Расстояние от точки до плоскости (ЕГЭ 2022)

Привет!

Стереометрия выглядит жутко… Вернее, сама-то стереометрия красивая!

Знаю, что, когда на уроках скучно, все мы любим порисовать на полях кубы и объемные рисунки 🙂

А вот задачи по стереометрии жутковатые. Однако, если в них хорошо разобраться, все будет легко!

Давай начнем с базы – с расстояния от точки до плоскости.

Поехали!

Расстояние от точки до плоскости – коротко о главном

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.


Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

  • алгебраический;
  • геометрический.

Плюсы и минусы обоих способов:

+
АЛГНе нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕОНе нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно:

  • Ввести систему координат;
  • Найти координаты точки и уравнение плоскости;
  • Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона).
\( \displaystyle \rho =\frac{|{{A}_{{{x}_{0}}}}+{{B}_{{{y}_{0}}}}+{{C}_{{{z}_{0}}}}+D|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)

\( \displaystyle \rho \)– искомое расстояние

\( \displaystyle \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) – координаты точки \( \displaystyle C\)

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}D\) – коэффициенты в уравнении плоскости.

При геометрическом способе нужно:

  • Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
  • Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
  • Выполнить необходимое дополнительное построение;
  • Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

А теперь подробнее…

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.


Способы нахождения расстояния от точки до плоскости

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

+
АЛГНе нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕОНе нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе \( \text{ABCD}~{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром \( 2\) точки \( \displaystyle M\) – середина ребра \( {{A}_{1}}{{D}_{1}}\). Найти расстояние от точки \( \displaystyle C\) до плоскости \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\).

Геометрический способ

Куда же опускается перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\)?

Смотрим на \( \displaystyle \Delta A{{B}_{1}}M\) – оказывается, он равнобедренный – \( \displaystyle {{B}_{1}}M=AM\)!

Проведём \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C{{B}_{1}}\). Зачем? А они тоже равны \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C{{B}_{1}}\).

Отметим точку \( \displaystyle K\) – середину \( \displaystyle A{{B}_{1}}\) – и проведём \( \displaystyle MK\) и \( \displaystyle CK\). Треугольники \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\) и \( \displaystyle A{{B}_{1}}C\) – равнобедренные, поэтому \( \displaystyle MK\bot A{{B}_{1}}\) и \( \displaystyle CK\bot A{{B}_{1}}\).

И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A{{B}_{1}}\bot MK\\A{{B}_{1}}\bot CK\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}_{1}}\bot CMK\).

Остался один шаг: проведём \( \displaystyle CH\bot MK\) (в плоскости \( \displaystyle CMK\), естественно).

Что же можно сказать о \( \displaystyle CH\)?

\( \displaystyle CH\bot MK\) по построению

\( \displaystyle CH\bot A{{B}_{1}}\) – так как \( \displaystyle A{{B}_{1}}\bot CMK\) и значит, \( \displaystyle A{{B}_{1}}\) перпендикулярна всякой прямой в плоскости \( \displaystyle CMK\), в частности и \( \displaystyle CH\).

Итак,

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}CH\bot MK\\CH\bot A{{B}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow CH\bot A{{B}_{1}}M\) – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A{{B}_{1}}M\) – это высота в \( \displaystyle \Delta CMK\). Осталось найти эту высоту.

\( \displaystyle C{{D}_{1}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}\) (из \( \displaystyle C{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)); \( \displaystyle M{{D}_{1}}=1\) (по условию)

\( \displaystyle CM=\sqrt{CD_{1}^{2}+{{D}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{8+1}=3\) (из \( \displaystyle \Delta C{{D}_{1}}M\))

Ищем \( \displaystyle KM\):

\( \displaystyle {{B}_{1}}M=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5};~{{B}_{1}}K=\frac{A{{B}_{1}}}{2}=\sqrt{2}\)

\( \displaystyle KM=\sqrt{{{B}_{1}}{{M}^{2}}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}\ (\Delta {{B}_{1}}KM)\)

Ищем \( \displaystyle CK\):

\( \displaystyle CK=\sqrt{CB_{1}^{2}+{{B}_{1}}{{K}^{2}}}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}\)

Теперь площадь \( \displaystyle \Delta KCM\) по формуле Герона:

\( \displaystyle S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\)

\( \displaystyle p=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};\)

\( \displaystyle p-a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2};\)

\( \displaystyle p-b=\frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2};\)

\( \displaystyle p-c=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}\)

\( \displaystyle S=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}=\)

\( \displaystyle=\sqrt{\frac{(3+{{\sqrt{3)}}^{2}}-6}{4}\cdot \frac{6-(3-{{\sqrt{3)}}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{6+6\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{6\sqrt{3}-6}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\)

И наконец, \( \displaystyle CH\):

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}CH\cdot KM;CH=\frac{2S}{KM}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно \( \displaystyle \sqrt{6}\), запишем ответ.

Ответ: \( \displaystyle \sqrt{6}\).

Алгебраический способ

Введём в систему координат с центром в точке \( \displaystyle A\) и осями вдоль рёбер \( \displaystyle A{{D}_{1}}A{{B}_{1}}A{{A}_{1}}\).

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

\( \displaystyle \rho =\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)

Найдём всё это от простого к сложному.

Координаты точки \( \displaystyle C\):

\( \displaystyle {{x}_{0}}=2;\ {{y}_{0}}=2;\ {{z}_{0}}=0\).

Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

\( \displaystyle A(0;0;0);{{B}_{1}}\left( 0;2;2 \right);M\left( 1;0;2 \right)\).

Подставляем в уравнение плоскости:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0\\A\cdot 0+B\cdot 2+C\cdot 2+D=0\\A\cdot 1+B\cdot 0+C\cdot 2+D=0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}D=0\\B+C=0\\A+2C=0\end{array} \right.\)

Пусть \( \displaystyle C=-1\) тогда \( \displaystyle B=1;A=2\).

Уравнение:

\( \displaystyle 2x+y-z=0\)

Ищем \( \displaystyle \rho \):

\( \displaystyle \rho =\frac{2\cdot 2+1\cdot 2-1\cdot 0}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\)

Кажется, что это легче?

Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Как тебе самая короткая тема? )

Короткая тема, но очень важная. Как тебе она?

Какой метод тебе больше нравится? Геометрический или алгебраический?

Понял ли ты формулу Герона?

В общем черкни пару слов в комментарии, мы будем рады любой обратной связи.

Удачи на экзаменах!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 комментария

  1. Добрый день. Зарегистрировалась . Но после этого все равно не видны скрытые части статьи. Не вижу кнопки “Войти ” под свои м логином и паролем

    1. Добрый день, Вера Александровна. Спасибо за вопрос.

      После регистрации вам просто нужно обновить ту страницу, на которой вы были и все должно открыться. Это что касается YouClever.org. А кнопка “Войти” есть на сайте 100gia.ru, где вам доступны другие бесплатные материалы.