Замена переменных. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

Метод замены переменной и его разновидности

Рассмотрим \(\displaystyle 3\) основных вида замен переменных.

Степенная замена

Степенная замена: \(\displaystyle y={{x}^{n}}\).

Допустим, у нас есть выражение: \(\displaystyle {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-36=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную \(\displaystyle t={{x}^{2}}\).

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной \(\displaystyle x\) не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – \(\displaystyle t\).

Наше выражение приобретет вид:

\(\displaystyle {{t}^{2}}-5t-36=0\) – обычное квадратное уравнение

\(\displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=25-4\cdot 1\cdot \left( -36 \right)=25+144=169\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{169}=13\)

\(\displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{5+13}{2}=9\)

\(\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{5-13}{2}=-4\)

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной \(\displaystyle x\), а мы нашли только \(\displaystyle t\).

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену — вместо \(\displaystyle t\) ставим \(\displaystyle {{x}^{2}}\). Далее найдем

\(\displaystyle {{x}^{2}}=9\)

\(\displaystyle {{x}^{2}}=-4\)

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При \(\displaystyle {{x}^{2}}=9\) у нас будет два корня:

\(\displaystyle {{x}_{1}}=3\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=-3\)

А что у нас будет при \(\displaystyle {{x}^{2}}=-4\)? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при \(\displaystyle {{x}^{2}}=-4\) у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть \(\displaystyle x\), которые существуют:

Ответ: \(\displaystyle 3\);\(\displaystyle -3\)

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении \(\displaystyle 3{{x}^{6}}-7{{x}^{3}}+2=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную \(\displaystyle t={{x}^{3}}\).

Наше выражение приобретет вид:

\(\displaystyle 3{{t}^{2}}-7t+2=0\) – обычное квадратное уравнение

\(\displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=49-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{25}=5\)

\(\displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{7+5}{6}=2\)

\(\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену — вместо \(\displaystyle t\) ставим \(\displaystyle {{x}^{3}}\)

\(\displaystyle {{x}^{3}}=2\)

\(\displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\)

Оба значения \(\displaystyle {{x}^{3}}\) имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При \(\displaystyle {{x}^{3}}=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}\)

При \(\displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[3]{2};\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Больше задач — после регистрации.

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена — \(\displaystyle y=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)},~{{P}_{n}}\left( x \right)~и~{{Q}_{m}}\left( x \right)~\) многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения \(\displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\ne 0\) (так как на ноль делить нельзя).

Приведем пример.

Допустим, у нас есть уравнение:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{3}{x}=14\)

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: \(\displaystyle x\ne 0\)

Сгруппируем слагаемые:

\(\displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{3}{x} \right)-14=0\)

Введем новую переменную \(\displaystyle t\).

Пусть \(\displaystyle t=x+\frac{3}{x}\), тогда

\(\displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{3}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}+2x\cdot \frac{3}{x}\)

Сравни, что дает возведение \(\displaystyle t\) в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

метод замены переменной

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной \(\displaystyle t\).

\(\displaystyle 2{x}\cdot \frac{3}{{x}}=6\)

В итоге мы получаем следующее выражение:

\(\displaystyle {{t}^{2}}-6-t-14=0\) – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

\(\displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-20=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\(\text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\)

\(\sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\)

\({{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\({{t}_{1}}=\frac{1+9}{2}=5\)

\({{t}_{2}}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)

Как мы помним \(t\), не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}=5;\\x+\frac{3}{x}=-4.\end{array} \right.\)

Приводя к общему знаменателю \(\displaystyle x\), мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x+3=0;\\{{x}^{2}}+4x+3=0.\end{array} \right.\)

Решим первое квадратное уравнение:

\(\displaystyle {{x}^{2}}-5{x}+3=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=25-4\cdot 3=25-12=13\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{13}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)

На этой стадии не забываем про ОДЗ. Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

\(\displaystyle {{{x}}^{2}}+4x+3=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=16-4\cdot 3=16-12=4\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{4}=2\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-4\pm 2}{2}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{-4+2}{2}=-1\)

\(\displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{-4-2}{2}=-3\)

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ: \(\displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{5-\sqrt{13}}{2};-1;-3\)

У тебя получился такой же? Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

\(\displaystyle \frac{5}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}-{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}-4=0\)

Какой ответ у тебя получился? У меня \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 3\).

Сравним ход решения:

Пусть \(\displaystyle t=\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}\), тогда выражение приобретает вид:

\(\displaystyle 5t-\frac{1}{{t}}-4=0\)

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1}{\text{t}}=0\)

Не забываем про ОДЗ — \(\displaystyle t\ne 0\)!!!!!

Решаем квадратное уравнение:

\(\displaystyle 5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=16-4\cdot 5\cdot \left( -1 \right)=16+20=36\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{36}=6\)

\(\displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\(\displaystyle {{\text{t}}_{1,2}}=\frac{4\pm 6}{2\cdot 5}\)

\(\displaystyle {{\text{t}}_{1}}=\frac{4+6}{10}=1\)

\(\displaystyle {{\text{t}}_{2}}=\frac{4-6}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}\)

Как ты помнишь, \(\displaystyle t\) не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1;\\\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\(\displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{x}-2=1;\\{x}-2=-1;\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3;\\x=1.\end{array} \right.\)

Решением первого уравнения являются корни \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 3\).

Решим второе уравнение:

\(\displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\)

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! \(\displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\) – число положительное, \(\displaystyle {{\left( {x}-2 \right)}^{2}}\) — тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ: \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 3\)

Больше задач — после регистрации.

Замена многочлена

Замена многочлена \(\displaystyle y={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \(\displaystyle y=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\). Здесь \(\displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~\) — многочлена степени \(\displaystyle n\), например, выражение \(\displaystyle 12{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1\) – многочлен степени \(\displaystyle 3\).

Допустим, у нас есть пример:

\(\displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+3 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+4 \right)=20\)

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за \(\displaystyle t\)? Правильно, \(\displaystyle t={{{x}}^{2}}-4{x}+3\). Уравнение приобретает вид:

\(\displaystyle {t}\cdot \left( {t}+1 \right)=20\)

\(\displaystyle {{{t}}^{2}}+{t}-20=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\)

\(\displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\(\displaystyle {{{t}}_{1,2}}=\frac{-1\pm 9}{2}\)

\(\displaystyle {{{t}}_{1}}=\frac{-1+9}{2}=4\)

\(\displaystyle {{{t}}_{2}}=\frac{-1-9}{2}=-5\)

Производим обратную замену переменных:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4x+3=4;\\{{{x}}^{2}}-4x+3=-5;\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4{x}-1=0;\\{{{x}}^{2}}-4x+8=0;\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\(\displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}-1=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=16-4\cdot \left( -1 \right)=16+4=20\)

\(\displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 4}=2\sqrt{5}\)

\(\displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}\)

\(\displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\)

Решим второе уравнение:

\(\displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}+8=0\)

\(\displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\(\displaystyle \text{D}=16-4\cdot 8=16-32=-26\)

\(\displaystyle \text{D}<0\)… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа — \(\displaystyle 2+\sqrt{5}\); \(\displaystyle 2-\sqrt{5}\).

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

\(\displaystyle \left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5 \right)\left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+6 \right)=2\)

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За \(\displaystyle t\) нужно взять \(\displaystyle 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5\).

Мы получаем выражение:

\(\displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}+1 \right)=2\)

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что \(t\) имеет два корня: \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 1\).

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 3,5\)

Решением второго квадратного уравнения \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 8\).

Ответ: \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 3,5\); \(\displaystyle 8\)

Больше задач — после регистрации.

Подведем итоги.

Метод замены переменной имеет \(\displaystyle 3\) основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за \(\displaystyle t\) мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за \(\displaystyle t\) мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за \(\displaystyle t\) мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Тренировка.

Задачи:

1. \(\displaystyle {{{x}}^{6}}-3{{{x}}^{3}}-4=0\)

2. \(\displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+7 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+6 \right)=12\)

3. \(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{4}{x}=12\)

Ответы:

1. Пусть \(\displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), тогда выражение приобретает вид \(\displaystyle {{t}^{3}}-3\text{t}-4=0\).

Так как \(\displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), то может быть как положительным, так и отрицательным.

\(\displaystyle {{\text{t}}_{1}}=1\), \(\displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-8\)

\(\displaystyle {{x}_{1}}=1\), \(\displaystyle {{{x}}_{2}}=-2\)

Ответ: \(\displaystyle -2;\text{ }-8\)

2. Пусть \(\displaystyle \text{t}={{{x}}^{2}}-4{x}+7\), тогда выражение приобретает вид \(\displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}-1 \right)=12\).

\(\displaystyle {{\text{t}}_{1}}=4\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=3.\)

\(\displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-3\Rightarrow \) решения нет, так как \(\displaystyle D<0\).

Ответ: \(\displaystyle 1;3\)

3. Группировкой получаем:

\(\displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{4}{x} \right)-12=0\)

Пусть \(\displaystyle \text{t}=x+\frac{4}{x}\), тогда выражение приобретает вид
\(\displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-8-12=0\Rightarrow {{t}^{2}}-t-20=0.\).

\(\displaystyle {{\text{t}}_{1}}=5\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=4.\)

\(\displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-4\Rightarrow {{x}_{1}}=-2\)

Ответ: \(\displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4.\)

Проверь себя — реши задачи на замену переменных.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий