Замена переменных в уравнениях (ЕГЭ 2022)

Метод замены переменных… Что это за зверь?

Это хитрый способ сначала сделать сложное уравнение простым (с помощью замены переменных) и потом быстро с ним разделаться.

Есть три способа замены переменной.

Читай эту статью — ты все поймешь!

Замена переменных – коротко о главном

Определение:

Замена переменных – метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Виды замены переменной:

Степенная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень: \( \displaystyle t={{x}^{n}}\).

Дробно-рациональная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную: \( \displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}\), где \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) и \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)~\) – многочлены степеней n и m, соответственно.

Замена многочлена: за \( \displaystyle t\) принимается целое выражение, содержащее неизвестное: \( \displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\), где \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~\) – многочлен степени \( \displaystyle n\).

Обратная замена:

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Степенная замена \( \displaystyle y={{x}^{n}}\)

Решение примера №1

Допустим, у нас есть выражение: \( \displaystyle {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-36=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную \( \displaystyle t={{x}^{2}}\).

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной \( \displaystyle x\) не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – \( \displaystyle t\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-5t-36=0\) – обычное квадратное уравнение

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 1\cdot \left( -36 \right)=25+144=169\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{169}=13\) \( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\) \( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{5+13}{2}=9\) \( \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{5-13}{2}=-4\)

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной \( \displaystyle x\), а мы нашли только \( \displaystyle t\).

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену – вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle {{x}^{2}}\).

Далее найдем

\( \displaystyle {{x}^{2}}=9\) \( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\)

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При \( \displaystyle {{x}^{2}}=9\) у нас будет два корня:

\( \displaystyle {{x}_{1}}=3\) \( \displaystyle {{x}_{2}}=-3\)

А что у нас будет при \( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\)?

Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при \( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\) у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть \( \displaystyle x\), которые существуют:

Ответ: \( \displaystyle 3\);\( \displaystyle -3\)

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:

  • Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  • Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
  • При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Решение примера №2

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении \( \displaystyle 3{{x}^{6}}-7{{x}^{3}}+2=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную \( \displaystyle t={{x}^{3}}\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle 3{{t}^{2}}-7t+2=0\) – обычное квадратное уравнение

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=49-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{25}=5\) \( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\) \( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{7+5}{6}=2\) \( \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену: вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle {{x}^{3}}\)

\( \displaystyle {{x}^{3}}=2\) \( \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\)

Оба значения \( \displaystyle {{x}^{3}}\) имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При \( \displaystyle {{x}^{3}}=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}\)

При \( \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]{2};\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Степенная замена в общем виде

\( \displaystyle y={{x}^{n}}\)

Например, с помощью замены \( \displaystyle t={{x}^{2}}\) биквадратное уравнение \( \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0,\text{ }a\ne 0\) приводится к квадратному: \( \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c=0\).

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве \( \displaystyle a{{x}^{6}}+b{{x}^{3}}+c\ge \text{0}\) сделаем замену \( \displaystyle t={{x}^{3}}\), и получим квадратное неравенство: \( \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c\ge \text{0}\).

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена – \( \displaystyle y=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)},~{{P}_{n}}\left( x \right)~и~{{Q}_{m}}\left( x \right)~\) многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\ne 0\) (так как на ноль делить нельзя).

Решение примера №3

Допустим, у нас есть уравнение:

\( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{3}{x}=14\)

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: \( \displaystyle x\ne 0\)

Сгруппируем слагаемые:

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{3}{x} \right)-14=0\)

Введем новую переменную \( \displaystyle t\).

Пусть \( \displaystyle t=x+\frac{3}{x}\), тогда

\( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{3}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}+2x\cdot \frac{3}{x}\)

Сравни, что дает возведение \( \displaystyle t\) в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых.

Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной \( \displaystyle t\).

\( \displaystyle 2{x}\cdot \frac{3}{{x}}=6\)

В итоге мы получаем следующее выражение:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-6-t-14=0\) – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

\( \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-20=0\) \( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\) \( \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\) \( \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\) \( {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\) \( {{t}_{1}}=\frac{1+9}{2}=5\) \( {{t}_{2}}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)

Как мы помним \( t\), не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}=5;\\x+\frac{3}{x}=-4.\end{array} \right.\)

Приводя к общему знаменателю \( \displaystyle x\), мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x+3=0;\\{{x}^{2}}+4x+3=0.\end{array} \right.\)

Решим первое квадратное уравнение:

\( \displaystyle {{x}^{2}}-5{x}+3=0\) \( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 3=25-12=13\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{13}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\) \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)

На этой стадии не забываем про ОДЗ.

Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}+4x+3=0\) \( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 3=16-12=4\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{4}=2\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-4\pm 2}{2}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{-4+2}{2}=-1\) \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{-4-2}{2}=-3\)

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ: \( \displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{5-\sqrt{13}}{2};-1;-3\)

У тебя получился такой же?

Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

Решение пример №4

\( \displaystyle \frac{5}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}-{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}-4=0\)

Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Сравним ход решения:

Пусть \( \displaystyle t=\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}\), тогда выражение приобретает вид:

\( \displaystyle 5t-\frac{1}{{t}}-4=0\)

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

\( \displaystyle \frac{5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1}{\text{t}}=0\)

Не забываем про ОДЗ – \( \displaystyle t\ne 0\)!!!!!

Решаем квадратное уравнение:

\( \displaystyle 5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1=0\) \( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 5\cdot \left( -1 \right)=16+20=36\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{36}=6\) \( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\) \( \displaystyle {{\text{t}}_{1,2}}=\frac{4\pm 6}{2\cdot 5}\) \( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=\frac{4+6}{10}=1\) \( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=\frac{4-6}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}\)

Как ты помнишь, \( \displaystyle t\) не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1;\\\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1\) \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{x}-2=1;\\{x}-2=-1;\end{array} \right.\) \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3;\\x=1.\end{array} \right.\)

Решением первого уравнения являются корни \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Решим второе уравнение:

\( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\)

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! \( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\) – число положительное, \( \displaystyle {{\left( {x}-2 \right)}^{2}}\) – тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ: \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3\)

Дробно-рациональная замена в общем виде

\( \displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}\)

\( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) и \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\) − многочлены степеней \( \displaystyle n\) и \( \displaystyle m\) соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

\( \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+a=0,\text{ }a\ne 0\),

обычно используется замена \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что \( \displaystyle x=0\) не является корнем этого уравнения: ведь если подставить \( \displaystyle x=0\) в уравнение, получим \( \displaystyle a=0\), что противоречит условию.

Разделим уравнение на \( \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{{{x}^{2}}}=0\).

Перегруппируем:

\( \displaystyle a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\).

Теперь делаем замену: \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

\( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\)

Отсюда следует, что \( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2={{t}^{2}}-2\).

Вернемся к нашему уравнению:

\( \displaystyle \begin{array}{l}a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }a\left( {{t}^{2}}-2 \right)+bt+c=0\text{ }\Leftrightarrow \\a{{t}^{2}}+bt+c-2a=0\end{array}\)

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Замена многочлена

Замена многочлена \( \displaystyle y={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle y=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\).

Здесь \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~\) – многочлена степени \( \displaystyle n\), например, выражение \( \displaystyle 12{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 3\).

Решение примера №4

\( \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+3 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+4 \right)=20\)

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за \( \displaystyle t\)?

Правильно, \( \displaystyle t={{{x}}^{2}}-4{x}+3\).

Уравнение приобретает вид:

\( \displaystyle {t}\cdot \left( {t}+1 \right)=20\) \( \displaystyle {{{t}}^{2}}+{t}-20=0\) \( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\) \( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\) \( \displaystyle {{{t}}_{1,2}}=\frac{-1\pm 9}{2}\) \( \displaystyle {{{t}}_{1}}=\frac{-1+9}{2}=4\) \( \displaystyle {{{t}}_{2}}=\frac{-1-9}{2}=-5\)

Производим обратную замену переменных:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4x+3=4;\\{{{x}}^{2}}-4x+3=-5;\end{array} \right.\) \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4{x}-1=0;\\{{{x}}^{2}}-4x+8=0;\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}-1=0\) \( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot \left( -1 \right)=16+4=20\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 4}=2\sqrt{5}\) \( \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}\) \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\)

Решим второе уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}+8=0\) \( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 8=16-32=-16\)

\( \displaystyle \text{D}<0\)… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа – \( \displaystyle 2+\sqrt{5}\); \( \displaystyle 2-\sqrt{5}\).

Понял, как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно.

Решение примера №5

\( \displaystyle \left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5 \right)\left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+6 \right)=2\)

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За \( \displaystyle t\) нужно взять \( \displaystyle 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5\).

Мы получаем выражение:

\( \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}+1 \right)=2\)

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что \( t\) имеет два корня: \( \displaystyle -2\) и \( \displaystyle 1\).

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3,5\)

Решением второго квадратного уравнения – числа \( \displaystyle 0,5\) и \( \displaystyle 4\).

Ответ: \( \displaystyle 0,5\); \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3,5\); \( \displaystyle 4\)

Замена многочлена в общем виде

\( \displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\).

Здесь \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) − многочлен степени \( \displaystyle n\), т.е. выражение вида

\( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+…+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}},\text{ }{{a}_{0}}\ne 0\)

(например, выражение \( \displaystyle 4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 4\), то есть \( \displaystyle {{P}_{4}}\left( x \right)\)).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: \( \displaystyle t=a{{x}^{2}}+bx+c\) или \( \displaystyle t=\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}\).

Подведем итоги

Метод замены переменной имеет \( \displaystyle 3\) основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

Степенная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

Замена многочлена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

Дробно-рациональная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной

  • Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  • Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
  • При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.
  • Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Разбор 3 примеров на замену переменных

 Пример 6. \( \displaystyle {{{x}}^{6}}+7{{{x}}^{3}}-8=0\)

Пример 7. \( \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+7 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+6 \right)=12\)  

 Пример 8. \( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{4}{x}=12\)

Решение примера №6

Пусть \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle {{t}^{2}}+7\text{t}-8=0\).

Так как \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), то может быть как положительным, так и отрицательным.

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=1\), \( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-8\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=1\), \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=-2\)

Ответ: \( \displaystyle -2;\text{ }1\)

Решение примера №7

Пусть \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{2}}-4{x}+7\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}-1 \right)=12\).

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=4\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=3.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-3\Rightarrow \) решения нет, так как \( \displaystyle D<0\).

Ответ: \( \displaystyle 1;3\)

Решение примера №8

Группировкой получаем:

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{4}{x} \right)-12=0\)

Пусть \( \displaystyle \text{t}=x+\frac{4}{x}\), тогда выражение приобретает вид
\( \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-8-12=0\Rightarrow {{t}^{2}}-t-20=0.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=5\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=4.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-4\Rightarrow {{x}_{1}}=-2\)

Ответ\( \displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4.\)

Тренировка решения более сложных задач

Решение примера №9 (степенная замена)

\( \displaystyle \frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение \( \displaystyle 6\) степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: \( \displaystyle t={{x}^{3}}\). Тогда \( \displaystyle {{x}^{6}}={{t}^{2}}\):

\( \displaystyle \begin{array}{c}\frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\text{ }\underset{t={{x}^{3}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }\\\frac{2+t}{{{t}^{2}}+6}=\frac{3}{2t+3}\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{\left( 2+t \right)\left( 2t+3 \right)-3\left( {{t}^{2}}+6 \right)}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{-{{t}^{2}}+7t-12}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{ }\Leftrightarrow \\\left\{ \begin{array}{l}{{t}^{2}}-7t+12=0\\\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)\ne 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4.\end{array} \right.\end{array}\)

Теперь делаем обратную замену:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3\\{{x}^{3}}=4\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=\sqrt[3]{3}\\x=\sqrt[3]{4}\end{array} \right.\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]{3}\); \( \displaystyle \sqrt[3]{4}\).

Решение примера 10 (замена многочлена)

Решите уравнение \( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+10 \right)=12\).

Решение:

И опять используется замена переменных \( \displaystyle t={{x}^{2}}+5x+9\). Тогда уравнение примет вид:

\( \displaystyle t\cdot \left( t+1 \right)=12\text{ }\Rightarrow \text{ }{{t}^{2}}+t-12=0\).

Корни этого квадратного уравнения: \( \displaystyle t=-4\) и \( \displaystyle t=3\). Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

\( \displaystyle t=-4\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+9=-4\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+13=0\);

\( \displaystyle D={{5}^{2}}-4\cdot 13=-17<0\).

Значит, это уравнение корней не имеет.

\( \displaystyle t=3\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+9=3\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+6=0\)

Корни этого уравнения: \( \displaystyle x=-2\) и \( \displaystyle x=-3\).

Ответ. \( \displaystyle -2;\text{ -}3\).

Решение пример №11 (дробно-рациональная замена)

Решите уравнение: \( \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\).

Решение:

При \( \displaystyle x=0\) равенство не выполняется, поэтому \( \displaystyle x\ne 0\). Разделим уравнение на \( \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\( \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\text{ }\left| :{{x}^{2}}\ne 0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle {{x}^{2}}-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-7\left( x+\frac{1}{x} \right)+14=0\)

Замена: \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Тогда \( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\text{ }\Rightarrow \text{ }\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{t}^{2}}-2\).

Уравнение примет вид:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-2-7t+14=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{t}^{2}}-7t+12=0\).

Его корни: \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4\end{array} \right.\)

Произведем обратную замену:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=3\text{ }\left( 1 \right)\\x+\frac{1}{x}=4\text{ }\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Решим полученные уравнения:

1) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x}=0\).

\( \displaystyle D=9-4=5\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\)

2) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}=4\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x}=0\).

\( \displaystyle D=16-4=12\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\\x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \( \displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\); \( \displaystyle 2\pm \sqrt{3}\).

Решение примера №12 (Дробно-рациональная замена)

Решите неравенство \( \displaystyle \frac{12x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{13x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\le -1\).

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \( \displaystyle x\text{ }=\text{ }0\) не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на \( \displaystyle x\text{ }\ne \text{ }0\):

\( \displaystyle \frac{12x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{13x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\le -1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{12}{4{x}-8+\frac{7}{x}}+\frac{13}{4{x}-10+\frac{7}{x}}\le -1\).

Теперь очевидна замена переменной: \( \displaystyle y=4x+\frac{7}{x}\).

Тогда неравенство примет вид

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{12}{y-8}+\frac{13}{y-10}\le -1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{12y-120+13y-104+\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{y}^{2}}+7y-144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{\left( y-9 \right)\left( y+16 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\end{array}\)

Используем метод интервалов для нахождения y:

\( \displaystyle y\in \left[ -16;8 \right)\cup \left[ 9;10 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\text{ }\left( 1 \right)\\y<8;\text{ }\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\text{ }\left( 3 \right)\\y<10.\text{ }\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge -16\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}+16x+7}{x}\ge 0\Rightarrow \frac{4\left( x+\frac{1}{2} \right)\left( x+\frac{7}{2} \right)}{x}\ge 0\).

\( \displaystyle x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty \right)\)

\( \displaystyle y<8\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<8\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-8x+7}{x}<0\)

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-8x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

\( \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge 9\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-9x+7}{x}\ge 0\).

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-9x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}\ge 0\Rightarrow x>0\)

\( \displaystyle y<10\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<10\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-10x+7}{x}<0\)

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-10x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=100-4\cdot 4\cdot 7=-12<0\).

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\\y<8;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\\y<10;\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty \right)\\x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right].\)

Ответ: \( \displaystyle \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\).

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Итак, что думаешь?

Замена переменных позволит тебе решать несколько простых уравнений вместо одного жуткого.

Далеко не все ученики знают о них, а еще меньше знает, как ими правильно пользоваться.

А ты знаешь.

И я хочу спросить тебя… Что ты думаешь об этой статье? Понравилась ли она тебе? 

Будешь ли ты использовать замену переменных? Какой метод замены переменных тебе понравился больше всего?

Напиши нам в комментариях ниже! И если у тебя остались вопросы, обязательно пиши их ниже. Мы обязательно ответим.

Мы читаем все.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *