Проценты. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Задачи на проценты

Знаю: наверняка ты терпеть не можешь слово «процент». Но это чувство у тебя скоро исчезнет. Чтобы это произошло, разберем такой вопрос:

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть». То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

Процент от числа

И все. Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».

Например: чему равны \(\displaystyle 34\%\) от числа \(\displaystyle 120\)?

Прочтем это задание по-другому: чему равны \(\displaystyle 34\) сотых доли числа \(\displaystyle 120\)? Элементарно, правда? Нужно разделить число \(\displaystyle 120\) на \(\displaystyle 100\) частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять \(\displaystyle 34\) таких части:

\(\displaystyle \frac{120}{100}\cdot 34=1,2\cdot 34=40,8\).

Сколько процентов содержится в числе?

Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»: Сколько сотых частей находится в числе? Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на \(\displaystyle 100\) частей, сколько будет этих частей? Очевидно же, что \(\displaystyle 100\)).

Разберем еще несколько примеров.

  1. Чему равны \(\displaystyle 125\%\) от числа \(\displaystyle 350\)?
  2. Чему равно число, \(\displaystyle 30\%\) которого равны \(\displaystyle 90\)?
  3. Сколько процентов составляет число \(\displaystyle 45\) от числа \(\displaystyle 75\)?

Решения:

1) И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны \(\displaystyle 125\) сотых числа \(\displaystyle 350\)?

\(\displaystyle \frac{125}{100}\cdot 350=\text{1}\text{,25}\cdot 350=437,5\).

Может показаться странным, что у нас целых \(\displaystyle 125\%\) – ведь мы уже выяснили, что в числе всего \(\displaystyle 100\%\). Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа. Почему нельзя одну сотую числа взять \(\displaystyle 125\) раз? Можно, ведь по сути это – просто число.

2) Итак, \(\displaystyle \frac{30}{100}\) от числа равны \(\displaystyle 90\). Можем составить простенькое уравнение:

\(\displaystyle \frac{30}{100}\cdot x=90\text{  }\Rightarrow \text{  }x=300\).

Ты заметил, что я сразу же вместо \(\displaystyle 30\%\) написал \(\displaystyle \frac{30}{100}\)? И правда, один процент – это одна сотая, а значит, \(\displaystyle 30\) процентов – это \(\displaystyle 30\) сотых. Ты можешь тоже так делать.

3) Обозначим искомое количество процентов буквой \(\displaystyle x\). Тогда \(\displaystyle x\%\) от числа \(\displaystyle 75\) равно \(\displaystyle 45\). Или, что то же самое, \(\displaystyle x\) сотых от числа \(\displaystyle 75\) равно \(\displaystyle 45\):

\(\displaystyle \frac{x}{100}\cdot 75=45\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{45\cdot 100}{75}=60\).

Ответ: \(\displaystyle 60\%\).

1. Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать \(\displaystyle \frac{1}{100}\), или просто разделить на \(\displaystyle 100\). То есть, \(\displaystyle 25\%\) – это то же самое, что \(\displaystyle \frac{25}{100}\); \(\displaystyle 247\%\) – это \(\displaystyle \frac{247}{100}\) и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Например:

\(\displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25\);

\(\displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47\);

\(\displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158\),

и так далее.

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Например:

1) Чему равны \(\displaystyle 35\%\) от числа \(\displaystyle 60\)?

Вместо \(\displaystyle 35\%\) напишем что? \(\displaystyle 0,35\). Итак, \(\displaystyle 0,35\cdot 60=21\).

2) \(\displaystyle 48\%\) от какого числа равны \(\displaystyle 456\)?

\(\displaystyle 0,48x=456\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{456}{0,48}=950\).

2. Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на \(\displaystyle x\), это значит, что к числу надо прибавить \(\displaystyle x\).

Если же число уменьшилось на \(\displaystyle x\), это значит, что из числа надо вычесть \(\displaystyle x\).

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на \(\displaystyle 5\%\). Какой стала цена, если изначально холодильник стоил \(\displaystyle 12500\)р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на \(\displaystyle 5\%\). Но \(\displaystyle 5\%\) от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника (\(\displaystyle 12500\) р). Получается, что нам нужно найти \(\displaystyle 5\%\) от \(\displaystyle 12500\)р:

\(\displaystyle 0,05\cdot 12500=625\).

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на \(\displaystyle 625\)р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена \(\displaystyle =12500+625=13125\) рублей.

Ответ: \(\displaystyle 13125.\)

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит \(\displaystyle 360\)р. Во время акции все книги продаются со скидкой \(\displaystyle 15\%.\). Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в \(\displaystyle 15\%.\) означает, что стоимость товара уменьшили на \(\displaystyle 15\%.\).

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти \(\displaystyle 15\%.\) от начальной ее стоимости в \(\displaystyle 360\)р:

\(\displaystyle 0,15\cdot 360=54\).

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена \(\displaystyle =360-54=306\) рублей.

Ответ: \(\displaystyle 306\).

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число \(\displaystyle x\) на \(\displaystyle 23\%\).

Чему равны \(\displaystyle 23\%\) от \(\displaystyle x\)? Как мы уже выяснили раньше, это будет \(\displaystyle 0,23x\).

Теперь увеличим само число x на эту величину:

\(\displaystyle x+0,23x=1,23x\).

Получается, что в результате мы к десятичной записи \(\displaystyle 23\%\) прибавили \(\displaystyle 1\) и умножили на число \(\displaystyle x\). Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число \(\displaystyle x\) на \(\displaystyle p\%\).

\(\displaystyle p\%\) от числа \(\displaystyle x\) – это \(\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x\).

Тогда новое число будет равно: \(\displaystyle x+\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Итак,

Чтобы увеличить число на \(\displaystyle \mathbf{p}\%\), нужно умножить его на \(\displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Например, увеличим число \(\displaystyle 136\) на \(\displaystyle 28\%\):

\(\displaystyle 136\cdot \left( 1+0,28 \right)=136\cdot 1,28=\text{174}\text{,08}\).

А теперь попробуй сам:

  1. Увеличить число \(\displaystyle 340\) на \(\displaystyle 20\%\)
  2. Увеличить число \(\displaystyle 140\) на \(\displaystyle 210\%\)
  3. На сколько процентов число \(\displaystyle 540\) больше числа \(\displaystyle 450\)?

Решения:

  1. \(\displaystyle 340\cdot \left( 1+0,2 \right)=340\cdot 1,2=408\)
  2. \(\displaystyle 140\cdot \left( 1+2,1 \right)=140\cdot 3,1=434\)

3) Пусть искомое количество процентов равно \(\displaystyle x\). Это значит, что если число \(\displaystyle 450\) увеличить на \(\displaystyle x\%\), получится \(\displaystyle 540\):

\(\displaystyle 450\left( 1+\frac{x}{100} \right)=540\text{  }\Rightarrow \text{  }1+\frac{x}{100}=\frac{540}{450}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=\frac{6}{5}-1=0,2\text{  }\Rightarrow \text{  }x=20\)

Ответ: на \(\displaystyle 20\%\).

Если число x надо уменьшить на \(\displaystyle p\%\), все аналогично:

\(\displaystyle p\%\) от \(\displaystyle x~=\frac{p}{100}\cdot x\)

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\(\displaystyle x-\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Итак, правило:

Чтобы уменьшить число на \(\displaystyle \mathbf{p}\%\), нужно умножить его на \(\displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Примеры:

1) Уменьшить число \(\displaystyle 230\) на \(\displaystyle 18\%\).

2) На сколько процентов число \(\displaystyle 135\) меньше числа \(\displaystyle 150\)?

3) Цена товара со скидкой в \(\displaystyle 20\%\) равна \(\displaystyle 1000\)р. Чему равна цена без скидки?

Решения:

1) \(\displaystyle 230\cdot \left( 1-0,18 \right)=230\cdot 0,82=188,6\).

2) Число \(\displaystyle 150\) уменьшили на x процентов и получили \(\displaystyle 135\):

\(\displaystyle 150\left( 1-\frac{x}{100} \right)=135\text{  }\Rightarrow \text{  }1-\frac{x}{100}=\frac{135}{150}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=1-\frac{135}{150}=0,1\text{  }\Rightarrow \text{  }x=10\).

Ответ: на \(\displaystyle 10\%\).

3) Пусть цена без скидки равна \(\displaystyle x\). Получается, что x уменьшили на \(\displaystyle 20\%\) и получили \(\displaystyle 1000\):

\(\displaystyle x\left( 1-0,2 \right)=1000\text{  }\Rightarrow \text{  }x\cdot 0,8=1000\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\frac{1000}{0,8}=1250\) (рублей).

Ответ: \(\displaystyle 1250\).

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число \(\displaystyle a\) больше числа \(\displaystyle b\) на \(\displaystyle 25\%\). На сколько процентов число \(\displaystyle b\) меньше числа \(\displaystyle a\)?

Что за странный вопрос: конечно же на \(\displaystyle 25\%\)! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого. Но с процентами так не прокатит! Ведь в первом случае, когда говорим, что число \(\displaystyle a\) на \(\displaystyle 25\%\) больше числа \(\displaystyle b\), мы считаем \(\displaystyle 25\%\) от числа \(\displaystyle b\); а во втором случае, когда говорим, что число \(\displaystyle b\) на \(\displaystyle 25\%\) меньше числа \(\displaystyle a\), мы считаем \(\displaystyle 25\%\) от числа \(\displaystyle a\). А поскольку числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) разные, то и \(\displaystyle 25\%\) от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число \(\displaystyle a\) больше числа \(\displaystyle b\) на \(\displaystyle 25\%\). Это значит, что если число \(\displaystyle b\) увеличить на \(\displaystyle 25\%\), получим число \(\displaystyle a\):

\(\displaystyle b\left( 1+0,25 \right)=a\text{  }\Rightarrow \text{  }1,25b=a\). (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на \(\displaystyle x\) процентов, получим число \(\displaystyle b\):

\(\displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=b\). (2)

Выразим число \(\displaystyle b\) из равенства (1):

\(\displaystyle 1,25b=a\text{  }\Rightarrow \text{  }b=\frac{a}{1,25}=0,8a\)

И подставим в (2):

\(\displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8a\).

Отсюда следует, что:

\(\displaystyle \left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{x}{100}=0,2\text{  }\Rightarrow \text{  }x=20\) (%).

Итак, получаем, что число \(\displaystyle b\) на \(\displaystyle \mathbf{20}\%\) меньше числа \(\displaystyle a\)!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ.

Например:

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на \(\displaystyle \mathbf{25}\%\) дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна \(\displaystyle P\), а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на \(\displaystyle 100\)), равно \(\displaystyle x\).

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

\(\displaystyle {{P}_{1}}=P\left( 1+x \right)\).

Далее, эту новую стоимость \(\displaystyle {{P}_{1}}\) уменьшили на \(\displaystyle x\) процентов:

\(\displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}\left( 1-x \right)=P\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)\).

При этом известно, что эта конечная цена \(\displaystyle {{P}_{2}}\) на \(\displaystyle \mathbf{25}\%\) меньше начальной цены \(\displaystyle {P}\). То есть, если уменьшить \(\displaystyle {P}\) на \(\displaystyle \mathbf{25}\%\), получим \(\displaystyle {{P}_{2}}\):

\(\displaystyle P\left( 1-0,25 \right)={{P}_{2}}\text{  }\Rightarrow \text{  }0,75P={{P}_{2}}\)

Подставим \(\displaystyle {{P}_{2}}\), выраженное ранее:

\(\displaystyle 0,75P=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }0,75=1-{{x}^{2}}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}=0,25\text{  }\Rightarrow \text{  }x=\pm 0,5\).

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

\(\displaystyle x=0,5\).

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на \(\displaystyle 100\). Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

\(\displaystyle x=0,5=50\%\)

3. Заключение

Ну что же, теперь подведем итоги:

· Процент – это сотая часть, или одна сотая \(\displaystyle \left( 0,01 \right).\)

· Решая задачи на проценты, старайся сразу избавляться от знака %, переводя проценты в десятичную дробь – число процентов нужно разделить на \(\displaystyle 100\).

· Пользуйся упрощенными формулами, когда нужно увеличить или уменьшить число на сколько-то процентов: нужно домножить число на \(\displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\), если ты увеличиваешь его на \(\displaystyle p\%\), и на \(\displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\), если уменьшаешь.

· Проценты – это легко! Удачи!

Проверь себя — реши задачи на проценты.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА —  начни обучение.

Добавить комментарий