14 июля

0 comments

Расстояние от точки до плоскости (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Стереометрия выглядит жутко... Вернее, сама-то стереометрия красивая!

Знаю, что, когда на уроках скучно, все мы любим порисовать на полях кубы и объемные рисунки 🙂

А вот задачи по стереометрии жутковатые. Однако, если в них хорошо разобраться, все будет легко!

Давай начнем с базы – с расстояния от точки до плоскости.

Поехали!

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Способы нахождения расстояния от точки до плоскости

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

+

-

АЛГ

Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.

Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.

ГЕО

Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.

Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе \( \text{ABCD}~{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром \( 2\) точки \( \displaystyle M\) - середина ребра \( {{A}_{1}}{{D}_{1}}\). Найти расстояние от точки \( \displaystyle C\) до плоскости \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\).

Геометрический способ

Куда же опускается перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\)?

Смотрим на \( \displaystyle \Delta A{{B}_{1}}M\) – оказывается, он равнобедренный – \( \displaystyle {{B}_{1}}M=AM\)!

Проведём \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C{{B}_{1}}\). Зачем? А они тоже равны \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C{{B}_{1}}\).

Отметим точку \( \displaystyle K\) - середину \( \displaystyle A{{B}_{1}}\) - и проведём \( \displaystyle MK\) и \( \displaystyle CK\). Треугольники \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\) и \( \displaystyle A{{B}_{1}}C\) - равнобедренные, поэтому \( \displaystyle MK\bot A{{B}_{1}}\) и \( \displaystyle CK\bot A{{B}_{1}}\).

И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A{{B}_{1}}\bot MK\\A{{B}_{1}}\bot CK\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}_{1}}\bot CMK\).

Остался один шаг: проведём \( \displaystyle CH\bot MK\) (в плоскости \( \displaystyle CMK\), естественно).

Что же можно сказать о \( \displaystyle CH\)?

\( \displaystyle CH\bot MK\) по построению

\( \displaystyle CH\bot A{{B}_{1}}\) – так как \( \displaystyle A{{B}_{1}}\bot CMK\) и значит, \( \displaystyle A{{B}_{1}}\) перпендикулярна всякой прямой в плоскости \( \displaystyle CMK\), в частности и \( \displaystyle CH\).

Итак,

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}CH\bot MK\\CH\bot A{{B}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow CH\bot A{{B}_{1}}M\) – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\) - это высота в \( \displaystyle \Delta CMK\). Осталось найти эту высоту.

\( \displaystyle C{{D}_{1}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}\) (из \( \displaystyle C{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)); \( \displaystyle M{{D}_{1}}=1\) (по условию)

\( \displaystyle CM=\sqrt{CD_{1}^{2}+{{D}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{8+1}=3\) (из \( \displaystyle \Delta C{{D}_{1}}M\))

Ищем \( \displaystyle KM\):

\( \displaystyle {{B}_{1}}M=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5};~{{B}_{1}}K=\frac{A{{B}_{1}}}{2}=\sqrt{2}\)

\( \displaystyle KM=\sqrt{{{B}_{1}}{{M}^{2}}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}\ (\Delta {{B}_{1}}KM)\)

Ищем \( \displaystyle CK\):

\( \displaystyle CK=\sqrt{CB_{1}^{2}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}\)

Теперь площадь \( \displaystyle \Delta KCM\) по формуле Герона:

\( \displaystyle S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\)

\( \displaystyle p=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};\)

\( \displaystyle p-a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2};\)

\( \displaystyle p-b=\frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};\)

\( \displaystyle p-c=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}\)

\( \displaystyle S=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}=\)

\( \displaystyle=\sqrt{\frac{(3+{{\sqrt{3)}}^{2}}-6}{4}\cdot \frac{6-(3-{{\sqrt{3)}}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{6+6\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{6\sqrt{3}-6}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\)

И наконец, \( \displaystyle CH\):

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}CH\cdot KM;CH=\frac{2S}{KM}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно \( \displaystyle \sqrt{6}\), запишем ответ.

Ответ: \( \displaystyle \sqrt{6}\).

Алгебраический способ

Введём в систему координат с центром в точке \( \displaystyle A\) и осями вдоль рёбер \( \displaystyle A{{D}_{1}}A{{B}_{1}}A{{A}_{1}}\).

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

\( \displaystyle \rho =\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)

\( \displaystyle \rho \) - искомое расстояние

\( \displaystyle \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) - координаты точки \( \displaystyle C\)

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}D\) - коэффициенты в уравнении плоскости.

Найдём всё это от простого к сложному.

Координаты точки \( \displaystyle C\):

\( \displaystyle {{x}_{0}}=2;\ {{y}_{0}}=2;\ {{z}_{0}}=0\).

Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

\( \displaystyle A(0;0;0);{{B}_{1}}\left( 0;2;2 \right);M\left( 1;0;2 \right)\).

Подставляем в уравнение плоскости:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0\\A\cdot 0+B\cdot 2+C\cdot 2+D=0\\A\cdot 1+B\cdot 0+C\cdot 2+D=0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}D=0\\B+C=0\\A+2C=0\end{array} \right.\)

Пусть \( \displaystyle C=-1\) тогда \( \displaystyle B=1;A=2\).

Уравнение:

\( \displaystyle 2x+y-z=0\)

Ищем \( \displaystyle \rho \):

\( \displaystyle \rho =\frac{2\cdot 2+1\cdot 2-1\cdot 0}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\)

Кажется, что это легче?

Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

  • алгебраический;
  • геометрический.

Плюсы и минусы обоих способов:

+

-

АЛГ

Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.

Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.

ГЕО

Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.

Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно:

  1. 1
    Ввести систему координат;
  2. 2
    Найти координаты точки и уравнение плоскости;
  3. 3
    Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона).

\( \displaystyle \rho =\frac{|{{A}_{{{x}_{0}}}}+{{B}_{{{y}_{0}}}}+{{C}_{{{z}_{0}}}}+D|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)

\( \displaystyle \rho \)- искомое расстояние

\( \displaystyle \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) - координаты точки \( \displaystyle C\)

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}D\) - коэффициенты в уравнении плоскости.

При геометрическом способе нужно:

  1. 1
    Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
  2. 2
    Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
  3. 3
    Выполнить необходимое дополнительное построение;
  4. 4
    Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Что думаешь?

Что ж, ты только что научился решать одну из главных задач стереометрии

Именно на ней построено большинство задач этого раздела геометрии (если не все).

Чувствуешь себя увереннее? Готов получать заслуженные высокие баллы?

Расскажи нам ниже в комментариях!

Нам будет очень интересно узнать, понравилась ли тебе статья. И мы обязательно ответим на все вопросы!

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>