Вписанный четырехугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

При разборе темы «Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вписанный треугольник

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Вписанный четырехугольник Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

На нашем рисунке:

\(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \).

Посмотри, углы \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \(\displaystyle \varphi \) и \(\displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta \) взять углы \(\displaystyle \varphi \) и \(\displaystyle \psi \)?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \(\displaystyle 180{}^\circ \). Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \(\displaystyle 180{}^\circ \). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Вписанный четырехугольник 2

Пусть \(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \(\displaystyle 360{}^\circ \). То есть \(\displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360{}^\circ \) — всегда! \(\displaystyle 180{}^\circ \). Но \(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), →\(\displaystyle \varphi +\psi =360{}^\circ -180{}^\circ =180{}^\circ\).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)

и наоборот:

Если  у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \(\displaystyle 180{}^\circ \), то такой  четырехугольник вписанный.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Параллелограмм. Можно ли описать окружность.

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Параллелограмм

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \(\displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), то есть \(\displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \(\displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

А что же углы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\)? Ну, то же самое конечно.

\(\displaystyle ABCD\) – вписанный → \(\displaystyle \angle A+\angle C=180{}^\circ \) → \(\displaystyle \angle A=90{}^\circ \)

\(\displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \(\displaystyle \angle A=\angle C\) → \(\displaystyle \angle C=90{}^\circ \)

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны \(\displaystyle 90{}^\circ \), то есть это прямоугольник!

Прямоугольник

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вписанная трапеция

Вот пусть трапеция \(\displaystyle ABCD\) вписана в окружность. Тогда опять \(\displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \), но из-за параллельности прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) \(\displaystyle \angle B+\angle A=180{}^\circ \).

Значит, имеем: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \(\displaystyle \angle D=\angle A\) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Вписанная трапеция - равнобедренная

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий