Угол между скрещивающимися прямыми. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Угол между скрещивающимися прямыми: случай с пересекающимися прямыми

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Вот, например: прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) скрещиваются. Какой угол между ними?

2

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например \(\displaystyle b\)), нужно провести прямую \(\displaystyle {a}’||a\).

Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве: случай с не пересекающимися прямыми

И тогда угол между \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) будет равен (по определению!) углу между \(\displaystyle {{a}’}\) и \(\displaystyle b\).

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

В кубе \(\displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) найти угол между \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle D{{C}_{1}}\).

Решаем:

Прямые \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle D{{C}_{1}}\) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними. Пользуемся правилом: через точку \(\displaystyle {{C}_{1}}\) проведем прямую \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\). Она будет параллельна \(\displaystyle AC\).

Значит, угол между \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle D{{C}_{1}}\) равен углу между \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) и \(\displaystyle D{{C}_{1}}\). Осталось его найти.

Смотри: \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\), \(\displaystyle {{A}_{1}}D\) и \(\displaystyle D{{C}_{1}}\) — диагонали граней куба, поэтому \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D\), то есть \(\displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D\) — равносторонний.

Поэтому \(\displaystyle \angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^\circ \).

Ответ: \(\displaystyle 60{}^\circ \).

Проверь себя — реши задачи на  угол между скрещивающимися прямыми.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *