Равнобедренный треугольник

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные. 

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. 

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

Поехали!

Равнобедренный треугольник — коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

  • \( \displaystyle AB=BC\) – боковые стороны
  • \( \displaystyle AC\) – основание

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный. 

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Высота равнобедренного треугольника

Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту. Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ???????????? и Δ????????????) – одинаковые!

Или, как математики любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём?

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

  • \( \displaystyle \underbrace{AB}_{гипотенуза \ в\ \Delta ABH}=\underbrace{BC}_{гипотенуза\ в\ \Delta СBH}\)
  • \( \displaystyle BH\text{ }=\text{ }BH\) (ещё говорят, \( \displaystyle BH\)— общая)

И, значит, \( \displaystyle AH\text{ }=\text{ }CH\)!

Почему? 

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))

\( \displaystyle AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)

\( \displaystyle CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)


Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

\( \displaystyle \begin{array}{l}AB=BC\\BH=BH\\AH=CH\end{array}\)

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\);
  • Высота, проведенная к основанию \( \displaystyle (ВH)\), совпадает с медианой и биссектрисой
  • \( \displaystyle AH=CH\)
  • \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Признаки равнобедренного треугольника

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач

  • Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник;
  • Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек… 🙂 );
  • Если оказалось, что высота разделила сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами;
  • Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный;
  • Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана разделила угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике.

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

2 задачи на равнобедренный треугольник

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) стороны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle AC\) равны, а \( \displaystyle \angle BAC=70{}^\circ \).

Найти \( \displaystyle \angle ABC\).

Решение

Сначала рисунок:

Что здесь основание? Конечно, \( \displaystyle BC\).

Вспоминаем, что если \( \displaystyle AB=AC\), то и \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

Обновлённый рисунок:

Задача 2

(Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) \( \displaystyle \angle B=\angle C=30{}^\circ \), \( \displaystyle BC=24\sqrt{3}\).

Найти \( \displaystyle AB\).

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз \( \displaystyle \angle B=\angle C\), то \( \displaystyle AB=AC\).

Треугольник-то равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть

\( BH=HC=12\sqrt{3}\).

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Добавить комментарий для Маша Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован.

3 комментария

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    никита
    26 сентября 2018
    вау помогло все так кратко и понятно

    Дмитрий
    18 декабря 2019
    Очень помогает