Целые числа. Начальный уровень

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Целые числа

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

  • натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
  • числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
  • ноль — «0» (куда уж без него?)

Множество целых чисел обозначается буквой $latex \mathbb{Z}$.

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа – это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения – необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

$latex 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…n$

Множество натуральных чисел обозначается буквой $latex \mathbb{N}$.

Соответственно, в это определение не входит $latex 0$ (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает $latex -1$ яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть $latex 1,5$ ноутбука», или «я продал $latex 2,5$ машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

$latex 0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9$.

Таким образом, $latex 14$ – это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр $latex 1$ и $latex 4$.

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется»: $latex 4+5+3+6=4+6+5+3=10+8=18$. Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается. Не забывай про него — используй группировку, чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Вычитание

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например: $latex 32-5-2-6=\left( 32-2 \right)-5-6=30-5-6=19$. А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: $latex 32+5-2-6\text{ }=\left( 32-2 \right)-\left( 6-5 \right)=30-1=29$. Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится: $latex 2\cdot 4\cdot 6\cdot 5=\left( 2\cdot 5 \right)\cdot \left( 4\cdot 6 \right)=10\cdot 24=240$. Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

Натуральные числа. Правила умножения.

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

$latex a\cdot 0=0$

$latex a\cdot 1=a$

Деление.

Ну что здесь можно сказать интересного? Число может делиться на другое нацело (то есть, без остатка) и с остатком, который всегда меньше делителя, что вполне логично. Особые случаи, если при делении у нас есть 0. Чему будет равен пример, если 0 является делителем и чему равен пример, если он делимое? Правильно:

$latex a:0$ – нельзя!

$latex 0:a=0$

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости. Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь! А вот остальные совсем не сложно запомнить. Смотри таблицу:

Натуральные числа. Признаки делимости

Первые три правила ты, конечно же, знаешь. Четвертое и пятое легко запомнить – при делении на $latex 3$ и $latex 9$ мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число. При делении на $latex 4$ мы обращаем внимание на две последние цифры числа — делится ли число, которое они составляют на $latex 4$? При делении на $latex 6$ число должно одновременно делиться на $latex 2$ и на $latex 3$. Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь — «зачем мне все это»? Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах, а во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД)

Допустим, у тебя есть два числа: $latex 12$ и $latex 8$. На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь $latex 4$, потому что знаешь, что:

$latex 12=4\cdot 3=2\cdot 2\cdot 3$

$latex 8=4\cdot 2=2\cdot 2\cdot 2$

Какие цифры в разложении общие? Правильно, $latex 2\cdot 2=4$. Вот и твой ответ был $latex 4$. Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД. Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на $latex 1$, например, $latex 3,\text{ }7,\text{ }11,\text{ }13$ и т.д.).
  2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
  3. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел $latex \displaystyle 290$ и $latex \displaystyle \mathbf{485}$.

Первое число — $latex \displaystyle 290$.

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на $latex 10$, запишем:

$latex 290=29\cdot 10$

$latex 29$ больше разделить ни на что нельзя, а вот $latex 10$ можно – $latex 5$ и $latex 2$, получаем:

$latex 290=29\cdot 5\cdot 2$

Возьмем еще одно число – $latex \displaystyle \mathbf{485}$.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на $latex 5$, так как на $latex 5$ заканчивается. Делим:

$latex 485=5\cdot 97$

Проанализируем изначальное число.

На $latex 2$ оно делиться не может (последняя цифра – нечетная), $latex 85$ – не делится на $latex 4$, значит число тоже не делится на $latex 4$, на $latex 3$ и на $latex 9$ также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на $latex 3$ и на $latex 9$) на $latex 6$ тоже не делится, так как не делится на $latex 2$ и $latex 3$, на $latex 8$ тоже не делится, так как не делится на $latex 2$ и $latex 4$. Осталось проверить деление на $latex 7$. $latex 97$ нельзя разделить на $latex 7$ нацело, значит, число $latex 485$ можно разложить только на $latex 5$ и $latex 97$.

А теперь найдем НОД этих чисел ($latex 290$ и $latex 485$). Какое это число? Правильно, $latex 5$.

Совет: глядя на числа можно иногда сразу найти хотя бы один общий делитель. Раздели сначала на него, а потом уже раскладывай дальше. При этом, необязательно общий делитель раскладывать на его составляющие – все равно потом ты будешь их снова перемножать.

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД $latex \ \left( 6240;\ 6800 \right)$

Справился? Сравним ответы и ход мыслей:

Найти НОД$latex \ \left( 6240;\ 6800 \right)$

1) Делю сразу на $latex 10$, так как оба числа 100% делятся на $latex 10$:

$latex 6240=10\cdot 624$

$latex 6800=10\cdot 680$

2) Разделю на $latex 4$ оставшиеся большие числа ($latex 624$ и $latex 680$), так как $latex 24$ и $latex 80$ без остатка делятся на $latex 4$ (при этом, $latex 10$ раскладывать не буду – он и так общий делитель):

$latex 6240=10\cdot 4\cdot 156$

$latex 6800=10\cdot 4\cdot 170$

3) Оставлю $latex 4$ и $latex 10$ в покое и начну рассматривать числа $latex 156$ и $latex 170$. Оба числа точно делятся на $latex 2$ (заканчиваются на четные цифры ($latex 0$ в таком случае представляем как $latex 10$, а $latex 10$ можно разделить на $latex 2$)):

$latex 6240=10\cdot 4\cdot 2\cdot 78$

$latex 6800=10\cdot 4\cdot 2\cdot 85$

4) Работаем с числами $latex 78$ и $latex 85$. Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

