Тригонометрическая окружность. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет! Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку по тригонометрии! 

Она называется тригонометрическая окружность.

Ты научишься:

  1. Обобщению всех тригонометрических функций на произвольные (абсолютно произвольные!) положительные углы (отрицательные – во второй части статьи);
  2. Градусной и радианной мере углов, связи между ними;
  3. Знакам тригонометрических функций для всех углов по четвертям;
  4. Способу вычисления значений тригонометрических функций (не нужно помнить никаких таблиц, вообще никаких!)

Самое главное?

Если ты поймешь, что такое тригонометрическая окружность, то вся дальнейшая тригонометрия тебе покажется не более чем легкой прогулкой.

Открою секрет: с помощью окружности даже можно решать уравнения и неравенства!

Итак, давай приступим.

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.

Вот, что тебе нужно повторить, если ты это забыл:

  1. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс (острого угла в прямоугольном треугольнике)
  2. Теорема Пифагора
  3. Система координат
  4. Теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее).

Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. д.

Также давай вспомним основные соотношения между синусами, косинусами, тангенсами одного и второго острых углов прямоугольного треугольника:

 

 

 

 

То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

 

Тригонометрическая окружность и ее построение

 

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые   и   и точку пересечения через  , а что такое в таком случае  ? Это радиус нашей окружности. 

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что  .

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства. Теперь отмечаем:  . Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат  , сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? В  .

Вот они:

Эти точки   имеют координаты:

 ;  ;  ;  .

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

четверти на тригонометрической окружности

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!).

 

Углы на тригонометрической окружности

 

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен  ? Он равен  . Также, как и  , как и угол  , и угол  .

 

Тогда чему равна их сумма? Она равна  . Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна  !

Что еще можно вытянуть? А вот что:

 

 

Отметим эти значения также на нашей окружности:

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

Тригонометрическая окружность

Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи»   с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени. В самом деле, есть два способа измерять углы.

  1. Через градусы
  2. Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.) а именно, через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

 

И все, больше знать ничего не надо! По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

 

И наоборот: от радиан к градусам:

 

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:

  1. Перевести угол в   градусов в радианы
  2. Перевести угол   радиан в градусы
  3. Перевести угол в   градусов в радианы
  4. Перевести угол в   радиан в градусы
  5. Перевести угол в   градусов в радианы
  6. Перевести угол в   радиан в градусы
  7. Перевести угол в   градусов в радианы

Я сделаю только первые два:

  1.  , тогда угол в   градусов равен углу в   радиан
  2.  , тогда угол в   радиан равен углу в   градусов…

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

                 
                 
               
               

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:

  1. В первой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  2. Во второй четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  3. В третьей четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  4. В четвертой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

 

Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так:

Единичная тригонометрическая окружность

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной  . Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса:

 

 

А что же такое отрезки   и  ? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол   и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через  . Пусть   имеет координаты  .

Тогда длина отрезка   равна  , а длина отрезка  –равна  .

Но мы с тобой помним, что   , тогда:

 

 

Нахождение синуса и косинуса на тригонометрической окружности

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол   и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

  1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
  2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
  3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
  4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус   градусов.

1. Отмечаем   градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти   и  ?

2. Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в   градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна  , то противолежащий ей катет равен  , откуда:

 

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

 

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны   и  , которые в свою очередь совпадают с   и  . Гипотенуза в треугольнике равна  .

Тогда:

  или, что то же самое,

 

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если:

  и  , то

 

 

 

Теперь нужно выбрать знак.

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла   градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

 

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов:   и  

Можно схитрить: в частности для угла в   градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен   градусам, то второй –   градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

 

 

Тогда так как  , то и  . Так как  , то и  . C   градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен   градусам, то и другой тоже равен   градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

 

 

Откуда:  

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в   градусов и   градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

    .

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

  

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса   градусов. Это неспроста!

В частности:

 

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс   градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

  1. Угол лежит в пределах от   до   градусов
  2. Угол больше   градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше   градусов и не больше чем  . Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая...

...вот такой:

То есть рассмотрим угол  , лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки  , которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты   и  .

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен  ? А у каких   равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

  1. Синус – это игрек
  2. Косинус – это икс
  3. Тангенс – это синус деленный на косинус
  4. Котангенс – это косинус деленный на синус

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

  1.  
  2.  

Проверим?

 

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.

Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

 

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

 

 

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

 

Задача

Найдите  , если   и  .

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

 

Решение

 

 

Углы больше   градусов

 

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем   градусов?

Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в   градусов (  радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

углы больше 360 на тригонометрической окружности

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (  градусов или   радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол   и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол  .

Что же нам это даст? А вот что: если  , то

 ,  , откуда окончательно получим:

 

 

Для любого целого  . Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом  .

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

 ,  ,   

Проверяем:

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

  1. А что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
  4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

Обо всем этом - читай далее "Средний уровень"!

 

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

  1. Что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
  4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Отрицательные углы в тригонометрии рис. 1

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси   против часовой стрелки:

Пример отрицательных углов

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный  . Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси   по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

отрицательный угол и положительный

В целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке: 

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. 

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

 

 Синус и косинус отрицательных углов

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

  • Синусы у углов   и   противоположны по знаку! Тогда если

     , то  
     

  • Косинусы у углов   и   совпадают! Тогда если

     ,то и  
     

  • Так как  , то:

     

  • Так как  , то:

 

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция  , у которой для любого допустимого   выполняется: ?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого   выполняется:  ? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

 

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить  . Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

     
     

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

     
     
     

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     ,
     .

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса –   (  градусов). Например:

      

  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол  в одной из следующих форм:

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     
    ...

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

  1.  
  2.  
  3.  

А вот и решения:

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться – это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

  1. Ось   – ось косинусов
  2. Ось   – ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами?

Неужели, для них нет никакой графической интерпретации?

На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке: 

тангенс и котангенс отрицательных углов 

 

В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений.

Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

  1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
  2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

 

Ну что же. Решить само уравнение несложно.
 

Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды.

Второй пример – уравнения, которые имеют «некрасивые корни».

Например:

  1. Решите уравнение  .
  2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку  .

Первая часть не представляет из себя ничего сложного. 

 

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами?

На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Напоследок рекомендую тебе самостоятельно решить вот этот пример, прибегая к помощи единичной окружности

Пример

Дано уравнение  .

  • Решите данное уравнение.
  • Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку  .

Решение:

 

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

  1. Через градусы
  2. Через радианы

 

Чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

 

И наоборот: от радиан к градусам:

 

 

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

  1. Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
  2. Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
  3. Её «иксовая» координата – это косинус искомого угла.
  4. Её «игрековая» координата – это синус искомого угла.

 

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:

 

Дополнительные ресурсы на тему "Тригонометрическая окружность"

 

  1. Тригонометрический круг.  -  Если ты привык воспринимать информацию визуально, вот тебе прекрасное видео от Анны Георгиевны Малковой. 6 минут твоего времени и ты сможешь решать многие задачи гораздо быстрее и без ошибок!  А вот замечательные курсы подготовки к ЕГЭ по математике от Анны Георгиевны.  Попробуй, может быть они тебе подойдут. 
  2. Числовая окружность №1. -  Если ты все пропустил или ничего не понял в школе по этой теме, вот тебе 3 видео от Андрея Андреевича. Более подробно, чем у Анны Георгиевны: 13 минут...  Но посмотри на благодарные комментарии  тех, кто учился по этому видео и ты не захочешь потратить эти 13 минут ни на что другое!.
  3. Числовая окружность #2. -   Продолжение темы от Андрея Андреевича.
  4. Числовая окружность №3. - И еще продолжение от Андрея Андреевича.

 

Подведение итогов

  • Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.

  • Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.

  • Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

  •  

Теперь я хочу услышать тебя!

 

  • Удалось ли тебе разобраться с этой сложной темой?

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?

  • Может быть ты нашел ошибку?

  • Пиши в комментариях!

  • И удачи на экзамене!

  •  

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Лариса
26 октября 2017

А нет ли ошибки в формуле тангенса? (у него период ПИ) Или я ошибаюсь?

ответить

Лариса
27 октября 2017

tg(α+2πk)=tg α, а не tg(α+πk)=tg α????

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2017

Лариса, спасибо, исправил.

ответить

Игорь
23 ноября 2017

В одной из задач при решении cos13π/4 преобразуют в -cosπ/4. Никак не могу понять, как это произошло. В самой задаче шаг с преобразованием пропущен, просто показан результат. Объясните, пожалуйста.

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2017

Игорь, для решения этой задачи нужно разобрать формулы приведения, которые ты можешь найти на странице https://youclever.org/book/formuly-trigonometrii-1

ответить

Александр Андреев
20 декабря 2017

Большое спасибо, лучшее объяснение из всех, что читал. Благодаря вам наконец-то понял, как это работает)

ответить

Александр (админ)
20 декабря 2017

И тебе спасибо, Александр. Очень рады, что наше объяснение стало лучшим и пригодилось. Удачи на экзамене.

ответить

Павел
24 февраля 2018

"мы поместили нашу окружность в систему координат $\displaystyle \mathbf{X0Y}$, сделав центр окружности началом координат!" Исправьте, пожалуйста

ответить

Павел
24 февраля 2018

И другие формулы исправьте пожалуйста, читать невозможно!

ответить

Александр (админ)
24 февраля 2018

Павел, если на экране отображается "абракадабра", нужно почистить кэш браузера, то есть нажать ctrl + F5. Должно помочь.

ответить

Станислав
09 августа 2018

у меня есть вопросы к тангенсу 11П/6. в таблице он получается -корень3/3. Но по формуле тангенса мы имеем, что есть отношение синуса к косинусу. Зная синус и косинус 11П/6 - они равны -1/2 и корень из 3 пополам соответственно, получаем что тангенс 11П/6 равен (-1/2 : корень из 3 пополам), то в итоге получается tg равный -1/корень3. Я ошибаюсь или где правда?

ответить

Алексей Шевчук
25 декабря 2018

Станислав, это одно и то же: если в -1/корень3 избавиться от иррациональности в знаменателе (то есть, домножить и числитель, и знаменатель на корень из 3), получится -корень3/3.

ответить

Артемий
23 декабря 2018

Под второй таблицей где приведены значения sin, cos, tg, ctg для разных углов в формуле ошибка. Там находится cot, а не tg.

ответить

Алексей Шевчук
25 декабря 2018

Да, там опечатка, спасибо.

ответить

Дмитрий
16 января 2019

Не могу понять, если: 1*rad*pi=180*grad То разве не будет: 1*rad*pi/180=180*grad/180 1*grad=1*rad*pi/180?

ответить

Алексей Шевчук
04 февраля 2019

Да, Дмитрий, именно так. Поэтому A градусов = A/180 * pi радиан.

ответить

Александр
09 февраля 2019

Такой вопрос, если длина Косинусу(X) делится на длину Гипотенузы , то как может получиться отрицательное значение у длины ? То есть имею ввиду разве такое возможно что длина отрицательная. Да я понимаю длина Гипотенузы 1, но как длина может быть - 1/2 это загадка. Обьясните пожалуйста, что на что мы делим, не могу понять.

ответить

Алексей Шевчук
10 февраля 2019

Александр, на самом деле, нужно рассматривать не длины отрезков, а координаты точки на окружности. Координаты могут быть как положительными, так и отрицательными. О длинах отрезков мы говорим здесь только в самом начале, когда рассматриваем углы первой четверти - отсылка к "определению" синуса/косинуса из геометрии для прямоугольного треугольника. Хочу обратить внимание, что фраза "синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы" - это вовсе не определение синуса, как нам обычно говорят в школе, а всего лишь один из способов этот самый синус вычислить (то же и для косинуса с тангенсом).

ответить

Александр
10 февраля 2019

Я всеравно не понимаю тогда. Если по координатам, то как ? Ок к пример синус у нас (-1/2 ; 0) Гипотенуза у нас, мы ее координаты не знаем по y, мы знаем что она по x -1/2 Я представлял, что длина -1/2 делиться на длину гипотенузу 1 и мы получаем наш косинус. Но это не верно, т.к. длина не может быть отрицательной. Тогда как по координатам Косинус (-1/2 ; 0) , Гипотенуза (-1/2; Неизвестно ) получить косинус? Какая формула ?

ответить

Алексей Шевчук
11 февраля 2019

Берёшь точку на единичной окружности, у неё две координаты, например, (-1/2;√​3/2), то есть -1/2 по оси X и √​3/2 по оси Y. Та, что по оси Х - это косинус. По оси Y - синус. Всё то, что ты пишешь про катеты и гипотенузу, работает только в первой четверти, то есть для углов от 0 до 90 градусов, так как в прямоугольном треугольнике тупых углов быть не может. А в первой четверти и синус, и косинус положительные, и длина положительная - значит нет противоречия. Кстати, пример, который ты привёл: (-1/2 ; 0), неправильный, так как сумма квадратов координат должна равняться 1 (квадрату радиуса). Например: (-1/2)^2 + (√​3/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть