Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:

Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?

Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вписанный четырехугольник – коротко о главном

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

  • Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Вписанный четырехугольник – определения и теоремы

Вот оказывается, что это неправда!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.

Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \)

Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180{}^\circ \). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360{}^\circ \).

То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360{}^\circ \) – всегда! \( \displaystyle 180{}^\circ \)

Но \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), →\( \displaystyle \varphi +\psi =360{}^\circ -180{}^\circ =180{}^\circ\).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Доказательство смотри чуть дальше.

А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Вписанный параллелограмм

Попробуем сперва «методом научного тыка»:

Вот как-то не получается. Теперь применим знание:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?

Ну, то же самое конечно.

\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180{}^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90{}^\circ \)

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90{}^\circ \)

Потрясающе, правда?Получилось, что…

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны \( \displaystyle 90{}^\circ \), то есть это прямоугольник!

И ещё при этом –

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

Вписанная трапеция

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Почему?

Вот пусть трапеция \( \displaystyle ABCD\) вписана в окружность.

Тогда опять \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \), но из-за параллельности прямых \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) \( \displaystyle \angle B+\angle A=180{}^\circ \).

Значит, имеем: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \( \displaystyle \angle D=\angle A\) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  • Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)
  • Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  • Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Мы уже знаем, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, что есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

На нашем рисунке – \( \large\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

«Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

«Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник можно вписать в окружность

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Доказательство 1

Пусть четырехугольник \( \displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Отметим её центр \( \displaystyle O\) и проведём радиусы \( \displaystyle OA\) и \( \displaystyle OC\).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Итак,

\( \displaystyle \angle ABC\) – вписанный \( \displaystyle\Rightarrow \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot \angle \psi \)

\( \displaystyle \angle ADC\) – вписанный \( \displaystyle\Rightarrow \angle ADC=\frac{1}{2}\cdot \angle \varphi \)

Но посмотри: \( \displaystyle \angle \varphi +\angle \psi =360{}^\circ \)

Значит,

\( \displaystyle \begin{array}{l}\angle ABC+\angle ADC=\frac{1}{2}\angle \psi +\frac{1}{2}\angle \varphi =\\=\frac{1}{2}\left( \angle \psi +\angle \varphi \right)=\frac{1}{2}\cdot 360{}^\circ =180{}^\circ \end{array}\)

Получаем, что если \( \displaystyle ABCD\) – вписанный, то

\( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Ну, и ясно, что \( \displaystyle \angle A\) и \( \displaystyle \angle C\) тоже в сумме составляет \( \displaystyle 180{}^\circ \). (нужно так же рассмотреть \( \displaystyle \angle BAD\) и \( \displaystyle \angle BCD\)).

Доказательство 2

Пусть оказалось так, что у четырехугольника \( \displaystyle ABCD\) сумма каких – то двух противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \). Скажем, пусть

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \)

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника \( \displaystyle ABC\) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка \( \displaystyle D\) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка \( \displaystyle D\) – снаружи.

Тогда отрезок \( \displaystyle AD\) пересекает окружность в какой-то точке \( \displaystyle E\). Соединим \( \displaystyle C\) и \( \displaystyle E\).

Получился вписанный (!) четырехугольник \( \displaystyle ABCE\).

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \), а по условию у нас \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Получается, что должно бы быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \)

Но это никак не может быть поскольку \( \displaystyle \angle \gamma \) – внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \gamma =\angle \beta +\angle \delta \)

А внутри?

Проделаем похожие действия. Пусть точка \( \displaystyle D\) внутри.

Тогда продолжение отрезка \( \displaystyle AD\) пересекает окружность в точке \( \displaystyle E\).

Снова \( \displaystyle ABCE\) – вписанный четырехугольник \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \).

А по условию \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ\quad \Rightarrow \) должно выполняться \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \), но \( \displaystyle \angle \beta \) – внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta \).

То есть опять никак не может быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

То есть точка \( \displaystyle D\) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1. Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Тогда должно выполняться \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что \( \displaystyle \angle B=\angle D\).

То есть

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B=\angle D\end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

И то же самое, естественно, касательно углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Вот и получился прямоугольник – все углы по \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

\( \displaystyle \angle B=90{}^\circ \Rightarrow AC\) – диаметр,

\( \displaystyle \angle A=90{}^\circ \Rightarrow BD\) – диаметр

а значит, \( \displaystyle O\) – центр. Вот и всё.

Следствие 2. Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Докажем?

Пусть трапеция \( \displaystyle ABCD\) вписана в окружность. Тогда \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но \( \displaystyle AD\parallel BC \Rightarrow \angle B+\angle A=180{}^\circ \)

То есть…

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\) \( \displaystyle \Rightarrow \angle D=\angle A\). И так же \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

“Секретный” способ распознавания вписанного четырехугольника

Всё ли мы обсудили?

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону \( \displaystyle AD\) из точек \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle D\).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«\( \displaystyle \angle ABD=\angle ACD\Rightarrow ABCD\) – вписанный» – и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Нам нужна твоя помощь!

Ну вот, мы рассказали тебе всё о вписанном четырехугольнике.

Особенно тебе эти знания понадобятся в задачах повышенной сложности. Например, в ОГЭ долгое время была задача про трапецию.

Ты теперь знаешь намного больше, чем рассказывают в школах.

И я очень надеюсь, что однажды эти знания тебе пригодятся!

Напиши ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Как думаешь, какой момент тут самый важный?

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ольга
    01 апреля 2019
    Спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

    Лариса
    28 ноября 2019
    Супер, ты классный!! Лариса, 70 лет, помогаю внуку. Большое спасибо. Как говорил Г.Сковорода : “Дурный не той, хто не знае, а той, хто не хоче знаты” (Прошу прощения за вольный украинский, но это оригинал)

    Михаил Сергеевич Сычёв
    21 апреля 2020
    Грамотно все расписано и разложено по полочкам