Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми

В кубе $\displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ найти угол между $\displaystyle AC$ и $\displaystyle D{{C}_{1}}$.

Решаем:

Прямые $\displaystyle AC$ и $\displaystyle D{{C}_{1}}$ не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.

Пользуемся правилом: через точку $\displaystyle {{C}_{1}}$ проведем прямую $\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$. Она будет параллельна $\displaystyle AC$.

Значит, угол между $\displaystyle AC$ и $\displaystyle D{{C}_{1}}$ равен углу между $\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и $\displaystyle D{{C}_{1}}$. Осталось его найти.

Смотри: $\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$, $\displaystyle {{A}_{1}}D$ и $\displaystyle D{{C}_{1}}$ – диагонали граней куба, поэтому $\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D$, то есть $\displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D$ – равносторонний.

Поэтому $\displaystyle \angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^\circ$.

Ответ: $\displaystyle 60{}^\circ$.