Равнобедренный треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Равнобедренный треугольник (1)

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Равнобедренный треугольник (2)

Может быть, конечно, и так:

Равнобедренный треугольник (3)

Так что будь  внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Равнобедренный треугольник (4) Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Равнобедренный треугольник (5) Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Равнобедренный треугольник (6) Видишь, два прямоугольных треугольника ($latex \displaystyle \Delta  ABH$ и $latex \displaystyle \Delta  CBH$) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

Равнобедренный треугольник (7) $latex \displaystyle \underbrace{AB}_{гипотенуза \ в\ \Delta ABH}=\underbrace{BC}_{гипотенуза\ в\ \Delta СBH}$
$latex \displaystyle BH\text{ }=\text{ }BH$  (ещё говорят, $latex \displaystyle BH$- общая)

И, значит, $latex \displaystyle AH\text{ }=\text{ }CH$! Почему? Да мы просто найдём и $latex \displaystyle AH$, и  $latex \displaystyle CH$ из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что $latex \displaystyle AB=BC$)

$latex \displaystyle AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}$

$latex \displaystyle CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}$

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

$latex \displaystyle \begin{array}{l}AB=BC\\BH=BH\\AH=CH\end{array}$

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Равнобедренный треугольник (8) Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\angle A=\angle C\\AH=CH\\\angle 1=\angle 2\end{array}$

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
    $latex \displaystyle \angle A=\angle C$
  • Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
    $latex \displaystyle AH=CH$
    $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I.  Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Первый признак равнобедренного треугольника

II.  Если в каком-то треугольнике

  • высота и медиана или
  • высота и биссектриса или
  • биссектриса и медиана

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Второй признак равнобедренного треугольника. рис.1
Если совпадают высота и биссектриса, то:
Второй признак равнобедренного треугольника. рис.2
Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Второй признак равнобедренного треугольника. рис.3
Ну вот, не забывай и пользуйся:

  • Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
  • Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
  • Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
  • Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
  • Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике $latex \displaystyle ABC$ стороны $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle AC$ равны, а $latex \displaystyle \angle BAC=70{}^\circ $. Найти $latex \displaystyle \angle ABC$.

Решаем:

Сначала рисунок.

Равнобедренный треугольник. Задача

Что здесь – основание? Конечно, $latex \displaystyle BC$.

Вспоминаем, что если $latex \displaystyle AB=AC$, то и $latex \displaystyle \angle B=\angle C$.

Обновлённый рисунок:

Равнобедренный треугольник. Задача 1

Обозначим $latex \displaystyle \angle B$ за $latex \displaystyle x$. Чему там равна сумма углов треугольника? $latex \displaystyle 180{}^\circ $?

Пользуемся:

$latex \displaystyle 70{}^\circ +x+x=180{}^\circ $

$latex \displaystyle 2x=110{}^\circ $

$latex \displaystyle x=55{}^\circ $

Вот и ответ: $latex \displaystyle \angle ABC=55{}^\circ $.

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике $latex \displaystyle ABC$ $latex \displaystyle \angle B=\angle C=30{}^\circ $, $latex \displaystyle BC=24\sqrt{3}$. Найти $latex \displaystyle AB$.

Решаем:

Равнобедренный треугольник. Задача 2 Смотрим внимательно и соображаем, что раз $latex \displaystyle \angle B=\angle C$, то $latex \displaystyle AB=AC$.

Равнобедренный треугольник. Задача 2. рис. 2

Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Равнобедренный треугольник. Задача 2. рис. 3 Вспоминаем, что высота = медиана, то есть $latex BH=HC=12\sqrt{3}$.

Теперь «вычёркиваем из жизни» $latex \displaystyle \Delta AHC$, рассмотрим только $latex \displaystyle \Delta ABH$.

Прямоугольный треугольник. Задача 2. рис. 4

Итак, в $latex \displaystyle \Delta ABH$ имеем: $latex \cos 30{}^\circ =\frac{12\sqrt{3}}{AB}$

Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)

$latex \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{AB}$

Осталось найти $latex AB$: $latex AB=\frac{12\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}=24$.

Ответ: $latex \displaystyle AB=24$.

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий