Равносторонний треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства.

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(\displaystyle 60{}^\circ \).

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(\displaystyle 180{}^\circ \), значит, каждый по \(\displaystyle 60{}^\circ \).

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Центр равностороннего треугольника. Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не \(\displaystyle 12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике. \(\displaystyle R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка \(\displaystyle O\) – центр треугольника. Значит, \(\displaystyle OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(\displaystyle R\)), а \(\displaystyle OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(\displaystyle r\)). Но ведь точка \(\displaystyle O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(\displaystyle 2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\displaystyle OB=2OK\), то есть \(\displaystyle R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Равносторонний треугольник. Высота

Равносторонний треугольник. Высота. \(\displaystyle h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Почему?

Рассмотрим \(\displaystyle \Delta ABK\) – он прямоугольный.

\(\displaystyle \angle A=60{}^\circ \Rightarrow h=a\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности. \(\displaystyle R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

А это почему? Мы уже выяснили, что точка \(\displaystyle O\) – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, \(\displaystyle R=BO=2OK=\frac{2}{3}BK=\frac{2}{3}h\).

Величину \(\displaystyle h\) мы уже находили. Теперь подставляем:

\(\displaystyle R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности. \( \displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Это уже теперь должно быть совсем ясно

\(\displaystyle R=2\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\).

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике. Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны \(\displaystyle 60{}^\circ \) и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *