Равнобедренный треугольник

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

• \( \displaystyle \underbrace{AB}_{гипотенуза \ в\ \Delta ABH}=\underbrace{BC}_{гипотенуза\ в\ \Delta СBH}\)
• \( \displaystyle BH\text{ }=\text{ }BH\) (ещё говорят, \( \displaystyle BH\)— общая)

И, значит, \( \displaystyle AH\text{ }=\text{ }CH\)!

Почему? 

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))

\( \displaystyle AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)

\( \displaystyle CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

\( \displaystyle \begin{array}{l}AB=BC\\BH=BH\\AH=CH\end{array}\)

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\);
• Высота, проведенная к основанию \( \displaystyle (ВH)\), совпадает с медианой и биссектрисой
• \( \displaystyle AH=CH\)
• \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?