Тригонометрическая окружность. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Привет! Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку по тригонометрии. Она называется

Тригонометрическая окружность.

Ты только оцени преимущества. Все, что тебе надо знать:

  1. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс (острого угла в прямоугольном треугольнике)
  2. Теорема Пифагора
  3. Система координат

А что же ты получаешь взамен?

  1. Обобщение всех тригонометрических функций на произвольные (абсолютно произвольные!) положительные углы (отрицательные – во второй части статьи)
  2. Градусная и радианная меры углов, связь между ними
  3. Знаки тригонометрических функций для всех углов по четвертям
  4. Способ вычисления значений тригонометрических функций (не нужно помнить никаких таблиц, вообще никаких!)

Тебе не кажется, что, приложив совсем немного своих знаний, ты приобретешь огромное количество новых умений? Самое главное: если ты поймешь, что же такое эта самая тригонометрическая окружность и с чем ее едят, то вся дальнейшая тригонометрия тебе покажется не более чем легкой прогулкой.

 

Открою секрет: с помощью окружности даже можно решать уравнения и неравенства!

 

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF...

Скачай ее здесь!

 

Итак, давай приступим. Как я уже говорил, все, что тебе нужно знать – это что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Да, и теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее). Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. д.

Также давай вспомним основные соотношения между синусами, косинусами, тангенсами одного и второго острых углов прямоугольного треугольника:

 

 

 

 

То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

 

Тригонометрическая окружность и ее построение

 

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду! А что пока делать тебе? А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности. Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые   и   и точку пересечения через  , а что такое в таком случае  ? Это радиус нашей окружности. Как называлась наша тема? Единичная окружность. Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что  . А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину? Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства. Теперь отмечаем:  . Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

мы поместили нашу окружность в систему координат  , сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке! Перегнать фигуру в цифры, каково, а? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? В  . Вот они:

Эти точки   имеют координаты:

 ;  ;  ;  .

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость? Они называются координатные четверти. Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

четверти на тригонометрической окружности

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!).

 

Углы на тригонометрической окружности

 

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку. Чему на ней равен  ? Он равен  . Также, как и  , как и угол  , и угол  .

 

Тогда чему равна их сумма? Она равна  . Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна  !

Что еще можно вытянуть? А вот что:

 

 

Отметим эти значения также на нашей окружности:

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

Тригонометрическая окружность

Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи»   с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват? Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени. В самом деле, есть два способа измерять углы.

  1. Через градусы
  2. Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.) а именно, через радианы. Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

 

И все, больше знать ничего не надо! По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

 

И наоборот: от радиан к градусам:

 

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:

  1. Перевести угол в   градусов в радианы
  2. Перевести угол   радиан в градусы
  3. Перевести угол в   градусов в радианы
  4. Перевести угол в   радиан в градусы
  5. Перевести угол в   градусов в радианы
  6. Перевести угол в   радиан в градусы
  7. Перевести угол в   градусов в радианы

Я сделаю только первые два:

  1.  , тогда угол в   градусов равен углу в   радиан
  2.  , тогда угол в   радиан равен углу в   градусов…

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

                 
                 
               
               

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:

  1. В первой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  2. Во второй четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  3. В третьей четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  4. В четвертой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

 

Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться! Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник. Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность? Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так:

Единичная тригонометрическая окружность

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной  . Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса:

 

 

А что же такое отрезки   и  ? Чему равны их длины? Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол   и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности. Обозначим эту точку через  . Пусть   имеет координаты  . Тогда длина отрезка   равна  , а длина отрезка  –равна  . Но мы с тобой помним, что   , тогда:

 

 

Нахождение синуса и косинуса на тригонометрической окружности

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили. Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол   и хотим найти его синус и косинус. Что мы делаем?

  1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
  2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
  3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
  4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус   градусов.

1. Отмечаем   градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти   и  ?

2. Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в   градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна  , то противолежащий ей катет равен  , откуда:

 

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

 

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора! Наши катеты в треугольничке равны   и  , которые в свою очередь совпадают с   и  . Гипотенуза в треугольнике равна  . Тогда:

  или, что то же самое,

 

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если:

  и  , то

 

 

 

Теперь нужно выбрать знак. Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла   градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

 

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов:   и  

Можно схитрить: в частности для угла в   градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен   градусам, то второй –   градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

 

 

Тогда так как  , то и  . Так как  , то и  . C   градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен   градусам, то и другой тоже равен   градусам, а значит такой треугольник равнобедренный. Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус. Тогда:

 

 

Откуда:  

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в   градусов и   градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

    .

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

  

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса   градусов. Это неспроста! В частности:

 

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс   градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

  1. Угол лежит в пределах от   до   градусов
  2. Угол больше   градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали. Теперь же пусть наш угол больше   градусов и не больше чем  . Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти. Как мы поступаем? Да точно так же! Давай рассмотрим вместо вот такого случая

Вот такой:

То есть рассмотрим угол  , лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него? У точки  , которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты   и  . Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен! Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен  ? А у каких   равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!). Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

  1. Синус – это игрек
  2. Косинус – это икс
  3. Тангенс – это синус деленный на косинус
  4. Котангенс – это косинус деленный на синус

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

  1.  
  2.  

Проверим?

  1.   градусов – это угол, больший   и меньший  , а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда  .
      градусов – угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус – отрицательный. Плюс делить на минус – будет минус. Значит  .
      градусов – угол, больший   и меньший  . Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит  
  2. C радианами работаем аналогично:   это угол второй четверти (так как   и  . Синус второй четверти положительный.
     .
     , это угол четвертой четверти. Там косинус положительный  .
      – угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус – отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:  

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же. Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

 

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

 

 

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Най­ди­те  , если   и  .

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение:

Так как  , то подставим сюда значение  , тогда  . Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи:  . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье «формулы тригонометрии». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

 

Углы больше   градусов

 

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем   градусов? Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в   градусов (  радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

углы больше 360 на тригонометрической окружности

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность. Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (  градусов или   радиан)? Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол   и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол  .

Что же нам это даст? А вот что: если  , то

 ,  , откуда окончательно получим:

 

 

Для любого целого  . Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом  . Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол. Например:

Найти знак:

 ,  ,   

Проверяем:

  1. В   градусов умещается   раза по   градусов ( градусов):
    осталось   градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит  
  2.  .   градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда  
  3.  .  . Так как  , то   - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos 
  4.  .  . Так как  , то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.  

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

 

 

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

  1. А что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
  4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

На всем этом я не остановился здесь с вполне корыстной целью. Я хочу, чтобы ты прочитал и другие статьи, посвященные тригонометрическому кругу. Так что мы с тобой не прощаемся!

 

Лучшие ресурсы на тему "Тригонометрическая окружность"

 

  1. Тригонометрический круг.  -  Если ты привык воспринимать информацию визуально, вот тебе прекрасное видео от Анны Георгиевны Малковой. 6 минут твоего времени и ты сможешь решать многие задачи гораздо быстрее и без ошибок!
  2. Числовая окружность №1. -  Если ты все пропустил или ничего не понял в школе по этой теме, вот тебе 3 видео от Андрея Андреевича. Более подробно, чем у Анны Георгиевны: 13 минут...  Но посмотри на благодарные комментарии  тех, кто учился по этому видео и ты все поймешь.
  3. Числовая окружность #2. -   Продолжение темы от Андрея Андреевича.
  4. Числовая окружность №3. - И еще продолжение от Андрея Андреевича.

Подведение итогов:

 

  • Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.
  • Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.
  • Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

 

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

 

А здесь ты можешь скачать весь текст "Тригонометрическая окружность. Начальный уровень" в pdf формате:

Тригонометрическая окружность. Начальный уровень. Скачать файл.


 

 

 

 

Комментарии

Лариса
26 октября 2017

А нет ли ошибки в формуле тангенса? (у него период ПИ) Или я ошибаюсь?

ответить

Лариса
27 октября 2017

tg(α+2πk)=tg α, а не tg(α+πk)=tg α????

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2017

Лариса, спасибо, исправил.

ответить

Игорь
23 ноября 2017

В одной из задач при решении cos13π/4 преобразуют в -cosπ/4. Никак не могу понять, как это произошло. В самой задаче шаг с преобразованием пропущен, просто показан результат. Объясните, пожалуйста.

ответить

Алексей Шевчук
27 ноября 2017

Игорь, для решения этой задачи нужно разобрать формулы приведения, которые ты можешь найти на странице https://youclever.org/book/formuly-trigonometrii-1

ответить

Александр Андреев
20 декабря 2017

Большое спасибо, лучшее объяснение из всех, что читал. Благодаря вам наконец-то понял, как это работает)

ответить

Александр (админ)
20 декабря 2017

И тебе спасибо, Александр. Очень рады, что наше объяснение стало лучшим и пригодилось. Удачи на экзамене.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть