Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Поехали!

Равносторонний треугольник – коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

  • Высота=медиана=биссектриса: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\);
  • Радиус описанной окружности: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\);
  • Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\);
  • Площадь: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\);
  • Периметр: \(P=3a\);

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Определение равностороннего треугольника

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \({{180}^{o }}\), значит, каждый по \({{60}^{o }}\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.

Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Почему?

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

\(\angle A={{60}^{o}}\Rightarrow h=a\cdot \sin {{60}^{o}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

А это почему?

Мы уже выяснили, что точка \(O\) – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, \(R=BO=2OK=\frac{2}{2}BK=\frac{2}{3}h\)

Величину \(h\) мы уже находили. Теперь подставляем:

\(R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

\(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

\(R=2\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны \({{60}^{o }}\) и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени. 

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. 

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. 

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Поговорим о тебе?

Равносторонний треугольник, как ты заметил, находится в очень удобной позиции! 

С одной стороны, для него выполняются все свойства равнобедренного треугольника. С другой стороны, он очень интересен как правильная фигура (а интересна она связью с окружностями!).

Но сейчас не об этом… Расскажи нам, как тебе статья? Понравилась?

Напиши в комментариях!

А еще пиши, если есть вопросы. Мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Gabit
    18 сентября 2019
    Спасибо большое, хоть дочка и учится в школе с другим языком обучения, символы в математике едины и Ваша статья ей помогла.