$latex 6240=10\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 39$

$latex 6800=10\cdot 4\cdot 2\cdot 5\cdot 17$

5) Как мы видим, мы были правы: у $latex 78$ и $latex 85$ общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить $latex 10\cdot 4\cdot 2=80$.
НОД $latex \ \left( 6240;\ 6800 \right)=80$

Задача №2. Найти НОД$latex \ \left( 345;\ 324 \right)$

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

$latex 345=5\cdot 69=5\cdot 3\cdot 23$

$latex 324=2\cdot 162=2\cdot 2\cdot 81=2\cdot 2\cdot 9\cdot 9=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Точно, НОД$latex \ \left( 345;\ 324 \right)=3$, а я изначально не проверила признак делимости на $latex 3$, и, возможно, не пришлось бы делать столько действий. Но ты-то проверил, верно?  Молодец! Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Допустим, у тебя есть два числа – $latex 8$ и $latex 16$. Какое существует самое маленькое число, которое делится $latex 8$ и $latex 16$ без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Картинка для 10

Ты же помнишь, что обозначается буквой $latex \mathbb{Z}$? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? $latex x=16$:

$latex 16:8=2$

$latex 16:16=1$

В данном случае $latex НОК\left( 8;16 \right)=16$.

Из этого простого примера вытекает несколько правил:

  1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным (как в нашем случае).
    Найди $latex НОК$ у следующих чисел:
    $latex НОК\left( 7;21 \right)$
    $latex НОК\left( 6;12 \right)$
    $latex НОК\left( 5;15 \right)$
    $latex НОК\left( 3;3 \right)$
    Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы – $latex 21$,$latex 12$, $latex 15$ и $latex 33$.
    Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.
    Например, $latex НОК\left( 7;14;21 \right)\ne 21$, так как $latex 21$не делится без остатка на $latex 14$.
  2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.
    Найди НОК у следующих чисел:
    $latex НОК\left( 1;\ 3;\ 7 \right)$
    $latex НОК\left( 3;\ 7;\ 11 \right)$
    $latex НОК\left( 2;\ 3;\ 7 \right)$
    $latex НОК\left( 3;\ 5;\ 2 \right)$

Посчитал? Вот ответы – $latex 21$,$latex 231$, $latex 42$; $latex 30$.

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

  1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
  2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
  3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
  4. Найти произведение получившихся множителей.

Потренируемся? Попробуем вместе найти НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

$latex 345=5\cdot 69=5\cdot 3\cdot 23$

$latex 234=3\cdot 2\cdot 39=3\cdot 2\cdot 3\cdot 13$

Почему я сразу написал $latex 3\cdot 2$? Вспомни признаки делимости на $latex 6$: делится на $latex 2$ (последняя цифра – четная) и сумма цифр делится на $latex 3$ $latex \left( 2+3+4=9 \right)$. Соответственно, можем сразу разделить $latex 234$ на $latex 6$, записав ее как $latex 3\cdot 2$.

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение – второе:

$latex 3\cdot 2\cdot 3\cdot 13$

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

$latex 3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\cdot 5\cdot 23$

Заметь: мы выписали все кроме $latex 3$, так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

$latex 3\cdot 2\cdot 3\cdot 13\cdot 5\cdot 23=18\cdot 13\cdot 5\cdot 23=18\cdot 65\cdot 23=26910$

$latex НОК\left( 345;234 \right)=26910$

Попробуй самостоятельно найти НОК следующих чисел:

Найти $latex НОК\left( 6240;6800 \right)$

Найти $latex НОК\left( 345;324 \right)$

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

$latex НОК\left( 6240;6800 \right)=530400$

$latex НОК\left( 345;234 \right)=37260$

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК? Мое время – 2 минуты, правда я знаю одну хитрость, которую предлагаю тебе открыть собственноручно.

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все. Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

НОД, НОК. Разложение целых чисел.

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

$latex 10\cdot 4\cdot 2\cdot 10\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 39\cdot 5\cdot 17$

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются $latex 6240$ и $latex 6800$.

Разложение целых чисел.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК), мы можем найти НОК (или НОД) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

$latex 6240\cdot 6800=42432000$

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

$latex 42432000:80=530400$

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

НОК $latex \displaystyle \left( a;\;b \right)\cdot \ $НОД $latex \displaystyle \left( a;\;b \right)=a\cdot b$

Попробуй найти НОД, если известно, что:

$latex НОК\left( 345;\ 234 \right)=26910$

Справился? $latex НОД\left( 345;\ 234 \right)=3$.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Отрицательные числа – «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

$latex -1;\ -2;\ -3;\ -4$ и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из $latex 3$ вычесть $latex 11$ – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас $latex 3-11$), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе — недостачу). Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю — к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского — Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что $latex 0-4=0$. Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда: $latex 6-8$. Число «$latex 8$» положительное, которое вычитается из $latex 6$, или отрицательное, которое суммируется к $latex 6$?… Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.3421342

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция $latex \frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}$

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе «$latex 1$» больше, чем «$latex -1$» верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму $latex 40$ (или $latex 100$) чисел) в 1831 году поставил точку – он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют $latex 1,5$ землекопа, нельзя купить $latex 4,5$ билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике $latex 0$ – особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить $latex 0$, отнять $latex 0$ – ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к «$latex 1$», и полученное число $latex 10$ будет в $latex 10$ раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть $latex 0$, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто – ouden.  Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них «$latex 0$» – составляющая числа $latex 270$.

В Европу ноль также пришел с запозданием — лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль — самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий