18 июля

1 comments

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ – 2021)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

На нашем рисунке:

\( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \)

Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180{}^\circ \). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360{}^\circ \).

То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360{}^\circ \) - всегда! \( \displaystyle 180{}^\circ \)

Но \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), →\( \displaystyle \varphi +\psi =360{}^\circ -180{}^\circ =180{}^\circ\).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Попробуем сперва «методом тыка»:

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?

Ну, то же самое конечно.

\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180{}^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90{}^\circ \)

\( \displaystyle ABCD\) - параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90{}^\circ \)

Потрясающе, правда? Получилось, что…

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны \( \displaystyle 90{}^\circ \), то есть это прямоугольник!

И ещё при этом –

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Почему?

Вот пусть трапеция \( \displaystyle ABCD\) вписана в окружность.

Тогда опять \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \), но из-за параллельности прямых \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) \( \displaystyle \angle B+\angle A=180{}^\circ \).

Значит, имеем: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\) → \( \displaystyle \angle D=\angle A\) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  • Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)
  • Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  • Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?

Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

На нашем рисунке – \( \large\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

  1. 1
    «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)
  2. 2
    «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник можно вписать в окружность

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

 

Пусть четырехугольник \( \displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Отметим её центр \( \displaystyle O\) и проведём радиусы \( \displaystyle OA\) и \( \displaystyle OC\).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Итак,

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle \angle ABC\) - вписанный \( \displaystyle\Rightarrow \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot \angle \psi \)

\( \displaystyle \angle ADC\) - вписанный \( \displaystyle\Rightarrow \angle ADC=\frac{1}{2}\cdot \angle \varphi \)

Но посмотри: \( \displaystyle \angle \varphi +\angle \psi =360{}^\circ \)

Значит,

\( \displaystyle \begin{array}{l}\angle ABC+\angle ADC=\frac{1}{2}\angle \psi +\frac{1}{2}\angle \varphi =\\=\frac{1}{2}\left( \angle \psi +\angle \varphi \right)=\frac{1}{2}\cdot 360{}^\circ =180{}^\circ \end{array}\)

Получаем, что если \( \displaystyle ABCD\) – вписанный, то

\( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Ну, и ясно, что \( \displaystyle \angle A\) и \( \displaystyle \angle C\) тоже в сумме составляет \( \displaystyle 180{}^\circ \). (нужно так же рассмотреть \( \displaystyle \angle BAD\) и \( \displaystyle \angle BCD\)).

Пусть оказалось так, что у четырехугольника \( \displaystyle ABCD\) сумма каких – то двух противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \). Скажем, пусть

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \)

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника \( \displaystyle ABC\) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка \( \displaystyle D\) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка \( \displaystyle D\) – снаружи.

Тогда отрезок \( \displaystyle AD\) пересекает окружность в какой-то точке \( \displaystyle E\). Соединим \( \displaystyle C\) и \( \displaystyle E\).

Получился вписанный (!) четырехугольник \( \displaystyle ABCE\).

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \), а по условию у нас \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Получается, что должно бы быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \)

Но это никак не может быть поскольку \( \displaystyle \angle \gamma \) – внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \gamma =\angle \beta +\angle \delta \)

А внутри?

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Проделаем похожие действия. Пусть точка \( \displaystyle D\) внутри.

Тогда продолжение отрезка \( \displaystyle AD\) пересекает окружность в точке \( \displaystyle E\).

Снова \( \displaystyle ABCE\) – вписанный четырехугольник \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \).

А по условию \( \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ\quad \Rightarrow \) должно выполняться \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \), но \( \displaystyle \angle \beta \) - внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta \).

То есть опять никак не может быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

То есть точка \( \displaystyle D\) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Тогда должно выполняться \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что \( \displaystyle \angle B=\angle D\).

То есть

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B=\angle D\end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

И то же самое, естественно, касательно углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Вот и получился прямоугольник – все углы по \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

\( \displaystyle \angle B=90{}^\circ \Rightarrow AC\) - диаметр,

\( \displaystyle \angle A=90{}^\circ \Rightarrow BD\) - диаметр

а значит, \( \displaystyle O\) – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Докажем?

Доказательство следствия 2

Пусть трапеция \( \displaystyle ABCD\) вписана в окружность. Тогда \( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но \( \displaystyle AD\parallel BC \Rightarrow \angle B+\angle A=180{}^\circ \)

То есть

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\) \( \displaystyle \Rightarrow \angle D=\angle A\). И так же \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

Всё ли мы обсудили?

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Итак:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону \( \displaystyle AD\) из точек \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle D\).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«\( \displaystyle \angle ABD=\angle ACD\Rightarrow ABCD\) - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.


Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Нам нужна твоя помощь!

Ну вот, мы рассказали тебе всё о вписанном четырехугольнике.

Особенно тебе эти знания понадобятся в задачах повышенной сложности. Например, в ОГЭ долгое время была задача про трапецию.

Ты теперь знаешь намного больше, чем рассказывают в школах.

И я очень надеюсь, что однажды эти знания тебе пригодятся!

Напиши ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Как думаешь, какой момент тут самый важный?

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ольга
    01 апреля 2019
    Спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

    Лариса
    28 ноября 2019
    Супер, ты классный!! Лариса, 70 лет, помогаю внуку. Большое спасибо. Как говорил Г.Сковорода : «Дурный не той, хто не знае, а той, хто не хоче знаты» (Прошу прощения за вольный украинский, но это оригинал)

    Михаил Сергеевич Сычёв
    21 апреля 2020
    Грамотно все расписано и разложено по полочкам

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >