Скрещивающиеся прямые

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Читай эту статью и всё узнаешь!

Скрещивающиеся прямые – коротко о главном

Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ????) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую ????′, где ????′||????.

Скрещивающиеся прямые – подробнее

Как найти угол, если прямые не пересекаются?

Вот, например: прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) скрещиваются. Какой угол между ними?

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например \( \displaystyle b\)), нужно провести прямую \( \displaystyle {a}’||a\).

И тогда угол между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) будет равен (по определению!) углу между \( \displaystyle {{a}’}\) и \( \displaystyle b\).

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми

В кубе \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) найти угол между \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle D{{C}_{1}}\).

Решаем:

Прямые \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle D{{C}_{1}}\) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.

Пользуемся правилом: через точку \( \displaystyle {{C}_{1}}\) проведем прямую \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\). Она будет параллельна \( \displaystyle AC\).

Значит, угол между \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle D{{C}_{1}}\) равен углу между \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) и \( \displaystyle D{{C}_{1}}\). Осталось его найти.

Смотри: \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\), \( \displaystyle {{A}_{1}}D\) и \( \displaystyle D{{C}_{1}}\) – диагонали граней куба, поэтому \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D\), то есть \( \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D\) – равносторонний.

Поэтому \( \displaystyle \angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^\circ \).

Ответ: \( \displaystyle 60{}^\circ \).

 

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.

ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве

На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии – расстояния и углы в пространстве.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 комментария