Расстояние от точки до плоскости. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки до плоскости рис. 1

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

+
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе $latex \text{ABCD}~{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ с ребром $latex 2$ точки $latex \displaystyle M$ — середина ребра $latex {{A}_{1}}{{D}_{1}}$. Найти расстояние от точки $latex \displaystyle C$ до плоскости $latex \displaystyle A{{B}_{1}}M$.

Расстояние от точки до плоскости рис. 2

Проверь себя — реши задачи на расстояние от точки до плоскости.

Геометрический способ

Расстояние от точки до плоскости геометрический способ

1. Куда же опускается перпендикуляр из точки $latex \displaystyle C$ на плоскость $latex \displaystyle A{{B}_{1}}M$?

2. Смотрим на $latex \displaystyle \Delta A{{B}_{1}}M$ – оказывается, он равнобедренный — $latex \displaystyle {{B}_{1}}M=AM$!

3. Проведём $latex \displaystyle CA$ и $latex \displaystyle C{{B}_{1}}$. Зачем? А они тоже равны $latex \displaystyle CA$  и $latex \displaystyle C{{B}_{1}}$.

4. Отметим $latex \displaystyle k$ — середину $latex \displaystyle A{{B}_{1}}$ и проведём $latex \displaystyle MK$ и $latex \displaystyle CK$. Треугольники $latex \displaystyle A{{B}_{1}}M$ и $latex \displaystyle A{{B}_{1}}C$ — равнобедренные, поэтому $latex \displaystyle MK\bot A{{B}_{1}}$ и $latex \displaystyle CK\bot A{{B}_{1}}$.

5. И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A{{B}_{1}}\bot MK\\A{{B}_{1}}\bot CK\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}_{1}}\bot CMK$.

6. Остался один шаг: проведём $latex \displaystyle CH\bot MK$ (в плоскости $latex \displaystyle CMK$, естественно).

Что же можно сказать о $latex \displaystyle CH$?

$latex \displaystyle CH\bot MK$ по построению

$latex \displaystyle CH\bot A{{B}_{1}}$ – так как $latex \displaystyle A{{B}_{1}}\bot CMK$ и значит, $latex \displaystyle A{{B}_{1}}$ перпендикулярна всякой прямой в плоскости $latex \displaystyle CMK$, в частности и $latex \displaystyle CH$.

Итак,

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}CH\bot MK\\CH\bot A{{B}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow CH\bot A{{B}_{1}}M$ – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки $latex \displaystyle C$ на плоскость $latex \displaystyle A{{B}_{1}}M$ — это высота в $latex \displaystyle \Delta CMK$. Осталось найти эту высоту.

$latex \displaystyle C{{D}_{1}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$ (из $latex \displaystyle C{{C}_{1}}{{D}_{1}}$); $latex \displaystyle M{{D}_{1}}=1$ (по условию)

$latex \displaystyle CM=\sqrt{CD_{1}^{2}+{{D}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{8+1}=3$ (из $latex \displaystyle \Delta C{{D}_{1}}M$)

Ищем $latex \displaystyle KM$:

$latex \displaystyle {{B}_{1}}M=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5};~{{B}_{1}}K=\frac{A{{B}_{1}}}{2}=\sqrt{2}$

$latex \displaystyle KM=\sqrt{{{B}_{1}}{{M}^{2}}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}\ (\Delta {{B}_{1}}KM)$

Ищем $latex \displaystyle CK$:

$latex \displaystyle CK=\sqrt{CB_{1}^{2}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$

Теперь площадь $latex \displaystyle \Delta KCM$ по формуле Герона:

$latex \displaystyle S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$

$latex \displaystyle p=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};$

$latex \displaystyle p-a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2};$

$latex \displaystyle p-b=\frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};$

$latex \displaystyle p-c=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}$

$latex \displaystyle S=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}=$

$latex \displaystyle =\sqrt{\frac{(3+{{\sqrt{3)}}^{2}}-6}{4}\cdot \frac{6-(3-{{\sqrt{3)}}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{6+6\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{6\sqrt{3}-6}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

И наконец, $latex \displaystyle CH$:

$latex \displaystyle S=\frac{1}{2}CH\cdot KM;CH=\frac{2S}{KM}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно $latex \displaystyle \sqrt{6}$, запишем ответ.

Ответ: $latex \displaystyle \sqrt{6}$.

Проверь себя — реши задачи на расстояние от точки до плоскости.

Алгебраический способ

Расстояние от точки до плоскости алгебраический способ

Введём в систему координат с центром в точке $latex \displaystyle A$ и осями вдоль  рёбер $latex \displaystyle A{{D}_{1}}A{{B}_{1}}A{{A}_{1}}$.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

$latex \displaystyle \rho =\frac{{{A}_{{{x}_{0}}}}+{{B}_{{{y}_{0}}}}+{{C}_{{{z}_{0}}}}+D}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

$latex \displaystyle \rho $ — искомое расстояние

$latex \displaystyle \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ — координаты точки $latex \displaystyle C$

$latex \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}D$ — коэффициенты в уравнении плоскости.

Найдём всё это от простого к сложному.

1. Координаты точки $latex \displaystyle C$:

$latex \displaystyle {{x}_{0}}=2;\ {{y}_{0}}=2;\ {{z}_{0}}=2$.

2. Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

$latex \displaystyle A(0;0;0);{{B}_{1}}\left( 0;2;2 \right);M\left( 1;0;2 \right)$.

Подставляем в уравнение плоскости:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0\\A\cdot 0+B\cdot 2+C\cdot 2+D=0\\A\cdot 1+B\cdot 0+C\cdot 2+D=0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}D=0\\B+C=0\\A+2C=0\end{array} \right.$

Пусть $latex \displaystyle C=-1$ тогда $latex \displaystyle B=1;A=2$.

Уравнение:

$latex \displaystyle 2x+y-z=0$

Ищем $latex \displaystyle \rho $:

$latex \displaystyle \rho =\frac{2\cdot 2+1\cdot 2-1\cdot 0}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$.

Кажется, что это легче? Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

Проверь себя — реши задачи на расстояние от точки до плоскости.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий