товара уменьшили на $latex \displaystyle 15\%.$.

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти $latex \displaystyle 15\%.$ от начальной ее стоимости в $latex \displaystyle 360$р:

$latex \displaystyle 0,15\cdot 360=54$.

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена $latex \displaystyle =360-54=306$ рублей.

Ответ: $latex \displaystyle 306$.

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число $latex \displaystyle x$ на $latex \displaystyle 23\%$.

Чему равны $latex \displaystyle 23\%$ от $latex \displaystyle x$? Как мы уже выяснили раньше, это будет $latex \displaystyle 0,23x$.

Теперь увеличим само число x на эту величину:

$latex \displaystyle x+0,23x=1,23x$.

Получается, что в результате мы к десятичной записи $latex \displaystyle 23\%$ прибавили $latex \displaystyle 1$ и умножили на число $latex \displaystyle x$. Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число $latex \displaystyle x$ на $latex \displaystyle p\%$.

$latex \displaystyle p\%$ от числа $latex \displaystyle x$ – это $latex \displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$.

Тогда новое число будет равно: $latex \displaystyle x+\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1+\frac{p}{100} \right)$.

Итак,

Чтобы увеличить число на $latex \displaystyle \mathbf{p}\%$, нужно умножить его на $latex \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)$.

Например, увеличим число $latex \displaystyle 136$ на $latex \displaystyle 28\%$:

$latex \displaystyle 136\cdot \left( 1+0,28 \right)=136\cdot 1,28=\text{174}\text{,08}$.

А теперь попробуй сам:

  1. Увеличить число $latex \displaystyle 340$ на $latex \displaystyle 20\%$
  2. Увеличить число $latex \displaystyle 140$ на $latex \displaystyle 210\%$
  3. На сколько процентов число $latex \displaystyle 540$ больше числа $latex \displaystyle 450$?

Решения:

  1. $latex \displaystyle 340\cdot \left( 1+0,2 \right)=340\cdot 1,2=408$
  2. $latex \displaystyle 140\cdot \left( 1+2,1 \right)=140\cdot 3,1=434$

3) Пусть искомое количество процентов равно $latex \displaystyle x$. Это значит, что если число $latex \displaystyle 450$ увеличить на $latex \displaystyle x\%$, получится $latex \displaystyle 540$:

$latex \displaystyle 450\left( 1+\frac{x}{100} \right)=540\text{  }\Rightarrow \text{  }1+\frac{x}{100}=\frac{540}{450}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=\frac{6}{5}-1=0,2\text{  }\Rightarrow \text{  }x=20$

Ответ: на $latex \displaystyle 20\%$.

Если число x надо уменьшить на $latex \displaystyle p\%$, все аналогично:

$latex \displaystyle p\%$ от $latex \displaystyle x~=\frac{p}{100}\cdot x$

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

$latex \displaystyle x-\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1-\frac{p}{100} \right)$.

Итак, правило:

Чтобы уменьшить число на $latex \displaystyle \mathbf{p}\%$, нужно умножить его на $latex \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)$.

Примеры:

1) Уменьшить число $latex \displaystyle 230$ на $latex \displaystyle 18\%$.

2) На сколько процентов число $latex \displaystyle 135$ меньше числа $latex \displaystyle 150$?

3) Цена товара со скидкой в $latex \displaystyle 20\%$ равна $latex \displaystyle 1000$р. Чему равна цена без скидки?

Решения:

1) $latex \displaystyle 230\cdot \left( 1-0,18 \right)=230\cdot 0,82=188,6$.

2) Число $latex \displaystyle 150$ уменьшили на x процентов и получили $latex \displaystyle 135$:

$latex \displaystyle 150\left( 1-\frac{x}{100} \right)=135\text{  }\Rightarrow \text{  }1-\frac{x}{100}=\frac{135}{150}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=1-\frac{135}{150}=0,1\text{  }\Rightarrow \text{  }x=10$.

Ответ: на $latex \displaystyle 10\%$.

3) Пусть цена без скидки равна $latex \displaystyle x$. Получается, что x уменьшили на $latex \displaystyle 20\%$ и получили $latex \displaystyle 1000$:

$latex \displaystyle x\left( 1-0,2 \right)=1000\text{  }\Rightarrow \text{  }x\cdot 0,8=1000\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{1000}{0,8}=1250$ (рублей).

Ответ: $latex \displaystyle 1250$.

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число $latex \displaystyle a$ больше числа $latex \displaystyle b$ на $latex \displaystyle 25\%$. На сколько процентов число $latex \displaystyle b$ меньше числа $latex \displaystyle a$?

Что за странный вопрос: конечно же на $latex \displaystyle 25\%$! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого. Но с процентами так не прокатит! Ведь в первом случае, когда говорим, что число $latex \displaystyle a$ на $latex \displaystyle 25\%$ больше числа $latex \displaystyle b$, мы считаем $latex \displaystyle 25\%$ от числа $latex \displaystyle b$; а во втором случае, когда говорим, что число $latex \displaystyle b$ на $latex \displaystyle 25\%$ меньше числа $latex \displaystyle a$, мы считаем $latex \displaystyle 25\%$ от числа $latex \displaystyle a$. А поскольку числа $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$ разные, то и $latex \displaystyle 25\%$ от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число $latex \displaystyle a$ больше числа $latex \displaystyle b$ на $latex \displaystyle 25\%$. Это значит, что если число $latex \displaystyle b$ увеличить на $latex \displaystyle 25\%$, получим число $latex \displaystyle a$:

$latex \displaystyle b\left( 1+0,25 \right)=a\text{  }\Rightarrow \text{  }1,25b=a$. (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на $latex \displaystyle x$ процентов, получим число $latex \displaystyle b$:

$latex \displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=b$. (2)

Выразим число $latex \displaystyle b$ из равенства (1):

$latex \displaystyle 1,25b=a\text{  }\Rightarrow \text{  }b=\frac{a}{1,25}=0,8a$

И подставим в (2):

$latex \displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8a$.

Отсюда следует, что:

$latex \displaystyle \left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=0,2\text{  }\Rightarrow \text{  }x=20$ (%).

Итак, получаем, что число $latex \displaystyle b$ на $latex \displaystyle \mathbf{20}\%$ меньше числа $latex \displaystyle a$!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ.

Например:

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на $latex \displaystyle \mathbf{25}\%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна $latex \displaystyle P$, а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на $latex \displaystyle 100$), равно $latex \displaystyle x$.

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

$latex \displaystyle {{P}_{1}}=P\left( 1+x \right)$.

Далее, эту новую стоимость $latex \displaystyle {{P}_{1}}$ уменьшили на $latex \displaystyle x$ процентов:

$latex \displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}\left( 1-x \right)=P\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)$.

При этом известно, что эта конечная цена $latex \displaystyle {{P}_{2}}$ на $latex \displaystyle \mathbf{25}\%$ меньше начальной цены $latex \displaystyle {P}$. То есть, если уменьшить $latex \displaystyle {P}$ на $latex \displaystyle \mathbf{25}\%$, получим $latex \displaystyle {{P}_{2}}$:

$latex \displaystyle P\left( 1-0,25 \right)={{P}_{2}}\text{  }\Rightarrow \text{  }0,75P={{P}_{2}}$

Подставим $latex \displaystyle {{P}_{2}}$, выраженное ранее:

$latex \displaystyle 0,75P=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }0,75=1-{{x}^{2}}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}=0,25\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\pm 0,5$.

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

$latex \displaystyle x=0,5$.

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на $latex \displaystyle 100$. Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

$latex \displaystyle x=0,5=50\%$

3. Заключение

Ну что же, теперь подведем итоги:

· Процент – это сотая часть, или одна сотая $latex \displaystyle \left( 0,01 \right).$

· Решая задачи на проценты, старайся сразу избавляться от знака %, переводя проценты в десятичную дробь – число процентов нужно разделить на $latex \displaystyle 100$.

· Пользуйся упрощенными формулами, когда нужно увеличить или уменьшить число на сколько-то процентов: нужно домножить число на $latex \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)$, если ты увеличиваешь его на $latex \displaystyle p\%$, и на $latex \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)$, если уменьшаешь.

· Проценты – это легко! Удачи!

Проверь себя — реши задачи на проценты.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА —  начни обучение.

Добавить комментарий