17 июля

0 comments

Замена переменных (ЕГЭ – 2021)

Метод замены переменных... Что это за зверь?

Математики ленивы. Они не любят решать сложные уравнения. 

Поэтому они придумали хитрый способ. 

Сначала сделать сложное уравнение простым (с помощью замены переменных). Потом быстро разделаться с простым уравнением. 

И в итоге решить сложное. 

Есть три способа замены переменной.

Читай эту статью — ты все поймешь и всему научишься!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим три основных вида замен переменных:

  • степенная замена;
  • дробно-рациональная замена;
  • замена многочлена.
Степенная замена: \( \displaystyle y={{x}^{n}}\).

Допустим, у нас есть выражение: \( \displaystyle {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-36=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную \( \displaystyle t={{x}^{2}}\).

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной \( \displaystyle x\) не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – \( \displaystyle t\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-5t-36=0\) – обычное квадратное уравнение

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 1\cdot \left( -36 \right)=25+144=169\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{169}=13\)

\( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{5+13}{2}=9\)

\( \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{5-13}{2}=-4\)

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной \( \displaystyle x\), а мы нашли только \( \displaystyle t\).

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену - вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle {{x}^{2}}\). Далее найдем

\( \displaystyle {{x}^{2}}=9\)

\( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\)

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При \( \displaystyle {{x}^{2}}=9\) у нас будет два корня:

\( \displaystyle {{x}_{1}}=3\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=-3\)

А что у нас будет при \( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\)?

Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при \( \displaystyle {{x}^{2}}=-4\) у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть \( \displaystyle x\), которые существуют:

Ответ: \( \displaystyle 3\);\( \displaystyle -3\)

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:

  • Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  • Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

А теперь самостоятельно...

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении \( \displaystyle 3{{x}^{6}}-7{{x}^{3}}+2=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную \( \displaystyle t={{x}^{3}}\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle 3{{t}^{2}}-7t+2=0\) – обычное квадратное уравнение

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=49-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{25}=5\)

\( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{7+5}{6}=2\)

\( \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену: вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle {{x}^{3}}\)

\( \displaystyle {{x}^{3}}=2\)

\( \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\)

Оба значения \( \displaystyle {{x}^{3}}\) имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При \( \displaystyle {{x}^{3}}=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}\)

При \( \displaystyle {{x}^{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]{2};\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

Дробно-рациональная замена – \( \displaystyle y=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)},~{{P}_{n}}\left( x \right)~и~{{Q}_{m}}\left( x \right)~\) многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\ne 0\) (так как на ноль делить нельзя).

Допустим, у нас есть уравнение:

\( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{3}{x}=14\)

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: \( \displaystyle x\ne 0\)

Сгруппируем слагаемые:

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{3}{x} \right)-14=0\)

Введем новую переменную \( \displaystyle t\).

Пусть \( \displaystyle t=x+\frac{3}{x}\), тогда

\( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{3}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{9}{{{x}^{2}}}+2x\cdot \frac{3}{x}\)

Сравни, что дает возведение \( \displaystyle t\) в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной \( \displaystyle t\).

\( \displaystyle 2{x}\cdot \frac{3}{{x}}=6\)

В итоге мы получаем следующее выражение:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-6-t-14=0\) – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

\( \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-20=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\( \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\)

\( \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\)

\( {{t}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( {{t}_{1}}=\frac{1+9}{2}=5\)

\( {{t}_{2}}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)

Как мы помним \( t\), не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}=5;\\x+\frac{3}{x}=-4.\end{array} \right.\)

Приводя к общему знаменателю \( \displaystyle x\), мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x+3=0;\\{{x}^{2}}+4x+3=0.\end{array} \right.\)

Решим первое квадратное уравнение:

\( \displaystyle {{x}^{2}}-5{x}+3=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=25-4\cdot 3=25-12=13\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{13}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)

На этой стадии не забываем про ОДЗ.

Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}+4x+3=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 3=16-12=4\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{4}=2\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-4\pm 2}{2}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{-4+2}{2}=-1\)

\( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{-4-2}{2}=-3\)

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ: \( \displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{5-\sqrt{13}}{2};-1;-3\)

У тебя получился такой же?

Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

\( \displaystyle \frac{5}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}-{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}-4=0\)

Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Сравним ход решения:

Пусть \( \displaystyle t=\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}\), тогда выражение приобретает вид:

\( \displaystyle 5t-\frac{1}{{t}}-4=0\)

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

\( \displaystyle \frac{5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1}{\text{t}}=0\)

Не забываем про ОДЗ - \( \displaystyle t\ne 0\)!!!!!

Решаем квадратное уравнение:

\( \displaystyle 5{{\text{t}}^{2}}-4\text{t}-1=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 5\cdot \left( -1 \right)=16+20=36\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{36}=6\)

\( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1,2}}=\frac{4\pm 6}{2\cdot 5}\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=\frac{4+6}{10}=1\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=\frac{4-6}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}\)

Как ты помнишь, \( \displaystyle t\) не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1;\\\frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=1\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{x}-2=1;\\{x}-2=-1;\end{array} \right.\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3;\\x=1.\end{array} \right.\)

Решением первого уравнения являются корни \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Решим второе уравнение:

\( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\)

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! \( \displaystyle \frac{1}{{{\left( {x}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5}\) – число положительное, \( \displaystyle {{\left( {x}-2 \right)}^{2}}\) - тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ: \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3\)

Замена многочлена

Замена многочлена \( \displaystyle y={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle y=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\).

Здесь \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~\) - многочлена степени \( \displaystyle n\), например, выражение \( \displaystyle 12{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 3\).

Решение примера №4

\( \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+3 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+4 \right)=20\)

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за \( \displaystyle t\)?

Правильно, \( \displaystyle t={{{x}}^{2}}-4{x}+3\).

Уравнение приобретает вид:

\( \displaystyle {t}\cdot \left( {t}+1 \right)=20\)

\( \displaystyle {{{t}}^{2}}+{t}-20=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=1-4\cdot \left( -20 \right)=1+80=81\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{81}=9\)

\( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\)

\( \displaystyle {{{t}}_{1,2}}=\frac{-1\pm 9}{2}\)

\( \displaystyle {{{t}}_{1}}=\frac{-1+9}{2}=4\)

\( \displaystyle {{{t}}_{2}}=\frac{-1-9}{2}=-5\)

Производим обратную замену переменных:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4x+3=4;\\{{{x}}^{2}}-4x+3=-5;\end{array} \right.\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{{x}}^{2}}-4{x}-1=0;\\{{{x}}^{2}}-4x+8=0;\end{array} \right.\)

Решим первое уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}-1=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot \left( -1 \right)=16+4=20\)

\( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 4}=2\sqrt{5}\)

\( \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2{a}}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}\)

\( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\)

Решим второе уравнение:

\( \displaystyle {{{x}}^{2}}-4{x}+8=0\)

\( \displaystyle \text{D}={{{b}}^{2}}-4{ac}\)

\( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 8=16-32=-16\)

\( \displaystyle \text{D}<0\)… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа - \( \displaystyle 2+\sqrt{5}\); \( \displaystyle 2-\sqrt{5}\).

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно.

\( \displaystyle \left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5 \right)\left( 2{{{x}}^{2}}-9{x}+6 \right)=2\)

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За \( \displaystyle t\) нужно взять \( \displaystyle 2{{{x}}^{2}}-9{x}+5\).

Мы получаем выражение:

\( \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}+1 \right)=2\)

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что \( t\) имеет два корня: \( \displaystyle -2\) и \( \displaystyle 1\).

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3,5\)

Решением второго квадратного уравнения - числа \( \displaystyle 0,5\) и \( \displaystyle 4\).

Ответ: \( \displaystyle 0,5\); \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3,5\); \( \displaystyle 4\)

Метод замены переменной имеет \( \displaystyle 3\) основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

  • Степенная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.
  • Замена многочлена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.
  • Дробно-рациональная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной

  • Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
  • Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
  • При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Задачи:

  1. 1
    \( \displaystyle {{{x}}^{6}}+7{{{x}}^{3}}-8=0\) (пример 6)
  2. 2
    \( \displaystyle \left( {{{x}}^{2}}-4{x}+7 \right)\left( {{{x}}^{2}}-4{x}+6 \right)=12\)  (пример 7)
  3. 3
    \( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}-{x}-\frac{4}{x}=12\) (пример 8)

Пусть \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle {{t}^{2}}+7\text{t}-8=0\).

Так как \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{3}}\), то может быть как положительным, так и отрицательным.

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=1\), \( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-8\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=1\), \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=-2\)

Ответ: \( \displaystyle -2;\text{ }1\)

Пусть \( \displaystyle \text{t}={{{x}}^{2}}-4{x}+7\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle \text{t}\cdot \left( \text{t}-1 \right)=12\).

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=4\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=3.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-3\Rightarrow \) решения нет, так как \( \displaystyle D<0\).

Ответ: \( \displaystyle 1;3\)

Группировкой получаем:

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)-\left( x+\frac{4}{x} \right)-12=0\)

Пусть \( \displaystyle \text{t}=x+\frac{4}{x}\), тогда выражение приобретает вид
\( \displaystyle {{\text{t}}^{2}}-\text{t}-8-12=0\Rightarrow {{t}^{2}}-t-20=0.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{1}}=5\Rightarrow {{x}_{1}}=1;~~~~{{x}_{2}}=4.\)

\( \displaystyle {{\text{t}}_{2}}=-4\Rightarrow {{x}_{1}}=-2\)

Ответ: \( \displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4.\)

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена

\( \displaystyle y={{x}^{n}}\)

Например, с помощью замены \( \displaystyle t={{x}^{2}}\) биквадратное уравнение \( \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0,\text{ }a\ne 0\) приводится к квадратному: \( \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c=0\).

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве \( \displaystyle a{{x}^{6}}+b{{x}^{3}}+c\ge \text{0}\) сделаем замену \( \displaystyle t={{x}^{3}}\), и получим квадратное неравенство: \( \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c\ge \text{0}\).

\( \displaystyle \frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение \( \displaystyle 6\) степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: \( \displaystyle t={{x}^{3}}\). Тогда \( \displaystyle {{x}^{6}}={{t}^{2}}\):

\( \displaystyle \begin{array}{c}\frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\text{ }\underset{t={{x}^{3}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }\\\frac{2+t}{{{t}^{2}}+6}=\frac{3}{2t+3}\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{\left( 2+t \right)\left( 2t+3 \right)-3\left( {{t}^{2}}+6 \right)}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{-{{t}^{2}}+7t-12}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{ }\Leftrightarrow \\\left\{ \begin{array}{l}{{t}^{2}}-7t+12=0\\\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)\ne 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4.\end{array} \right.\end{array}\)

Теперь делаем обратную замену:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3\\{{x}^{3}}=4\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=\sqrt[3]{3}\\x=\sqrt[3]{4}\end{array} \right.\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]{3}\); \( \displaystyle \sqrt[3]{4}\).

Замена многочлена

\( \displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\).

Здесь \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) − многочлен степени \( \displaystyle n\), т.е. выражение вида

\( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}},\text{ }{{a}_{0}}\ne 0\)

(например, выражение \( \displaystyle 4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 4\), то есть \( \displaystyle {{P}_{4}}\left( x \right)\)).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: \( \displaystyle t=a{{x}^{2}}+bx+c\) или \( \displaystyle t=\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}\).

Решите уравнение \( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+10 \right)=12\).

Решение:

И опять используется замена переменных \( \displaystyle t={{x}^{2}}+5x+9\). Тогда уравнение примет вид:

\( \displaystyle t\cdot \left( t+1 \right)=12\text{ }\Rightarrow \text{ }{{t}^{2}}+t-12=0\).

Корни этого квадратного уравнения: \( \displaystyle t=-4\) и \( \displaystyle t=3\). Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

\( \displaystyle t=-4\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+9=-4\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+13=0\);

\( \displaystyle D={{5}^{2}}-4\cdot 13=-17<0\).

Значит, это уравнение корней не имеет.

\( \displaystyle t=3\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+9=3\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}+5x+6=0\)

Корни этого уравнения: \( \displaystyle x=-2\) и \( \displaystyle x=-3\).

Ответ. \( \displaystyle -2;\text{ -}3\).

Дробно-рациональная замена

\( \displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}\)

\( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) и \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\) − многочлены степеней \( \displaystyle n\) и \( \displaystyle m\) соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

\( \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+a=0,\text{ }a\ne 0\),

обычно используется замена \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что \( \displaystyle x=0\) не является корнем этого уравнения: ведь если подставить \( \displaystyle x=0\) в уравнение, получим \( \displaystyle a=0\), что противоречит условию.

Разделим уравнение на \( \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{{{x}^{2}}}=0\).

Перегруппируем:

\( \displaystyle a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\).

Теперь делаем замену: \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

\( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\)

Отсюда следует, что \( \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2={{t}^{2}}-2\).

Вернемся к нашему уравнению:

\( \displaystyle \begin{array}{l}a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }a\left( {{t}^{2}}-2 \right)+bt+c=0\text{ }\Leftrightarrow \\a{{t}^{2}}+bt+c-2a=0\end{array}\)

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Решите уравнение: \( \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\).

Решение:

При \( \displaystyle x=0\) равенство не выполняется, поэтому \( \displaystyle x\ne 0\). Разделим уравнение на \( \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\( \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\text{ }\left| :{{x}^{2}}\ne 0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle {{x}^{2}}-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-7\left( x+\frac{1}{x} \right)+14=0\)

Замена: \( \displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Тогда \( \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\text{ }\Rightarrow \text{ }\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{t}^{2}}-2\).

Уравнение примет вид:

\( \displaystyle {{t}^{2}}-2-7t+14=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{t}^{2}}-7t+12=0\).

Его корни: \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4\end{array} \right.\)

Произведем обратную замену:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=3\text{ }\left( 1 \right)\\x+\frac{1}{x}=4\text{ }\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Решим полученные уравнения:

1) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x}=0\).

\( \displaystyle D=9-4=5\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\)

2) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}=4\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x}=0\).

\( \displaystyle D=16-4=12\)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\\x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \( \displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\); \( \displaystyle 2\pm \sqrt{3}\).

Решите неравенство \( \displaystyle \frac{12x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{13x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\le -1\).

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \( \displaystyle x\text{ }=\text{ }0\) не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на \( \displaystyle x\text{ }\ne \text{ }0\):

\( \displaystyle \frac{12x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{13x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\le -1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{12}{4{x}-8+\frac{7}{x}}+\frac{13}{4{x}-10+\frac{7}{x}}\le -1\).

Теперь очевидна замена переменной: \( \displaystyle y=4x+\frac{7}{x}\).

Тогда неравенство примет вид

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{12}{y-8}+\frac{13}{y-10}\le -1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{12y-120+13y-104+\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{y}^{2}}+7y-144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{\left( y-9 \right)\left( y+16 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\end{array}\)

Используем метод интервалов для нахождения y:

\( \displaystyle y\in \left[ -16;8 \right)\cup \left[ 9;10 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\text{ }\left( 1 \right)\\y<8;\text{ }\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\text{ }\left( 3 \right)\\y<10.\text{ }\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge -16\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}+16x+7}{x}\ge 0\Rightarrow \frac{4\left( x+\frac{1}{2} \right)\left( x+\frac{7}{2} \right)}{x}\ge 0\).

\( \displaystyle x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty \right)\)

\( \displaystyle y<8\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<8\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-8x+7}{x}<0\)

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-8x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

\( \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge 9\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-9x+7}{x}\ge 0\).

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-9x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}\ge 0\Rightarrow x>0\)

\( \displaystyle y<10\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<10\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-10x+7}{x}<0\)

\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-10x+7>0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=100-4\cdot 4\cdot 7=-12<0\).

Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\\y<8;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\\y<10;\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty \right)\\x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right].\)

Ответ: \( \displaystyle \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\).

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:

Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

Замена переменных – метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

  • Степенная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень: \( \displaystyle t={{x}^{n}}\).
  • Дробно-рациональная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную: \( \displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}\), где \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) и \( \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)~\) – многочлены степеней n и m, соответственно.
  • Замена многочлена: за \( \displaystyle t\) принимается целое выражение, содержащее неизвестное: \( \displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\), где \( \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)~\) – многочлен степени \( \displaystyle n\).

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Итак, что думаешь?

Замена переменных позволит тебе решать несколько простых уравнений вместо одного жуткого. Чаще всего это будут квадратные уравнения. Но это ли не круто?

Сегодня ты освоил методы, которые уже должны дать тебе чувство уверенности в своих силах. Далеко не все ученики знают о них, а еще меньше знает, как ими правильно пользоваться.

А ты знаешь. И я очень надеюсь, что тебе выпадет шанс применить эти методы на практике!

И я уверен, что ты справишься. 

И я хочу спросить тебя... Что ты думаешь об этой статье? Понравилась ли она тебе? 

Будешь ли ты использовать замену переменных? Какой метод замены переменных тебе понравился больше всего?

Напиши нам в комментариях ниже! И если у тебя остались вопросы, обязательно пиши их ниже. Мы обязательно ответим.

Мы читаем все.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>