Целые числа. Начальный уровень

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Целые числа

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

  • натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
  • числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
  • ноль — «0» (куда уж без него?)

Множество целых чисел обозначается буквой \(\mathbb{Z}\).

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа – это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения – необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

\(1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…n\)

Множество натуральных чисел обозначается буквой \(\mathbb{N}\).

Соответственно, в это определение не входит \(0\) (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает \(-1\) яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть \(1,5\) ноутбука», или «я продал \(2,5\) машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

\(0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9\).

Таким образом, \(14\) – это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр \(1\) и \(4\).

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется»: \(4+5+3+6=4+6+5+3=10+8=18\). Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается. Не забывай про него — используй группировку, чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Вычитание

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например: \(32-5-2-6=\left( 32-2 \right)-5-6=30-5-6=19\). А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: \(32+5-2-6\text{ }=\left( 32-2 \right)-\left( 6-5 \right)=30-1=29\). Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится: \(2\cdot 4\cdot 6\cdot 5=\left( 2\cdot 5 \right)\cdot \left( 4\cdot 6 \right)=10\cdot 24=240\). Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

Натуральные числа. Правила умножения.

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

\(a\cdot 0=0\)

\(a\cdot 1=a\)

Деление.

Ну что здесь можно сказать интересного? Число может делиться на другое нацело (то есть, без остатка) и с остатком, который всегда меньше делителя, что вполне логично. Особые случаи, если при делении у нас есть 0. Чему будет равен пример, если 0 является делителем и чему равен пример, если он делимое? Правильно:

\(a:0\) – нельзя!

\(0:a=0\)

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости. Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь! А вот остальные совсем не сложно запомнить. Смотри таблицу:

Натуральные числа. Признаки делимости

Первые три правила ты, конечно же, знаешь. Четвертое и пятое легко запомнить – при делении на \(3\) и \(9\) мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число. При делении на \(4\) мы обращаем внимание на две последние цифры числа — делится ли число, которое они составляют на \(4\)? При делении на \(6\) число должно одновременно делиться на \(2\) и на \(3\). Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь — «зачем мне все это»? Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах, а во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД)

Допустим, у тебя есть два числа: \(12\) и \(8\). На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь \(4\), потому что знаешь, что:

\(12=4\cdot 3=2\cdot 2\cdot 3\)

\(8=4\cdot 2=2\cdot 2\cdot 2\)

Какие цифры в разложении общие? Правильно, \(2\cdot 2=4\). Вот и твой ответ был \(4\). Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД. Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на \(1\), например, \(3,\text{ }7,\text{ }11,\text{ }13\) и т.д.).
  2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
  3. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел \(\displaystyle 290\) и \(\displaystyle \mathbf{485}\).

Первое число — \(\displaystyle 290\).

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на \(10\), запишем:

\(290=29\cdot 10\)

\(29\) больше разделить ни на что нельзя, а вот \(10\) можно – \(5\) и \(2\), получаем:

\(290=29\cdot 5\cdot 2\)

Возьмем еще одно число – \(\displaystyle \mathbf{485}\).

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на \(5\), так как на \(5\) заканчивается. Делим:

\(485=5\cdot 97\)

Проанализируем изначальное число.

На \(2\) оно делиться не может (последняя цифра – нечетная), \(85\) – не делится на \(4\), значит число тоже не делится на \(4\), на \(3\) и на \(9\) также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на \(3\) и на \(9\)) на \(6\) тоже не делится, так как не делится на \(2\) и \(3\), на \(8\) тоже не делится, так как не делится на \(2\) и \(4\). Осталось проверить деление на \(7\). \(97\) нельзя разделить на \(7\) нацело, значит, число \(485\) можно разложить только на \(5\) и \(97\).

А теперь найдем НОД этих чисел (\(290\) и \(485\)). Какое это число? Правильно, \(5\).

Совет: глядя на числа можно иногда сразу найти хотя бы один общий делитель. Раздели сначала на него, а потом уже раскладывай дальше. При этом, необязательно общий делитель раскладывать на его составляющие – все равно потом ты будешь их снова перемножать.

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД \(\ \left( 6240;\ 6800 \right)\)

Справился? Сравним ответы и ход мыслей:

Найти НОД\(\ \left( 6240;\ 6800 \right)\)

1) Делю сразу на \(10\), так как оба числа 100% делятся на \(10\):

\(6240=10\cdot 624\)

\(6800=10\cdot 680\)

2) Разделю на \(4\) оставшиеся большие числа (\(624\) и \(680\)), так как \(24\) и \(80\) без остатка делятся на \(4\) (при этом, \(10\) раскладывать не буду – он и так общий делитель):

\(6240=10\cdot 4\cdot 156\)

\(6800=10\cdot 4\cdot 170\)

3) Оставлю \(4\) и \(10\) в покое и начну рассматривать числа \(156\) и \(170\). Оба числа точно делятся на \(2\) (заканчиваются на четные цифры (\(0\) в таком случае представляем как \(10\), а \(10\) можно разделить на \(2\))):

\(6240=10\cdot 4\cdot 2\cdot 78\)

\(6800=10\cdot 4\cdot 2\cdot 85\)

4) Работаем с числами \(78\) и \(85\). Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

\(6240=10\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 39\)

\(6800=10\cdot 4\cdot 2\cdot 5\cdot 17\)

5) Как мы видим, мы были правы: у \(78\) и \(85\) общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить \(10\cdot 4\cdot 2=80\).
НОД \(\ \left( 6240;\ 6800 \right)=80\)

Задача №2. Найти НОД\(\ \left( 345;\ 324 \right)\)

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

\(345=5\cdot 69=5\cdot 3\cdot 23\)

\(324=2\cdot 162=2\cdot 2\cdot 81=2\cdot 2\cdot 9\cdot 9=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\)

Точно, НОД\(\ \left( 345;\ 324 \right)=3\), а я изначально не проверила признак делимости на \(3\), и, возможно, не пришлось бы делать столько действий. Но ты-то проверил, верно?  Молодец! Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Допустим, у тебя есть два числа – \(8\) и \(16\). Какое существует самое маленькое число, которое делится \(8\) и \(16\) без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Картинка для 10

Ты же помнишь, что обозначается буквой \(\mathbb{Z}\)? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? \(x=16\):

\(16:8=2\)

\(16:16=1\)

В данном случае \(НОК\left( 8;16 \right)=16\).

Из этого простого примера вытекает несколько правил:

  1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным (как в нашем случае).
    Найди \(НОК\) у следующих чисел:
    \(НОК\left( 7;21 \right)\)
    \(НОК\left( 6;12 \right)\)
    \(НОК\left( 5;15 \right)\)
    \(НОК\left( 3;3 \right)\)
    Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы – \(21\),\(12\), \(15\) и \(33\).
    Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.
    Например, \(НОК\left( 7;14;21 \right)\ne 21\), так как \(21\)не делится без остатка на \(14\).
  2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.
    Найди НОК у следующих чисел:
    \(НОК\left( 1;\ 3;\ 7 \right)\)
    \(НОК\left( 3;\ 7;\ 11 \right)\)
    \(НОК\left( 2;\ 3;\ 7 \right)\)
    \(НОК\left( 3;\ 5;\ 2 \right)\)

Посчитал? Вот ответы – \(21\),\(231\), \(42\); \(30\).

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

  1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
  2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
  3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
  4. Найти произведение получившихся множителей.

Потренируемся? Попробуем вместе найти НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

\(345=5\cdot 69=5\cdot 3\cdot 23\)

\(234=3\cdot 2\cdot 39=3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\)

Почему я сразу написал \(3\cdot 2\)? Вспомни признаки делимости на \(6\): делится на \(2\) (последняя цифра – четная) и сумма цифр делится на \(3\) \(\left( 2+3+4=9 \right)\). Соответственно, можем сразу разделить \(234\) на \(6\), записав ее как \(3\cdot 2\).

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение – второе:

\(3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\)

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

\(3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\cdot 5\cdot 23\)

Заметь: мы выписали все кроме \(3\), так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

\(3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\cdot 5\cdot 23=18\cdot 13\cdot 5\cdot 23=18\cdot 65\cdot 23=26910\)

\(НОК\left( 345;234 \right)=26910\)

Попробуй самостоятельно найти НОК следующих чисел:

Найти \(НОК\left( 6240;6800 \right)\)

Найти \(НОК\left( 345;324 \right)\)

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

\(НОК\left( 6240;6800 \right)=530400\)

\(НОК\left( 345;234 \right)=37260\)

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК? Мое время – 2 минуты, правда я знаю одну хитрость, которую предлагаю тебе открыть собственноручно.

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все. Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

НОД, НОК. Разложение целых чисел.

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

\(10\cdot 4\cdot 2\cdot 10\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 39\cdot 5\cdot 17\)

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются \(6240\) и \(6800\).

Разложение целых чисел.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК), мы можем найти НОК (или НОД) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

\(6240\cdot 6800=42432000\)

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

\(42432000:80=530400\)

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

НОК \(\displaystyle \left( a;\;b \right)\cdot \ \)НОД \(\displaystyle \left( a;\;b \right)=a\cdot b\)

Попробуй найти НОД, если известно, что:

\(НОК\left( 345;\ 234 \right)=26910\)

Справился? \(НОД\left( 345;\ 234 \right)=3\).

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Отрицательные числа – «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

\(-1;\ -2;\ -3;\ -4\) и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из \(3\) вычесть \(11\) – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас \(3-11\)), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе — недостачу). Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю — к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского — Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что \(0-4=0\). Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда: \(6-8\). Число «\(8\)» положительное, которое вычитается из \(6\), или отрицательное, которое суммируется к \(6\)?… Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.3421342

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция \(\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}\)

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе «\(1\)» больше, чем «\(-1\)» верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму \(40\) (или \(100\)) чисел) в 1831 году поставил точку – он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют \(1,5\) землекопа, нельзя купить \(4,5\) билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике \(0\) – особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить \(0\), отнять \(0\) – ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к «\(1\)», и полученное число \(10\) будет в \(10\) раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть \(0\), мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто – ouden.  Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них «\(0\)» – составляющая числа \(270\).

В Европу ноль также пришел с запозданием — лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль — самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий