Равносторонний треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства.

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны $latex \displaystyle 60{}^\circ $.

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме $latex \displaystyle 180{}^\circ $, значит, каждый по $latex \displaystyle 60{}^\circ $.

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Центр равностороннего треугольника. Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не $latex \displaystyle 12$ особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике. $latex \displaystyle R=2\cdot r$

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка $latex \displaystyle O$ – центр треугольника. Значит, $latex \displaystyle OB$ – радиус описанной окружности (обозначили его $latex \displaystyle R$), а $latex \displaystyle OK$ – радиус вписанной окружности (обозначим $latex \displaystyle r$). Но ведь точка $latex \displaystyle O$ – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $latex \displaystyle 2:1$, считая от вершины. Поэтому $latex \displaystyle OB=2OK$, то есть $latex \displaystyle R=2\cdot r$.

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Равносторонний треугольник. Высота

Равносторонний треугольник. Высота. $latex \displaystyle h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Почему?

Рассмотрим $latex \displaystyle \Delta ABK$ – он прямоугольный.

$latex \displaystyle \angle A=60{}^\circ \Rightarrow h=a\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности. $latex \displaystyle R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

А это почему? Мы уже выяснили, что точка $latex \displaystyle O$ – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, $latex \displaystyle R=BO=2OK=\frac{2}{3}BK=\frac{2}{3}h$.

Величину $latex \displaystyle h$ мы уже находили. Теперь подставляем:

$latex \displaystyle R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности. $latex  \displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Это уже теперь должно быть совсем ясно

$latex \displaystyle R=2\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике. Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны $latex \displaystyle 60{}^\circ $ и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Проверь себя — реши задачи на равносторонний треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий