Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Как решать задачи на проценты?

Как решать экономическую задачу, связанную с расчетом процентов?

Чтобы с этим разобраться, давай сначала ответим на первый вопрос: «Что такое процент?»

Поехали!

Задачи на проценты – коротко о главном

Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

  1.  Проценты и десятичные дроби
  • \( \displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25\);
  • \( \displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47\);
  • \( \displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158\)
  1. Изменение числа на сколько-то процентов

Допустим, нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac{p}{100}\cdot x\).

Тогда, новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle \mathbf{p}\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Если число \( \displaystyle x\) надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), то:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x~=\frac{p}{100}\cdot x\)

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Правило:

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Задачи на проценты – подробнее

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть».

То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

И все. Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».

Например: чему равны \( \displaystyle 34\%\) от числа \( \displaystyle 120\)?

Прочтем это задание по-другому: чему равны \( \displaystyle 34\) сотых доли числа \( \displaystyle 120\)?

Элементарно, правда? Нужно разделить число \( \displaystyle 120\) на \( \displaystyle 100\) частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять \( \displaystyle 34\) таких части:

\( \displaystyle \frac{120}{100}\cdot 34=1,2\cdot 34=40,8\).

Сколько процентов содержится в числе?

Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»: Сколько сотых частей находится в числе?

Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на \( \displaystyle 100\) частей, сколько будет этих частей?

Очевидно же, что \( \displaystyle 100\)).

Разберем еще несколько примеров

  • Чему равны \( \displaystyle 125\%\) от числа \( \displaystyle 350\)?
  • Чему равно число, \( \displaystyle 30\%\) которого равны \( \displaystyle 90\)?
  • Сколько процентов составляет число \( \displaystyle 45\) от числа \( \displaystyle 75\)?

Решения:

1. И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны \( \displaystyle 125\) сотых числа \( \displaystyle 350\)?

\( \displaystyle \frac{125}{100}\cdot 350=\text{1}\text{,25}\cdot 350=437,5\).

Может показаться странным, что у нас целых \( \displaystyle 125\%\) – ведь мы уже выяснили, что в числе всего \( \displaystyle 100\%\). Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа. 

Почему нельзя одну сотую числа взять \( \displaystyle 125\) раз? Можно, ведь по сути это – просто число.

2. Итак, \( \displaystyle \frac{30}{100}\) от числа равны \( \displaystyle 90\). Можем составить простенькое уравнение:

\( \displaystyle \frac{30}{100}\cdot x=90\text{ }\Rightarrow \text{ }x=300\).

Ты заметил, что я сразу же вместо \( \displaystyle 30\%\) написал \( \displaystyle \frac{30}{100}\)? И правда, один процент – это одна сотая, а значит, \( \displaystyle 30\) процентов – это \( \displaystyle 30\) сотых. Ты можешь тоже так делать.

3. Обозначим искомое количество процентов буквой \( \displaystyle x\). Тогда \( \displaystyle x\%\) от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\). Или, что то же самое, \( \displaystyle x\) сотых от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\):

\( \displaystyle \frac{x}{100}\cdot 75=45\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\frac{45\cdot 100}{75}=60\).

Ответ: \( \displaystyle 60\%\).

Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать \( \displaystyle \frac{1}{100}\), или просто разделить на \( \displaystyle 100\). То есть, \( \displaystyle 25\%\) – это то же самое, что \( \displaystyle \frac{25}{100}\); \( \displaystyle 247\%\) – это \( \displaystyle \frac{247}{100}\) и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Например:

  • \( \displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25\);
  • \( \displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47\);
  • \( \displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158\)

и так далее…

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Например:

1. Чему равны \( \displaystyle 35\%\) от числа \( \displaystyle 60\)?

Вместо \( \displaystyle 35\%\) напишем что? \( \displaystyle 0,35\). Итак, \( \displaystyle 0,35\cdot 60=21\).

2. \( \displaystyle 48\%\) от какого числа равны \( \displaystyle 456\)?

\( \displaystyle 0,48x=456\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\frac{456}{0,48}=950\).

Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на \( \displaystyle x\), это значит, что к числу надо прибавить \( \displaystyle x\).

Если же число уменьшилось на \( \displaystyle x\), это значит, что из числа надо вычесть \( \displaystyle x\).

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на \( \displaystyle 5\%\). Какой стала цена, если изначально холодильник стоил \( \displaystyle 12500\)р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на \( \displaystyle 5\%\). Но \( \displaystyle 5\%\) от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника (\( \displaystyle 12500\) р). Получается, что нам нужно найти \( \displaystyle 5\%\) от \( \displaystyle 12500\)р:

\( \displaystyle 0,05\cdot 12500=625\).

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на \( \displaystyle 625\)р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена \( \displaystyle=12500+625=13125\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 13125.\)

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит \( \displaystyle 360\)р. Во время акции все книги продаются со скидкой \( \displaystyle 15\%.\). Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в \( \displaystyle 15\%.\) означает, что стоимость товара уменьшили на \( \displaystyle 15\%.\).

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти \( \displaystyle 15\%.\) от начальной ее стоимости в \( \displaystyle 360\)р:

\( \displaystyle 0,15\cdot 360=54\).

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена \( \displaystyle=360-54=306\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 306\).

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle 23\%\).

Чему равны \( \displaystyle 23\%\) от \( \displaystyle x\)? Как мы уже выяснили раньше, это будет \( \displaystyle 0,23x\).

Теперь увеличим само число x на эту величину:

\( \displaystyle x+0,23x=1,23x\).

Получается, что в результате мы к десятичной записи \( \displaystyle 23\%\) прибавили \( \displaystyle 1\) и умножили на число \( \displaystyle x\). Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac{p}{100}\cdot x\).

Тогда новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Итак,

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\).

Например, увеличим число \( \displaystyle 136\) на \( \displaystyle 28\%\):

\( \displaystyle 136\cdot \left( 1+0,28 \right)=136\cdot 1,28=\text{174}\text{,08}\).

А теперь попробуй сам

  1. Увеличить число \( \displaystyle 340\) на \( \displaystyle 20\%\)
  2. Увеличить число \( \displaystyle 140\) на \( \displaystyle 210\%\)
  3. На сколько процентов число \( \displaystyle 540\) больше числа \( \displaystyle 450\)?

Решения:

1. \( \displaystyle 340\cdot \left( 1+0,2 \right)=340\cdot 1,2=408\)

2. \( \displaystyle 140\cdot \left( 1+2,1 \right)=140\cdot 3,1=434\)

3. Пусть искомое количество процентов равно \( \displaystyle x\). Это значит, что если число \( \displaystyle 450\) увеличить на \( \displaystyle x\%\), получится \( \displaystyle 540\):

\( \displaystyle 450\left( 1+\frac{x}{100} \right)=540\text{ }\Rightarrow \text{ }1+\frac{x}{100}=\frac{540}{450}\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{x}{100}=\frac{6}{5}-1=0,2\text{ }\Rightarrow \text{ }x=20\)

Ответ: на \( \displaystyle 20\%\).

Если число x надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), все аналогично:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x~=\frac{p}{100}\cdot x\)

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Итак, правило:

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\).

Примеры:

  1. Уменьшить число \( \displaystyle 230\) на \( \displaystyle 18\%\).
  2. На сколько процентов число \( \displaystyle 135\) меньше числа \( \displaystyle 150\)?
  3. Цена товара со скидкой в \( \displaystyle 20\%\) равна \( \displaystyle 1000\)р. Чему равна цена без скидки?

Решения:

1. \( \displaystyle 230\cdot \left( 1-0,18 \right)=230\cdot 0,82=188,6\).

2. Число \( \displaystyle 150\) уменьшили на x процентов и получили \( \displaystyle 135\):

\( \displaystyle 150\left( 1-\frac{x}{100} \right)=135\text{ }\Rightarrow \text{ }1-\frac{x}{100}=\frac{135}{150}\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{x}{100}=1-\frac{135}{150}=0,1\text{ }\Rightarrow \text{ }x=10\).

Ответ: на \( \displaystyle 10\%\).

3. Пусть цена без скидки равна \( \displaystyle x\). Получается, что x уменьшили на \( \displaystyle 20\%\) и получили \( \displaystyle 1000\):

\( \displaystyle x\left( 1-0,2 \right)=1000\text{ }\Rightarrow \text{ }x\cdot 0,8=1000\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1000}{0,8}=1250\) (рублей).

Ответ: \( \displaystyle 1250\).

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). На сколько процентов число \( \displaystyle b\) меньше числа \( \displaystyle a\)?

Что за странный вопрос: конечно же на \( \displaystyle 25\%\)! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число \( \displaystyle a\) на \( \displaystyle 25\%\) больше числа \( \displaystyle b\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle b\); а во втором случае, когда говорим, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\) меньше числа \( \displaystyle a\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle a\). А поскольку числа \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) разные, то и \( \displaystyle 25\%\) от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). Это значит, что если число \( \displaystyle b\) увеличить на \( \displaystyle 25\%\), получим число \( \displaystyle a\):

\( \displaystyle b\left( 1+0,25 \right)=a\text{ }\Rightarrow \text{ }1,25b=a\). (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на \( \displaystyle x\) процентов, получим число \( \displaystyle b\):

\( \displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=b\). (2)

Выразим число \( \displaystyle b\) из равенства (1):

\( \displaystyle 1,25b=a\text{ }\Rightarrow \text{ }b=\frac{a}{1,25}=0,8a\)

И подставим в (2):

\( \displaystyle a\left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8a\).

Отсюда следует, что:

\( \displaystyle \left( 1-\frac{x}{100} \right)=0,8\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{x}{100}=0,2\text{ }\Rightarrow \text{ }x=20\) (%).

Итак, получаем, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle \mathbf{20}\%\) меньше числа \( \displaystyle a\)!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ. Давай разберем одну из них

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на \( \displaystyle \mathbf{25}\%\) дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна \( \displaystyle P\), а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на \( \displaystyle 100\)), равно \( \displaystyle x\).

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

\( \displaystyle {{P}_{1}}=P\left( 1+x \right)\).

Далее, эту новую стоимость \( \displaystyle {{P}_{1}}\) уменьшили на \( \displaystyle x\) процентов:

\( \displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}\left( 1-x \right)=P\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)\).

При этом известно, что эта конечная цена \( \displaystyle {{P}_{2}}\) на \( \displaystyle \mathbf{25}\%\) меньше начальной цены \( \displaystyle {P}\). То есть, если уменьшить \( \displaystyle {P}\) на \( \displaystyle \mathbf{25}\%\), получим \( \displaystyle {{P}_{2}}\):

\( \displaystyle P\left( 1-0,25 \right)={{P}_{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }0,75P={{P}_{2}}\)

Подставим \( \displaystyle {{P}_{2}}\), выраженное ранее:

\( \displaystyle 0,75P=P\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{ }\Rightarrow \text{ }0,75=1-{{x}^{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}=0,25\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\pm 0,5\).

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

\( \displaystyle x=0,5\).

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на \( \displaystyle 100\). Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

\( \displaystyle x=0,5=50\%\)

Где мы используем проценты в жизни?

Чаще всего мы их видим в банковских продуктах: вкладах, кредитах и т.д.

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты, и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту или сколько придётся переплатить, взяв ипотеку.

Такая задача есть в ЕГЭ под номером 17.

Подведем итоги:

  • Процент – это сотая часть, или одна сотая \( \displaystyle \left( 0,01 \right).\)
  • Решая задачи на проценты, старайся сразу избавляться от знака %, переводя проценты в десятичную дробь – число процентов нужно разделить на \( \displaystyle 100\).
  • Пользуйся упрощенными формулами, когда нужно увеличить или уменьшить число на сколько-то процентов: нужно домножить число на \( \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\), если ты увеличиваешь его на \( \displaystyle p\%\), и на \( \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\), если уменьшаешь.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №11. Задачи на проценты, растворы, смеси и сплавы

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы – на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении. 

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12). 

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений. 

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты – в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки. 

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической” задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады

Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла! 

Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения. 

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе. 

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ! 

На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Твой час настал!

Сегодня ты получил очень много полезных навыков и заполнил пробелы, если такие были. И я очень горжусь тобой. 

Ты сделал большой шаг уже тогда, когда решил сесть и разобраться наконец с этими процентами!

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях внизу свое мнение о статье! 

Понравилась? 🙂

Разобрался с тем, что такое проценты и как считать их? Когда понял, что хочешь научиться работать с ними? 

Мы читаем каждый комментарий. И ответим на любой твой вопрос!

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 комментария

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Аида
    20 июня 2018
    спасибо за очень полезный и информативный урок

    Александр (админ)
    20 июня 2018
    Всегда рады, Аида!

    НЕКИТ
    08 мая 2019
    ЖИЗНЕННО

    Александр (админ)
    12 июня 2019
    Некит, сори, только заметил. Помогло? )

    Артур
    12 июня 2019
    Спасибо в конце целое сочинение я прям поверил в себя

    Александр (админ)
    12 июня 2019
    Спасибо, Артур. Вера в себя – хорошее дело! Значит я не зря старался.

    Тигран
    31 августа 2019
    спасибо!!! ВСЕ ВСПОМНИЛ ЧТО ЗАБЫЛ ЗА ЛЕТО

    Александр (админ)
    31 августа 2019
    Пожалуйста, Тигран! Заходи ещё и вспомнишь даже то, что не знал! ))

    Екатерина
    11 сентября 2019
    Спасибо большое! Завтра контрольная за 5 класс, нужно вспомнить хоть что-то)

    Александр (админ)
    11 сентября 2019
    Пожалуйста, Екатерина!

    Валерия
    03 октября 2019
    Здравствуйте. Очень полезная статья!

    Александр (админ)
    03 октября 2019
    Добрый день, Валерия! Спасибо! Мы рады, что вам понравилась статья.

    Татьяна
    14 января 2020
    Огромное спасибо! Хотя бы вспомнила 5-6 класс ‘:>

    Александр (админ)
    14 января 2020
    Не за что, Татьяна! Я тоже, когда прочитал эту статью в первый раз, вспомнил 5-6 класс )

    Серый
    05 февраля 2020
    Офигенная статья, очень помогла при подготовке к вступительным экзаменам в летово!

    Александр (админ)
    05 февраля 2020
    ОГО! Поздравляю, Серый! Это очень здорово, что учебник и конкретно эта статья так помогает. Серый, расскажите нам эту историю подробнее, если не трудно. Для сайта. Чтобы другие тоже знали про него.

    Анастасия
    25 марта 2020
    всё очень отлично понятно . были пробелы в знаниях но теперь я знаю что и как .Спасибо Вам за то, что у Вас есть такие статьи!!!

    Александр (админ)
    25 марта 2020
    Анастасия, спасибо! ООЧЕНЬ приятно слышать, что у тебя все получилось. Умница! Удачи на всех жизненных экзаменах!

    Евгений
    17 апреля 2020
    очень качественно и интересно. Спасибо большое!

    Александр (админ)
    17 апреля 2020
    Спасибо, Евгений! Даже тема про проценты может быть интересной )

    Анастасия
    25 мая 2020
    Очень хорошая презентация. Буду ещё читать ваш сайт. Спасибо)

    Александр (админ)
    25 мая 2020
    Спасибо, Анастасия! Очень приятно слышать.

    Зариф
    13 июня 2020
    Огромное спасибо, очень помогли

    Александр (админ)
    13 июня 2020
    Пожалуйста, Зариф! Очень рады…