Замена переменных. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

Метод замены переменной и его разновидности

Рассмотрим $latex \displaystyle 3$ основных вида замен переменных.

Степенная замена

Степенная замена: $latex \displaystyle y={{x}^{n}}$.

Допустим, у нас есть выражение: $latex \displaystyle {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-36=0$.

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную $latex \displaystyle t={{x}^{2}}$.

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной $latex \displaystyle x$ не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – $latex \displaystyle t$.

Наше выражение приобретет вид:

$latex \displaystyle {{t}^{2}}-5t-36=0$ – обычное квадратное уравнение

$latex \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 1\cdot \left( -36 \right)=25+144=169$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{169}=13$

$latex \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{5+13}{2}=9$

$latex \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{5-13}{2}=-4$

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной $latex \displaystyle x$, а мы нашли только $latex \displaystyle t$.

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену — вместо $latex \displaystyle t$ ставим $latex \displaystyle {{x}^{2}}$. Далее найдем

$latex \displaystyle {{x}^{2}}=9$

$latex \displaystyle {{x}^{2}}=-4$

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При $latex \displaystyle {{x}^{2}}=9$ у нас будет два корня:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=3$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=-3$

А что у нас будет при $latex \displaystyle {{x}^{2}}=-4$? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при $latex \displaystyle {{x}^{2}}=-4$ у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть $latex \displaystyle x$, которые существуют:

Ответ: $latex \displaystyle 3$;$latex \displaystyle -3$

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении $latex \displaystyle 3{{x}^{6}}-7{{x}^{3}}+2=0$.

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную $latex \displaystyle t={{x}^{3}}$.

Наше выражение приобретет вид:

$latex \displaystyle 3{{t}^{2}}-7t+2=0$ – обычное квадратное уравнение

$latex \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=49-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{25}=5$

$latex \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{7+5}{6}=2$

$latex \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену — вместо $latex \displaystyle t$ ставим $latex \displaystyle {{x}^{3}}$

$latex \displaystyle {{x}^{3}}=2$

$latex \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}$

Оба значения $latex \displaystyle {{x}^{3}}$ имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При $latex \displaystyle {{x}^{3}}=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}$

При $latex \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Ответ: $latex \displaystyle \sqrt[3]{2};\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Больше задач — после регистрации.

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена — $latex \displaystyle y=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)},~{{P}_{n}}\left( x \right)~и~{{Q}_{m}}\left( x \right)~$ многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения $latex \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\ne 0$ (так как на ноль делить нельзя).

Приведем пример.

Допустим, у нас есть уравнение:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{3}{x}=14$

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: $latex \displaystyle x\ne 0$

Сгруппируем слагаемые:

$latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{3}{x} \right)-14=0$

Введем новую переменную $latex \displaystyle t$.

Пусть $latex \displaystyle t=x+\frac{3}{x}$, тогда

$latex \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{3}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}+2x\cdot \frac{3}{x}$

Сравни, что дает возведение $latex \displaystyle t$ в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

метод замены переменной

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной $latex \displaystyle t$.

$latex \displaystyle 2{x}\cdot \frac{3}{{x}}=6$

В итоге мы получаем следующее выражение:

$latex \displaystyle {{t}^{2}}-6-t-14=0$ – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

$latex \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-20=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}$

$latex \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81$

$latex \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9$

$latex {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$latex {{t}_{1}}=\frac{1+9}{2}=5$

$latex {{t}_{2}}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4$

Как мы помним $latex t$, не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}=5;\\x+\frac{3}{x}=-4.\end{array} \right.$

Приводя к общему знаменателю $latex \displaystyle x$, мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x+3=0;\\{{x}^{2}}+4x+3=0.\end{array} \right.$

Решим первое квадратное уравнение:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5{x}+3=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 3=25-12=13$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{13}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$

На этой стадии не забываем про ОДЗ. Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

$latex \displaystyle {{{x}}^{2}}+4x+3=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 3=16-12=4$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{4}=2$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-4\pm 2}{2}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{-4+2}{2}=-1$

$latex \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{-4-2}{2}=-3$

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ: $latex \displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{5-\sqrt{13}}{2};-1;-3$

У тебя получился такой же? Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

$latex \displaystyle \frac{5}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}-{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}-4=0$

Какой ответ у тебя получился? У меня $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle 3$.

Сравним ход решения:

Пусть $latex \displaystyle t=\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}$, тогда выражение приобретает вид:

$latex \displaystyle 5t-\frac{1}{{t}}-4=0$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$latex \displaystyle \frac{5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1}{\text{t}}=0$

Не забываем про ОДЗ — $latex \displaystyle t\ne 0$!!!!!

Решаем квадратное уравнение:

$latex \displaystyle 5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 5\cdot \left( -1 \right)=16+20=36$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{36}=6$

$latex \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}$

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{1,2}}=\frac{4\pm 6}{2\cdot 5}$

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=\frac{4+6}{10}=1$

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=\frac{4-6}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}$

Как ты помнишь, $latex \displaystyle t$ не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1;\\\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\end{array} \right.$

Решим первое уравнение:

$latex \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{x}-2=1;\\{x}-2=-1;\end{array} \right.$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3;\\x=1.\end{array} \right.$

Решением первого уравнения являются корни $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle 3$.

Решим второе уравнение:

$latex \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}$

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! $latex \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}$ – число положительное, $latex \displaystyle {{\left( {x}-2 \right)}^{2}}$ — тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ: $latex \displaystyle 1$; $latex \displaystyle 3$

Больше задач — после регистрации.

Замена многочлена

Замена многочлена $latex \displaystyle y={{P}_{n}}\left( x \right)$ или $latex \displaystyle y=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}$. Здесь $latex \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~$ — многочлена степени $latex \displaystyle n$, например, выражение $latex \displaystyle 12{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ – многочлен степени $latex \displaystyle 3$.

Допустим, у нас есть пример:

$latex \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+3 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+4 \right)=20$

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за $latex \displaystyle t$? Правильно, $latex \displaystyle t={{{x}}^{2}}-4{x}+3$. Уравнение приобретает вид:

$latex \displaystyle {t}\cdot \left( {t}+1 \right)=20$

$latex \displaystyle {{{t}}^{2}}+{t}-20=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9$

$latex \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}$

$latex \displaystyle {{{t}}_{1,2}}=\frac{-1\pm 9}{2}$

$latex \displaystyle {{{t}}_{1}}=\frac{-1+9}{2}=4$

$latex \displaystyle {{{t}}_{2}}=\frac{-1-9}{2}=-5$

Производим обратную замену переменных:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4x+3=4;\\{{{x}}^{2}}-4x+3=-5;\end{array} \right.$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4{x}-1=0;\\{{{x}}^{2}}-4x+8=0;\end{array} \right.$

Решим первое уравнение:

$latex \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}-1=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=16-4\cdot \left( -1 \right)=16+4=20$

$latex \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 4}=2\sqrt{5}$

$latex \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}$

$latex \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}$

Решим второе уравнение:

$latex \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}+8=0$

$latex \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}$

$latex \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 8=16-32=-26$

$latex \displaystyle \text{D}<0$… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа — $latex \displaystyle 2+\sqrt{5}$; $latex \displaystyle 2-\sqrt{5}$.

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

$latex \displaystyle \left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5 \right)\left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+6 \right)=2$

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За $latex \displaystyle t$ нужно взять $latex \displaystyle 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5$.

Мы получаем выражение:

$latex \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}+1 \right)=2$

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что $latex t$ имеет два корня: $latex \displaystyle -2$ и $latex \displaystyle 1$.

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle 3,5$

Решением второго квадратного уравнения $latex \displaystyle -1$ и $latex \displaystyle 8$.

Ответ: $latex \displaystyle 1$; $latex \displaystyle 3,5$; $latex \displaystyle 8$

Больше задач — после регистрации.

Подведем итоги.

Метод замены переменной имеет $latex \displaystyle 3$ основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за $latex \displaystyle t$ мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за $latex \displaystyle t$ мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за $latex \displaystyle t$ мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Тренировка.

Задачи:

1. $latex \displaystyle {{{x}}^{6}}-3{{{x}}^{3}}-4=0$

2. $latex \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+7 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+6 \right)=12$

3. $latex \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{4}{x}=12$

Ответы:

1. Пусть $latex \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}$, тогда выражение приобретает вид $latex \displaystyle {{t}^{3}}-3\text{t}-4=0$.

Так как $latex \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}$, то может быть как положительным, так и отрицательным.

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=1$, $latex \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-8$

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=1$, $latex \displaystyle {{{x}}_{2}}=-2$

Ответ: $latex \displaystyle -2;\text{ }-8$

2. Пусть $latex \displaystyle \text{t}={{{x}}^{2}}-4{x}+7$, тогда выражение приобретает вид $latex \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}-1 \right)=12$.

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=4\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=3.$

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-3\Rightarrow $ решения нет, так как $latex \displaystyle D<0$.

Ответ: $latex \displaystyle 1;3$

3. Группировкой получаем:

$latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{4}{x} \right)-12=0$

Пусть $latex \displaystyle \text{t}=x+\frac{4}{x}$, тогда выражение приобретает вид
$latex \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-8-12=0\Rightarrow {{t}^{2}}-t-20=0.$.

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=5\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=4.$

$latex \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-4\Rightarrow {{x}_{1}}=-2$

Ответ: $latex \displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4.$

Проверь себя — реши задачи на замену переменных.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий