Угол между скрещивающимися прямыми. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Угол между скрещивающимися прямыми: случай с пересекающимися прямыми

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Вот, например: прямые $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$ скрещиваются. Какой угол между ними?

2

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например $latex \displaystyle b$), нужно провести прямую $latex \displaystyle {a}’||a$.

Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве: случай с не пересекающимися прямыми

И тогда угол между $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$ будет равен (по определению!) углу между $latex \displaystyle {{a}’}$ и $latex \displaystyle b$.

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

В кубе $latex \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ найти угол между $latex \displaystyle AC$ и $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$.

Решаем:

Прямые $latex \displaystyle AC$ и $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$ не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними. Пользуемся правилом: через точку $latex \displaystyle {{C}_{1}}$ проведем прямую $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$. Она будет параллельна $latex \displaystyle AC$.

Значит, угол между $latex \displaystyle AC$ и $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$ равен углу между $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$. Осталось его найти.

Смотри: $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$, $latex \displaystyle {{A}_{1}}D$ и $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$ — диагонали граней куба, поэтому $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D$, то есть $latex \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D$ — равносторонний.

Поэтому $latex \displaystyle \angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^\circ $.

Ответ: $latex \displaystyle 60{}^\circ $.

Проверь себя — реши задачи на  угол между скрещивающимися прямыми.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий