18 июля

1 comments

Формулы тригонометрии. Разбор решения 22-х задач (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в ЕГЭ.

Мы решим 22 примера!!! И ты точно будешь знать формулы тригонометрии и сможешь решить любую задачу на ЕГЭ!

Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке.

Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что сказать, да, можно!

Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем, выражения:

\( \displaystyle A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}a\cdot si{{n}^{3}}a+\frac{1}{3}si{{n}^{3}}a\cdot cos3a\)

при \( \displaystyle \alpha =\frac{\pi }{16}\). 

Не думаю, что у тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини. Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии.

Так что к их изучению мы сейчас и приступим.

Поехали!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. 

Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся!

Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right)\)
  • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right)\)
  • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right)\)
  • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right)\)

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» – тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Если все, что я сказал выше, звучало для тебя древним эльфийским языком, то посмотри статью о тригонометрической окружности.

  1. 1
    Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
    \( \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1\)
  2. 2
    Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
    \( \displaystyle tg\ \alpha =\frac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha }\)
  3. 3
    Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
    \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\frac{1}{tg\ \alpha }\)
  4. 4
     Первое следствие формулы 1:
    \( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{co{{s}^{2}}\alpha }\)
  5. 5
    Второе следствие формулы 1:
    \( \displaystyle ct{{g}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{si{{n}^{2}}\alpha }\)
  6. 6
    Третье следствие формулы 1:
    \( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }\)
  7. 7
    Четвертое следствие формулы 1:
    \( \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\)

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на \( \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha \) и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на \( \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha \) и вместо выражения \( \displaystyle \frac{co{{s}^{2}}\alpha }{si{{n}^{2}}\alpha }\) запишем \( \displaystyle ct{{g}^{2}}\alpha \), исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7.

В чем «фишка» формул 6 и 7? Их особенность заключается в знаке \( \displaystyle \pm \), который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле
    \( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }\)
    угол \( \displaystyle \alpha \) таков, что \( \displaystyle \text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }<0\), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».
  • Если в формуле
    \( \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\)
    угол \( \displaystyle \alpha \) таков, что \( \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }<0\), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. 1
    Най­ди­те \( \displaystyle \text{3cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\), если \( \displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\).
  2. 2
    Най­ди­те \( \displaystyle 5\sin\alpha\), если \( \displaystyle cos\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\).
  3. 3
    Най­ди­те \( \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\) если \( \displaystyle sin\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\).
  4. 4
     Най­ди­те \( \displaystyle \text{tg}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\), если \( \displaystyle sin\alpha =-\frac{5}{\sqrt{26}}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)\).

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как \( \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\), то подставим сюда значение\( \displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\), тогда \( \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{4\cdot 2}{9}}=\pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}=\)

\( \displaystyle=\pm \sqrt{\frac{1}{9}}=\pm \frac{1}{3}.\)

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\). Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед \( \displaystyle \frac{1}{3}\). \( \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{3}\), тогда \( \displaystyle 3cos\alpha =3\cdot \frac{1}{3}=1\).

Ответ: \( \displaystyle 1\).

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как \( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }\), то все, что нам нужно – это подставить \( \displaystyle cos\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}\) в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

\( \displaystyle sin\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{4\cdot 6}{25} \right)}=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=\pm \frac{1}{5}\).

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус». \( \displaystyle sin\alpha =-\frac{1}{5}\), тогда \( \displaystyle 5sin\alpha =-5\cdot \frac{1}{5}=-1\).

Ответ: \( \displaystyle -1\).

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу \( \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\) значение \( \displaystyle sin\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}\):

\( \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{4\cdot 6}{25} \right)}=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=\pm \frac{1}{5}\).

Смотрим на знак косинуса при \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\). Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ: \( \displaystyle -0,2\).

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь. \( \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{5}{\sqrt{26}} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{25}{26}}=\pm \sqrt{\frac{1}{26}}=\pm \frac{1}{\sqrt{26}}\).

Так как \( \displaystyle \alpha \in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)\) (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то \( \displaystyle cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{26}}\).

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

\( \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{-\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}}=5.\)

Ответ: \( \displaystyle 5\).

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «И что, это все?». Я отвечу, что, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

  • Синус суммы и разности:
    \( \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \)
  • Косинус суммы и разности:
    \( \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \)
  • Тангенс суммы и разности:
    \( \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta }\)
  • Синус двойного угла (следствие формулы 1)
    \( \displaystyle sin2a=2sina\cdot cosa\)
  • Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
    \( \displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a\)
    \( \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a\)
  • Тангенс двойного угла:
    \( \displaystyle tg2a=\frac{2tga}{1-t{{g}^{2}}a}\)

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

Разбор 9 примеров

  1. 1
    \( \displaystyle \frac{12sin11{}^\circ cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }\)
  2. 2
    \( \displaystyle \frac{24\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ \right)}{cos34{}^\circ }\)
  3. 3
    \( \displaystyle 36\sqrt{6} ctg \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi }{4}\)
  4. 4
     Най­ди­те \( \displaystyle -47cos2a\), если \( \displaystyle cosa=-0,4\)
  5. 5
     Най­ди­те \( \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}\), если \( \displaystyle sin3a=0,6\)
  6. 6
    Най­ди­те \( \displaystyle 26\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+a \right)\), если \( \displaystyle cosa=\frac{12}{13}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\)
  7. 7
     Най­ди­те \( \displaystyle t{{g}^{2}}a\), если \( \displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6\)
  8. 8
     Най­ди­те \( \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}\), если \( \displaystyle tga=-2,5\)
  9. 9
    Най­ди­те \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)\), если \( \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}\)

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь: а) не самые сложные формулы; б) не самые «страшные» углы.

Страшные углы я припас нам напоследок 🙂

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

1. \( \displaystyle \frac{12sin11{}^\circ cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }\)

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус \( \displaystyle 11\) градусов, и чему равен синус \( \displaystyle 22\) градусов.

Но что мы должны заметить?

Верно! \( \displaystyle 22{}^\circ =2\cdot 11{}^\circ \). Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

\( \displaystyle sin22{}^\circ =2sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ \)

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

\( \displaystyle \frac{12sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }=\frac{12sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }{2sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }=6\).

Ответ: \( \displaystyle 6\).

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять.

Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

2. \( \displaystyle \frac{24\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ \right)}{cos34{}^\circ }\)

Опять-таки, сразу можно заметить, что \( \displaystyle 34{}^\circ =2\cdot 17{}^\circ \). \( \displaystyle 34\) градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

\( \displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a\)

Что же у нас есть в числителе?

А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего? Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

\( \displaystyle si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}-co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}=-\left( -si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}+co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }} \right)=\)

\( \displaystyle=-\left( co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}-si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }} \right)=-\cos \left( 2\cdot {{17}^{{}^\circ }} \right)=-cos{{34}^{{}^\circ }}\).

Тогда получим:

\( \displaystyle \frac{24\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ \right)}{cos34{}^\circ }=\frac{-24cos34{}^\circ }{cos34{}^\circ }=-24\).

Ответ: \( \displaystyle -24\).

3. \( \displaystyle 36\sqrt{6}ctg\frac{\pi }{6}\sin\frac{\pi }{4}\)

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».

Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще.

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по правде, я и сам ее не знаю.

Но первую таблицу знать совершенно необходимо.

Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус \( \displaystyle 60\) градусов.

Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:

Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

  • Например, синус \( \displaystyle 0\) градусов равен нулю значит, косинус \( \displaystyle 0\) градусов – наоборот: единица.
  • Синус \( \displaystyle 90\) градусов равен единице, значит косинус \( \displaystyle 90\) градусов равен нулю.
  • Синус \( \displaystyle 30\) градусов равен \( \displaystyle \frac{1}{2}\), значит косинус \( \displaystyle 30\) градусов равен \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

Но давай вернемся к нашему примеру и посмотрим в таблицу:

\( \displaystyle ctg\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\), \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим эти значения в нашу формулу:

\( \displaystyle 36\sqrt{6} ctg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}=36\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}=\frac{36\cdot 6}{2}=36\cdot 3=108\).

Ответ: \( \displaystyle 108\)

Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.

Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

4. По условию \(cosa=-0,4\), нам же надо найти \(-47cos2a\).

Что тогда надо сделать?

Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

\( \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a\)

Тогда \( \displaystyle -47cos2\alpha =-47\left( 2co{{s}^{2}}\alpha -1 \right)=-47\left( 2\cdot {{\left( -0,4 \right)}^{2}}-1 \right)=\)

\( \displaystyle=-47\left( 2\cdot 0,16-1 \right)=-47\left( 0,32-1 \right)=-47\left( -0,68 \right)=31,96\)

Ответ: \( \displaystyle 31,96\)

5. \( \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}\) – это то, что надо вычислить, а \( \displaystyle sin3a=0,6\) – это то, что есть.

Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

Нужно лишь заметить, что \( \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha \). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

О чудо: косинусы сократились, а чему равен \( \displaystyle sin3\alpha \) мы знаем из условия!

\( \displaystyle \frac{10sin6\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{10\cdot 2sin3\alpha cos3\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{20sin3\alpha }{3}=\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4\)

Ответ: \( \displaystyle 4\).

6. \( \displaystyle 26\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+a \right)\) – то, что нужно найти, а \( \displaystyle cosa=\frac{12}{13}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\) – то, что мы имеем.

На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти.

А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

\( \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=cos\frac{3\pi }{2}cos\alpha -sin\frac{3\pi }{2}sin\alpha \)

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу). Косинус углов: \( \displaystyle \frac{\pi }{2}=90{}^\circ ,~\frac{3\pi }{2}=270{}^\circ \) равен нулю! Тогда \( \displaystyle cos\frac{3\pi }{2}cos\alpha =0\cdot cos\alpha =0\), а синусы: \( \displaystyle \frac{\pi }{2}=90{}^\circ ,~\frac{3\pi }{2}=270{}^\circ \) равны при этом \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle -1\) соответственно. Тогда \( \displaystyle -sin\frac{3\pi }{2}sin\alpha =-\left( -1 \right)\cdot sin\alpha \). Окончательно получим:

\( \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=sin\alpha \)

Но вот незадача: синус-то нам не дан! Вместо него мы знаем, что \( \displaystyle cos\alpha =\frac{12}{13}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\). Как по этим данным найти неизвестный синус – ты уже знаешь! Мы в самом начале решали такие задачки. Так что результат будет таков:

\( \displaystyle \text{sin }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\pm \sqrt{1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}=\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{12}{13} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13}\).

Снова нужно определиться со знаком:\( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\). Это значит, что четверть четвертая, а синус в четвертой четверти имеет знак «минус». Тогда \( \displaystyle \text{sin }\!\!\alpha\!\!\text{ }=-\frac{5}{13}\), что значит, что \( \displaystyle 26\cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=26\cdot \left( -\frac{5}{13} \right)=-10\).

Ответ: \( \displaystyle -10\)

7. Нужно найти: \( \displaystyle t{{g}^{2}}a\), а дано: \( \displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6\).

Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По порядку:

\( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{si{{n}^{2}}\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha }\),
\( \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1\)

Тогда решить задачу можно вот как: найти по отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

Так как \( \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-si{{n}^{2}}\alpha \), то

\( \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha +13\left( 1-si{{n}^{2}}\alpha \right)=6\)

\( \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha +13-13si{{n}^{2}}\alpha =6\)

\( \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha -13si{{n}^{2}}\alpha =6-13\)

\( \displaystyle -8si{{n}^{2}}\alpha =-7\)

\( \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\frac{7}{8}\)

Тогда из \( \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-si{{n}^{2}}\alpha \), получим, что \( \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}\)

Наконец, найдем тангенс:

\( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{si{{n}^{2}}\alpha }{co{{s}^{2}}a}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7\)

Ответ: \( \displaystyle 7\)

8. Надо найти \( \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}\), зная, что \( \displaystyle tga=-2,5\).

На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

\( \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\)

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?

Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на \( \displaystyle cos\alpha \). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

\( \displaystyle \frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{2sin\alpha +5cos\alpha +3}=\frac{\frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{cos\alpha }}{\frac{2sin\alpha +5cos\alpha +3}{cos\alpha }}=\frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}\).

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо \( \displaystyle tga\) его числовое значение \( \displaystyle -2,5\). Тогда получим:

\( \displaystyle \frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{10+4\left( -2,5 \right)+\frac{15}{cos\alpha }}{2\left( -2,5 \right)+5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{\frac{15}{cos\alpha }}{\frac{3}{cos\alpha }}\)

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ: \( \displaystyle \frac{15}{3}=5\).

Ответ: \( \displaystyle 5\).

9. Нужно найти \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)\), если дано \( \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}\).

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=cos\pi \cdot cos\beta -sin\pi \cdot sin\beta \)

Опять-таки, тебе должно быть известно, что \( \displaystyle cos\pi =-1,~~sin\pi =0\).

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=-cos\beta =-\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}\)

Теперь с синусом:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=sin\frac{\pi }{2}\cdot cos\beta +cos\frac{\pi }{2}\cdot sin\beta \).

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу): \( \displaystyle sin\frac{\pi }{2}=1,~cos\frac{\pi }{2}=0\), тогда

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=cos\beta =-\frac{1}{3}\)

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

\( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=7\cdot \frac{1}{3}-2\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

Ответ: \( \displaystyle 3\).

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.

Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем \( \displaystyle 90\) градусов.

Например, найти синус угла \( \displaystyle 855\) градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  • Синус и косинус имеют период \( \displaystyle 2\pi \) (\( \displaystyle 360\) градусов), то есть
    \( \displaystyle sin\left( 2\pi k+x \right)=sinx\)
    \( \displaystyle cos\left( 2\pi k+x \right)=cosx\)
  • Тангенс (котангенс) имеют период \( \displaystyle \pi \) (\( \displaystyle 180\) градусов)
    \( \displaystyle tg\left( \pi k+x \right)=tgx\)
    \( \displaystyle ctg\left( \pi k+x \right)=ctgx\)
    \( \displaystyle k\) – любое целое число
  • Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:
    \( \displaystyle sin\left( -x \right)=-sinx\)
    \( \displaystyle tg\left( -x \right)=-tg\left( x \right)\)
    \( \displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)\)

Теперь непосредственно сам алгоритм:

Шаг 1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2).

Например:

\( \displaystyle sin\left( -855{}^\circ \right)=-sin855{}^\circ ,~cos\left( -855{}^\circ \right)=cos855{}^\circ \)

Шаг 2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: \( \displaystyle 2\pi k\) (по \( \displaystyle 360\) градусов), а для тангенса – "половинки" \( \displaystyle \pi k\) (\( \displaystyle 180\) градусов).

Например:

\( \displaystyle sin\ 855{}^\circ =sin\left( 2\cdot 360{}^\circ +135{}^\circ \right)=sin\ 135{}^\circ \)

\( \displaystyle tg\ 225{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +45{}^\circ \right)=tg\ 45{}^\circ \)

Шаг 3. Если оставшийся «уголок» меньше \( \displaystyle 90\) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»

Шаг 4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол \( \displaystyle \alpha \): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Шаг 5. Представляем угол \( \displaystyle \alpha \) в одной из следующих форм: 

  • \( \displaystyle \alpha =90+\beta \) (если во второй четверти),
  • \( \displaystyle \alpha =180-\beta \) (если во второй четверти),
  • \( \displaystyle \alpha =180+\beta \) (если в третьей четверти),
  • \( \displaystyle \alpha =270-\beta \) (если в третьей четверти)
  • \( \displaystyle \alpha =270+\beta \) (если в четвертой четверти)
  • \( \displaystyle \alpha =360-\beta \) (если в четвертой четверти)

...так, чтобы оставшийся угол \( \displaystyle \beta \) был больше нуля и меньше \( \displaystyle 90\) градусов.

Например: \( \displaystyle 135{}^\circ =180{}^\circ -45{}^\circ \)

\( \displaystyle 135{}^\circ =90{}^\circ +45{}^\circ \)

\( \displaystyle 315{}^\circ =270{}^\circ+45{}^\circ \)

\( \displaystyle 240{}^\circ =180{}^\circ +60{}^\circ \)

\( \displaystyle 240{}^\circ =270{}^\circ -30{}^\circ \)...

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Шаг 6. Теперь смотрим, что у нас получилось:  

  • если ты выбрал запись через \( \displaystyle 180\) или \( \displaystyle 360\) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь \( \displaystyle 180\) или \( \displaystyle 360\) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла.
  • eсли же ты выбрал запись через \( \displaystyle 90\) или \( \displaystyle 270\) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Шаг 7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Разбор трёх примеров

  1. 1
    Вычислить \( \displaystyle sin\ 2130{}^\circ \)
  2. 2
    Вычислить \( \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}\)
  3. 3
    Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: \( \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ \)

Решения:

1. \( \displaystyle sin\ 2130{}^\circ \)

Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для \( \displaystyle 2130{}^\circ \):

\( \displaystyle \frac{2130{}^\circ }{360{}^\circ }=5,91\ldots \)

В общем, делаем вывод, что в угол \( \displaystyle 2130{}^\circ \) помещается целиком 5 раз по \( \displaystyle 360{}^\circ \), а сколько осталось? Осталось \( \displaystyle 2130{}^\circ -5\cdot 360{}^\circ =330{}^\circ \). Тогда:

\( \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =sin\left( 5\cdot 360{}^\circ +330{}^\circ \right)=sin\ 330{}^\circ \)

Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.

\( \displaystyle 330{}^\circ \) лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем \( \displaystyle 330{}^\circ \) согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: \( \displaystyle 330{}^\circ =270{}^\circ +60{}^\circ \)

\( \displaystyle sin\ 330{}^\circ =sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ \right)\)

Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с \( \displaystyle 270\) градусами, тогда отбрасываем \( \displaystyle 270{}^\circ \) и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

\( \displaystyle sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ \right)=-cos60{}^\circ \)

\( \displaystyle 60\) градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!) его значение:

\( \displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5\)

Тогда получим окончательный ответ:

\( \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =-0,5\)

Ответ: \( \displaystyle -0,5\)

2. \( \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}\)

Все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

\( \displaystyle \pi ~рад.=180{}^\circ \)

Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

\( \displaystyle \frac{21\pi }{4}=5\frac{1}{4}\pi =4\pi +1\frac{1}{4}\pi \)

Отбрасываем \( \displaystyle 4\pi \) – это два целых круга. Осталось вычислить \( \displaystyle cos\ 1\frac{1}{4}\pi \). 

Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. \( \displaystyle 1\frac{1}{4}\pi \) можно представить как \( \displaystyle \pi +\frac{\pi }{4}\).

Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа \( \displaystyle \pi \) (\( \displaystyle 180{}^\circ \) или \( \displaystyle 360{}^\circ \)), тогда функция не меняется:

\( \displaystyle cos1\frac{1}{4}\pi =\cos \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Тогда \( \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1\).

Ответ: \( \displaystyle -1\).

3. \( \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ \).

Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями.

Я буду несколько более краток: \( \displaystyle 150{}^\circ \) и \( \displaystyle 120{}^\circ \) градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».

\( \displaystyle 150{}^\circ \) можно представить как: \( \displaystyle 150{}^\circ =90{}^\circ +60{}^\circ \), а \( \displaystyle 120{}^\circ \) как \( \displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ \), тогда

\( \displaystyle 12sin\ 150{}^\circ cos\ 120{}^\circ =12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ \right)\text{cos}\left( 90{}^\circ +30{}^\circ \right)\)

Оба случая – «половинки от целого \( \displaystyle \pi \)». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

\( \displaystyle 12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ \right)\cos \left( 90{}^\circ +30{}^\circ \right)=12cos\ 60{}^\circ \left( -sin\ 30{}^\circ \right)=12\cdot 0,5\cdot \left( -0,5 \right)=-3\)

Ответ: \( \displaystyle -3\).

Тренировка. Реши эти 10 заданий, и ты научишься пользоваться формулами тригонометрии!

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

  1. 1
    \( \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }\)
  2. 2
    \( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)
  3. 3
    \( \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ \right)\)
  4. 4
    \( \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ \right)\)
  5. 5
    \( \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }\)
  6. 6
    \( \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}207{}^\circ }\)
  7. 7
    \( \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }\)
  8. 8
    \( \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}\)
  9. 9
    Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния \( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)\), если \( \displaystyle tg\gamma =7\).
  10. 10
    Най­ди­те \( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)\), если \( \displaystyle sin\alpha =0,8\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\).

Разбор заданий

1. \( \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }\) 

Ключ к успеху – заметить, что:

\( \displaystyle 29{}^\circ +61{}^\circ =90{}^\circ \)!!!

Тогда, например \( \displaystyle 90{}^\circ -61{}^\circ =29{}^\circ \):

\( \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }=\frac{5\text{cos}\left( 90{}^\circ -61{}^\circ \right)}{sin61{}^\circ }\)

\( \displaystyle 90{}^\circ -61{}^\circ \)– угол первой четверти. Косинус первой четверти – положительный. Поскольку мы вычитаем из \( \displaystyle 90\) градусов, то косинус меняется на синус:

\( \displaystyle \frac{5\text{cos}\left( 90{}^\circ -61{}^\circ \right)}{sin61{}^\circ }=\frac{5sin61{}^\circ }{sin61{}^\circ }=5\)

Ответ: \( \displaystyle 5\).

2. \( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале....

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16\)

...избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

\( \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}\)

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга (\( \displaystyle 6\pi \)). Остается вычислить: \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Так же поступаем и со вторым углом:

\( \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi \)

Удаляем целое число кругов –3 круга (\( \displaystyle 6\pi \)) тогда:

\( \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)\)

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до \( \displaystyle 2\pi \) всего \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\). Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный.

Теперь представим \( \displaystyle \pi +\frac{3}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi =2\pi -\frac{\pi }{4}\). Так как вычитаем мы из целого количества \( \displaystyle \pi \), то знак косинуса не меняем:

\( \displaystyle \cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( 2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем все полученные данные в формулу:

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16\)

Ответ: \( \displaystyle -16\).

3. \( \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ \right)\)

Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что \( \displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)\).

Осталось сосчитать косинус \( \displaystyle 750\) градусов. Уберем целые круги: \( \displaystyle 750{}^\circ =2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ \).

Тогда:

\( \displaystyle cos\left( -750{}^\circ \right)=cos\left( 750{}^\circ \right)=cos\left( 2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ \right)=cos30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Тогда \( \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6\)

\( \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6\)

\( \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6\)

\( \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6\)

Ответ: \( \displaystyle -6\).

4. \( \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ \right)\)

\( \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ \right)\)

Действуем так же, как в предыдущем примере.

\( \displaystyle \ tg\left( -300{}^\circ \right)=-tg300{}^\circ \)

Поскольку ты помнишь, что период у тангенса – \( \displaystyle 180\) градусов (или \( \displaystyle \pi \)) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество \( \displaystyle \pi \).

\( \displaystyle tg300{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +120{}^\circ \right)=tg120{}^\circ \)

\( \displaystyle 120\) градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! \( \displaystyle 120{}^\circ \) можно записать как \( \displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ \). Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

\( \displaystyle tg120{}^\circ =tg\left( 90{}^\circ +30{}^\circ \right)=-ctg30{}^\circ =-\sqrt{3}\)

Тогда \( \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ \right)=-2\sqrt{3}\left( -\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6\).

Ответ: \( \displaystyle 6\).

5. \( \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }\)

Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо.

Угол большой, надо его упростить по формулам приведения. \( \displaystyle sin409{}^\circ =sin\left( 360{}^\circ +49{}^\circ \right)=sin49{}^\circ \) (я уже воздержусь тут от комментариев, тебе и так все ясно).

\( \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }=\frac{14sin49{}^\circ }{sin49{}^\circ }=14\).

Ответ: \( \displaystyle 14\).

6. \( \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}207{}^\circ }\)

Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим.

Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть.

В то же время:

\( \displaystyle co{{s}^{2}}207{}^\circ =co{{s}^{2}}\left( 180{}^\circ +27{}^\circ \right)=co{{s}^{2}}27{}^\circ \)

\( \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}27{}^\circ }=\frac{12}{1}=12\)

Какой формулой я воспользовался в знаменателе? Помнишь, ты обещал ее выучить и быть готовым ответить, проснувшись среди ночи?!

Ответ: \( \displaystyle 12\).

7. \( \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }\)

Пример немного похитрее. Прежде всего заметим, что \( \displaystyle 74{}^\circ =2\cdot 37{}^\circ \). Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

\( \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }=\frac{5\cdot 2sin37{}^\circ cos37{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }=\frac{10sin37{}^\circ }{cos53{}^\circ }\)

Тебе это ничего не напоминает? Задача в точности такая же, как в номере 1. Я тогда так и поступлю, заметив, что у меня опять: \( \displaystyle 90{}^\circ =37{}^\circ +53{}^\circ \)!

\( \displaystyle \frac{10sin37{}^\circ }{cos53{}^\circ }=\frac{10\text{sin}\left( 90{}^\circ -53{}^\circ \right)}{cos53{}^\circ }=\frac{10cos53{}^\circ }{cos53{}^\circ }=10\).

Ответ: \( \displaystyle 10\).

8. \( \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}\)

Опять задание комбинированное! Легко увидеть и вынести за скобки общий множитель \( \displaystyle \sqrt{3}\):

\( \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}\left( co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12} \right)\)

Как называется формула внутри скобок? Пробегись глазами по списку наших формул! Нашел? Это косинус двойного угла!

\( \displaystyle co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}=\cos \left( 2\cdot \frac{5\pi }{12} \right)=cos\frac{10\pi }{12}=\text{cos}\frac{5\pi }{6}=\cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)\)

И снова формулы приведения: косинус второй четверти отрицательный, так как вычитаем мы из целого числа \( \displaystyle \pi \), то косинус не меняется:

\( \displaystyle \cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-cos\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Окончательно получим:

\( \displaystyle \sqrt{3}\left( co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Ответ: \( \displaystyle -1,5\).

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния \( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)\), если \( \displaystyle tg\gamma =7\).

У тангенса период – \( \displaystyle \pi \), так что не задумываясь отбрасываем его:

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)=5tg\left( -\gamma \right)\ =-5tg\gamma \)

Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =\)
\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

Ответ: \( \displaystyle -28\).

10. Най­ди­те \( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)\), если \( \displaystyle sin\alpha =0,8\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\)

Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)\)

Наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия для угла в условии задачи!!!).

Синус имеет знак минус, так как складываем мы с «половинкой от пи», то синус меняется на косинус.

\( \displaystyle -\sin \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=cos\alpha \)

Теперь все как в самом начале урока. По известному синусу надо найти косинус.

\( \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{0,8}^{2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6\)

Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=-0,6\).

Ответ: \( \displaystyle -0,6\).

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье "Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня".

Я сразу оговорюсь, что в задачах повышенной сложности современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…». Это звучало бы слишком банально, не так ли?

Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа задач повышенной сложности.

Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени:

  • \( \displaystyle {\sin^{2}}\alpha =\frac{1-\cos2\alpha }{2}\)
  • \( \displaystyle {\cos^{2}}\alpha =\frac{1+\cos2\alpha }{2}\)
  • \( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1-\cos2\alpha }{1+\cos2\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\)

Универсальная тригонометрическая подстановка:

  • \( \displaystyle \sin\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  • \( \displaystyle \cos\alpha =\frac{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  • \( \displaystyle tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  • \( \displaystyle ctg\alpha =\frac{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}{2tg\frac{\alpha }{2}}\)

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов!

Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу.

Разбор примеров

1. Доказать тождество: \( \displaystyle \frac{3-4\cos2\alpha +\cos4\alpha }{3+4\cos2\alpha +\cos4\alpha }=t{{g}^{4}}\alpha \)

С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень!

И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме!

Вот и распишем по правилам:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{3-4\cos2\alpha +\cos4\alpha }{3+4\cos2\alpha +\cos4\alpha }=\frac{3-4\cos2\alpha +\left( 2{\cos^{2}}2\alpha -1 \right)}{3+4\cos2\alpha +\left( 2{\cos^{2}}2\alpha -1 \right)}=\\=\frac{2-4\cos2\alpha +2{\cos^{2}}2\alpha }{2+4\cos2\alpha +2{\cos^{2}}2\alpha }=\frac{1-2\cos2\alpha +{\cos^{2}}2\alpha }{1+2\cos2\alpha +{\cos^{2}}2\alpha }\end{array}\)

Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы! (Подробнее об этом читай в статье о  формулах сокращенного умножения)

\( \displaystyle \frac{1-2\cos2\alpha +{\cos^{2}}2\alpha }{1+2\cos2\alpha +{\cos^{2}}2\alpha }=\frac{{{\left( 1-\cos2\alpha \right)}^{2}}}{{{\left( 1+\cos2\alpha \right)}^{2}}}={{\left( \frac{1-\cos2\alpha }{1+\cos2\alpha } \right)}^{2}}\)

А выражение в скобках есть ничто иное, как \( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha \), окончательно получим:

\( \displaystyle {{\left( \frac{1-\cos2\alpha }{1+\cos2\alpha } \right)}^{2}}={{\left( t{{g}^{2}}\alpha \right)}^{2}}=t{{g}^{4}}\alpha \)

Тождество доказано!

Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

2. Доказать тождество: \( \displaystyle \frac{1+\sin2\alpha +\cos2\alpha }{1+\sin2\alpha -\cos2\alpha }=ctg\alpha \)

Решение (хотя может и отличаться от твоего):

Опять «повысим степень» у косинуса: \( \displaystyle \cos2\alpha =2{\cos^{2}}\alpha -1\)

\( \displaystyle \frac{1+\sin2\alpha +\cos2\alpha }{1+\sin2\alpha -\cos2\alpha }=\frac{1+\sin2\alpha +2{\cos^{2}}\alpha -1}{1+\sin2\alpha -2{\cos^{2}}\alpha +1}=\frac{\sin2\alpha +2{\cos^{2}}\alpha }{2+\sin2\alpha -2{\cos^{2}}\alpha }\)

Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:

\( \displaystyle \frac{\sin2\alpha +2{\cos^{2}}\alpha }{2+\sin2\alpha -2{\cos^{2}}\alpha }=\frac{2\sin{\alpha} \cos{\alpha} +2{\cos^{2}}\alpha }{2+2\sin{\alpha} \cos{\alpha}-2{\cos^{2}}\alpha }=\frac{\sin\alpha \cos\alpha +{\cos^{2}}\alpha }{1+\sin\alpha \cos{\alpha}-{\cos^{2}}\alpha }\)

Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

\( \displaystyle 1-{\cos^{2}}\alpha ={\sin^{2}}\alpha \)

\( \displaystyle \frac{\sin\alpha \cos\alpha +{\cos^{2}}\alpha }{1+\sin\alpha \cos\alpha -{\cos^{2}}\alpha }=\frac{\sin\alpha \cos\alpha +{\cos^{2}}\alpha }{{\sin^{2}}\alpha +\sin\alpha \cos\alpha }=\frac{\cos\alpha \left( \sin\alpha +\cos\alpha \right)}{\sin\alpha \left( \sin\alpha +\cos\alpha \right)}=ctg\alpha \)

Вот ещё один пример, но не такой простой:

3. Доказать, что если \( \displaystyle 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\), то \( \displaystyle \sqrt{1+\sin\alpha }-\sqrt{1-\sin\alpha }=2\sin\frac{\alpha }{2}\)

Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус \( \displaystyle \alpha \)будет положительным, \( \displaystyle \sin\frac{\alpha }{2}>0,~1+\sin\alpha >1,~0<1-\sin\alpha <1\)

Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля. Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:

\( \displaystyle {{\left( \sqrt{1+\sin\alpha }-\sqrt{1-\sin\alpha } \right)}^{2}}=4{\sin^{2}}\frac{\alpha }{2}\) – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!

\( \displaystyle \begin{array}{l}{{\left( \sqrt{1+\sin \alpha }-\sqrt{1-\sin \alpha } \right)}^{2}}=1+\sin \alpha -2\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha }+1-\\-\sin \alpha =2-2\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha }=2\left( 1-\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha } \right)=\\2\left( 1-\sqrt{1+{{\sin }^{2}}\alpha } \right)=2\left( 1-\sqrt{{\cos^{2}}}\alpha \right)\end{array}\)

Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках.

Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо \( \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\).

В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:

\( \displaystyle 2\left( 1-\sqrt{{\cos^{2}}}\alpha \right)=2\left( 1-\cos\alpha \right)\)

Тогда нам надо доказать, что

\( \displaystyle 2\left( 1-\cos\alpha \right)=4{\sin^{2}}\frac{\alpha }{2}\)

\( \displaystyle \left( 1-\cos\alpha \right)=2{\sin^{2}}\frac{\alpha }{2}\)

Справа применим формулу понижения степени:

\( \displaystyle {\sin^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos\alpha }{2}\), тогда \( \displaystyle 2{\sin^{2}}\frac{\alpha }{2}=1-\cos\alpha \)

Тождество доказано!

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь.

Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней ещё непременно вернёмся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение:

Формулы преобразования суммы функций:

  • \( \displaystyle \sin\alpha \pm \sin\beta =2\sin\frac{\alpha \pm \beta }{2}\cos\frac{\alpha \mp \beta }{2}\)
  • \( \displaystyle \cos\alpha +\cos\beta =2\cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  • \( \displaystyle \cos\alpha -\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  • \( \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\frac{\sin\left( \alpha \pm \beta \right)}{\cos\alpha \cos\beta }\)
  • \( \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\frac{\sin\left( \beta \pm \alpha \right)}{\sin\alpha \sin\beta }\)

Иногда бывают полезны и обратные преобразования.

Формулы преобразования произведений функций

  • \( \displaystyle \sin\alpha \sin\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right)}{2}\)
  • \( \displaystyle \sin\alpha \cos\beta =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\sin\left( \alpha -\beta \right)}{2}\)
  • \( \displaystyle \cos\alpha \cos\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\cos\left( \alpha +\beta \right)}{2}\)

Сразу же рассмотрим примеры:

1. Доказать тождество: \( \displaystyle \frac{\sin\alpha +\sin3\alpha }{\cos\alpha +\cos3\alpha }=tg2\alpha \)

Давай не будем долго думать, а, как говорится, пойдём в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдём от суммы к произведению:

\( \displaystyle \begin{array}{l}~\frac{\sin\alpha+\sin3\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha}=\frac{2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}}=\frac{2\cdot \sin2\alpha\cdot \cos\left( -\alpha \right)}{2\cdot \cos2\alpha\cdot \cos\left( -\alpha \right)}=\\=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=tg2\alpha\end{array}\)

И минуты не прошло, а пример уже решён!

Теперь попробуй сам.

2. Доказать тождество: \( \displaystyle \frac{\sin2\alpha +\sin4\alpha }{\cos2\alpha -\cos4\alpha }=ctg\alpha \)

Решение – опять лобовая атака:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sin2\alpha+\sin4\alpha}{\cos2\alpha-\cos4\alpha}=\frac{2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2}}{-2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2}}=\frac{2\sin3\alpha\cdot \cos\left( -\alpha \right)}{-2\sin3\alpha\cdot \sin\left( -\alpha \right)}=\frac{\cos\left( -\alpha \right)}{-\sin\left( -\alpha \right)}\end{array}\)

Так как синус – функция нечётная, а косинус – чётная, то:

\( \displaystyle \frac{\cos\left( -\alpha \right)}{-\sin\left( -\alpha \right)}=\frac{\cos\alpha }{-\left( -\sin\alpha \right)}=\frac{\cos\alpha }{\sin\alpha }=ctg\alpha \)

Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!

3. Доказать тождество: \( \displaystyle \frac{\sin2\alpha +\sin5\alpha -\sin3\alpha }{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }=2\sin\alpha \)

Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители, чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла.

Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sin2\alpha +\sin5\alpha -\sin3\alpha }{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }=\frac{\sin2\alpha +2\sin\frac{5\alpha -3\alpha }{2}\cos\frac{5\alpha +3\alpha }{2}}{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }=\\=\frac{2\sin\alpha \cos\alpha +2\sin\alpha \cos4\alpha }{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }=\frac{2\sin\alpha \left( \cos\alpha +\cos4\alpha \right)}{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }\end{array}\)

Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель ещё раз, но я пойду иным путём. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она:

\( \displaystyle 1-2{\sin^{2}}2\alpha \).

Что это за формула? Это косинус двойного угла!

\( \displaystyle 1-2{\sin^{2}}2\alpha =\cos\left( 2\cdot 2\alpha \right)=\cos4\alpha \)

\( \displaystyle \frac{2\sin\alpha \left( \cos\alpha +\cos4\alpha \right)}{\cos\alpha +1-2{\sin^{2}}2\alpha }=\frac{2\sin\alpha \left( \cos\alpha +\cos4\alpha \right)}{\cos\alpha +\cos4\alpha }=2\sin\alpha \)

Тождество доказано!

Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.

4. Доказать тождество: \( \displaystyle {\cos^{4}}\alpha -{\sin^{4}}\alpha +\sin2\alpha =\sqrt{2}\cos\left( 2\alpha -\frac{\pi }{4} \right)\)

Проверяем!

\( \displaystyle \begin{array}{l}{\cos^{4}}\alpha -{\sin^{4}}\alpha +\sin2\alpha =\left( {\cos^{2}}\alpha -{\sin^{2}}\alpha \right)\left( {\cos^{2}}\alpha +{\sin^{2}}\alpha \right)+\sin2\alpha =\\=\cos2\alpha +\sin2\alpha \end{array}\)

C другой стороны:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{2}\cos \left( 2\alpha-\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\left( \cos{2\alpha}\cos{\frac{\pi }{4}}+\sin{2\alpha}\sin{\frac{\pi }{4}} \right)=\\=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos2\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin2\alpha \right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos2\alpha+\sin2\alpha \right)=\\=\cos2\alpha+\sin2\alpha\end{array}\)

Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку.

Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие.

Более того, скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причём я использовал ещё более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех!

Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

5. Упростить: \( \displaystyle \frac{1+\sin\alpha -\cos2\alpha -\sin3\alpha }{2{\sin^{2}}\alpha +\sin\alpha -1}\)

А вот какой у меня получился в итоге ответ: \( \displaystyle 2\sin\alpha.\)

Дерзай!

В следующей части статьи я рассмотрю его решение, но прибегну к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть (довольно кратко) еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом».

Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени. Но вот понижаемые степени у них повыше:

  • \( \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\frac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4}\)
  • \( \displaystyle co{{s}^{3}}a=\frac{3cosa+cos3a}{4}\)

Из данных формул можно вывести формулы тройного угла:

  • \( \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \)
  • \( \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa\)
  • \( \displaystyle tg3\alpha =\frac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha }\)
  • \( \displaystyle ctg3\alpha =\frac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha }\)

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать. В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. 

Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1

Упростить: \( \displaystyle A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin3\alpha +\frac{1}{3}si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos3\alpha \)

Решение:

Подставим вместо \( \displaystyle sin3\alpha \) и \( \displaystyle cos3\alpha \) их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

\( \displaystyle \begin{array}{l}A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}\alpha \left( 3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \right)+\frac{1}{3}si{{n}^{3}}\alpha \left( 4co{{s}^{3}}\alpha -3cos\alpha \right)=\\=co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -\frac{4}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot si{{n}^{3}}\alpha +\frac{4}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot si{{n}^{3}}\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha =\\=co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha \end{array}\)

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

\( \displaystyle co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha =sin\alpha \cdot cos\alpha \left( co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha \right)\)

По формулам двойного угла: \( \displaystyle sin\alpha \cdot cos\alpha =\frac{1}{2}sin2\alpha \), \( \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha =cos2\alpha \):

\( \displaystyle sin\alpha \cdot cos\alpha \left( co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha \right)=\frac{1}{2}sin2\alpha \cdot cos2\alpha \)

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

\( \displaystyle \frac{1}{2}sin2\alpha \cdot cos2\alpha =\frac{1}{4}sin4\alpha \)

Ответ: \( \displaystyle A=\frac{1}{4}sin4\alpha \)

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью.

Пример 2

Упростить: \( \displaystyle \frac{1+sin\alpha -\cos^2{\alpha}-cos2\alpha -sin3\alpha }{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}\)

Решение:

Моя цель – свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

\( \displaystyle \cos^2 {\alpha} =1-si{{n}^{2}}\alpha \)

\( \displaystyle cos2\alpha =1-2si{{n}^{2}}\alpha \)

\( \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \)

Имеем:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1+sin\alpha -cos2\alpha -sin3\alpha }{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}=\frac{1+sin\alpha -\left( 1-si{{n}^{2}}\alpha \right) -\left( 1-2si{{n}^{2}}\alpha \right)-\left( 3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \right)}{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}=\\=\frac{4si{{n}^{3}}\alpha +3si{{n}^{2}}\alpha -2sin\alpha -1}{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}\end{array}\)

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим \( \displaystyle sin\alpha =t\), тогда мне надо упростить дробь

\( \displaystyle \frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1}\)

Нижнее выражение разложим на множители:

\( \displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)\)

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку».

Угадай-ка один корень уравнения \( \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=0\). Угадал? Я угадал \( \displaystyle -1\).

Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение \( \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1\) делится без остатка на \( \displaystyle t+1\)

Разделим столбиком \( \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1\) на \( \displaystyle t+1\). Я получу:

\( \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=\left( t+1 \right)\left( 4{{t}^{2}}-t-1 \right)\)

В свою очередь \( \displaystyle 4{{t}^{2}}-t-1=4\left( t-\frac{1}{2} \right)\left( t+\frac{1}{4} \right)\)

Окончательно получим:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1}=\frac{4\left( t+1 \right)\left( t-\frac{1}{2} \right)\left( t+\frac{1}{4} \right)}{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}=\frac{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)\left( 2t+0,5 \right)}{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}=\\=2t+0,5\end{array}\)

Тогда исходное выражение можно упростить до: \( \displaystyle 2sinx+0,5\)

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение: \( \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{3}}x-3co{{s}^{2}}x-3\sqrt{3}cosx+1=0\)

Не сделав вот такую странную замену: \( \displaystyle cosx=tg\alpha \) решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

\( \displaystyle \sqrt{3}t{{g}^{3}}\alpha -3t{{g}^{2}}\alpha -3\sqrt{3}tg\alpha +1=0\)

\( \displaystyle \sqrt{3}t{{g}^{3}}\alpha -3\sqrt{3}tg\alpha =3t{{g}^{2}}\alpha -1\)

\( \displaystyle \sqrt{3}(t{{g}^{3}}\alpha -3tg\alpha )=3t{{g}^{2}}\alpha -1\)

\( \displaystyle -\sqrt{3}\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha \right)=-\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha \right)\)

\( \displaystyle \frac{\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha \right)}{\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha \right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

А вот ради чего весь этот сыр-бор: \( \displaystyle \frac{\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha \right)}{\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha \right)}=tg3\alpha \)

\( \displaystyle tg3\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Основные формулы:

  • Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
    \( \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1\)
  • Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
    \( \displaystyle tg\ \alpha =\frac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha }\)
  • Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
    \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\frac{1}{tg\ \alpha }\)
  • Синус суммы и разности:
    \( \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \)
  • Косинус суммы и разности:
    \( \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \)
  • Тангенс суммы и разности:
    \( \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta }\)

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

  • \( \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}\)
  • \( \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}\)
  • \( \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\frac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4}\)
  • \( \displaystyle co{{s}^{3}}a=\frac{3cosa+cos3a}{4}\)
  • \( \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\)

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

  • \( \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\frac{\alpha \pm \beta }{2}cos\frac{\alpha \mp \beta }{2}\)
  • \( \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  • \( \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  • \( \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\frac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta }\)
  • \( \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\frac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta }\)

Формулы преобразования произведений функций

  • \( \displaystyle sin\alpha sin\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2}\)
  • \( \displaystyle sin\alpha cos\beta =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2}\)
  • \( \displaystyle cos\alpha cos\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2}\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь дело за тобой!

Ты научился применять формулы тригонометрии. А это намного важнее, чем просто знать их.

Чем больше будешь практиковаться, тем увереннее будешь ими пользоваться. И я уверен, что у тебя все обязательно получится!

Даже если сейчас у тебя были какие-то ошибки... Просто не сдавайся!

Если у тебя есть какие-то впросы или предложения, напиши их в комментариях ниже. А мы обязательно тебе ответим.

Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Все ли было понятно?

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Афруза
    04 апреля 2019
    Блин как класно мне очень понравилось

    Антон
    12 апреля 2019
    Здравствуйте, учебник очень хороший, поэтому и купил. Хотел задать маленький вопросик. Вот правильный ход мыслей у меня: Sin(-300)=-sin(270+30)=-cos30=-(-корень из 3 на 2)= корень из 3 на 2? Получается два минуса, которые дают плюс? Верно? Спасибо)

    Алексей Шевчук
    23 мая 2019
    Антон, спасибо, очень рад, что наш учебник помогает:) Пример ты решил верно.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >