9 июля

1 comments

Равносторонний треугольник (ЕГЭ – 2021)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор...

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

А еще сможешь решить любую задачу на ЕГЭ!

Поехали!

Определение равностороннего треугольника

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник  треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \({{180}^{o }}\), значит, каждый по \({{60}^{o }}\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
\(R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\(O\) – центр треугольника. Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника


\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Почему?

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

\(\angle A={{60}^{o}}\Rightarrow h=a\cdot \sin {{60}^{o}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

А это почему?

Мы уже выяснили, что точка \(O\) – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, \(R=BO=2OK=\frac{2}{2}BK=\frac{2}{3}h\)

Величину \(h\) мы уже находили. Теперь подставляем:

\(R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

\(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

\(R=2\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны \({{60}^{o }}\) и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Равносторонний треугольник  треугольник, у которого все стороны равны.

\(AB=BC=AC=a\)

  • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\).
  • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;
  • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
  • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);
  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: \(R=2\cdot r\).

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

  • Высота=медиана=биссектриса: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\);
  • Радиус описанной окружности: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\);
  • Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\);
  • Площадь: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\);
  • Периметр: \(P=3a\);

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Поговорим о тебе?

Равносторонний треугольник, как ты заметил, находится в очень удобной позиции! 

С одной стороны, для него выполняются все свойства равнобедренного треугольника. С другой стороны, он очень интересен как правильная фигура (а интересна она связью с окружностями!).

Но сейчас не об этом... Расскажи нам, как тебе статья? Понравилась?

Напиши в комментариях!

А еще пиши, если есть вопросы. Мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Gabit
    18 сентября 2019
    Спасибо большое, хоть дочка и учится в школе с другим языком обучения, символы в математике едины и Ваша статья ей помогла.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >