Геометрическая прогрессия
- Где применяется геометрическая прогрессия?
- Как посчитать, сколько процентов тебе начислят на вклад в банке?
- Как быстро заразится весь класс, если каждый ученик будет заражать двух других?
Читай эту статью и смотри вебинар по экономической задаче (ЕГЭ №17).
Да, да, экономическая задача — это часто задача на геометрическую прогрессию.
Геометрическая прогрессия — коротко о главном
Определение:
Геометрическая прогрессия {\( \displaystyle {{b}_{n}}\)} – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \displaystyle q~\ne ~0\). Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме \( \displaystyle 0\) и \( \displaystyle 1\).
- Если \( \displaystyle q>0\), то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
- Если \( \displaystyle q<0\), то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- При \( \displaystyle ~-1<q<1\) – прогрессия называется бесконечно убывающей.
Как найти любой член геометрической прогрессии: \( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\).
Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}\) или \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\)
- Если прогрессия является бесконечно убывающей, то: \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{q-1}\)
Формула сложных процентов (при условии, что деньги из оборота не изымались):
\( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\)
Геометрическая прогрессия — подробно
В этом разделе — самые базовые знания о геометрической прогрессии.
О том, откуда она взялась, где применяется, какими обладает свойствами, какие задачи помогает решать.
Как обычно базовая глава — самая важная, потому что нужно не просто применять формулы, а понимать, что ты делаешь и зачем ты это делаешь.
Глава написана легко. Все будет понятно. Читай!
Числовая последовательность
Если ты уже читал тему «Арифметическая прогрессия» ты можешь смело пропускать этот блок и переходить к самой сути.
Если нет, то советую ознакомиться, чтобы иметь общее представление о том, что такое прогрессия в целом и с чем ее едят.
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: \( \displaystyle 4,\text{ }7,\text{ }-8,\text{ }13,\text{ }-5,\text{ }-6,\text{ }0,\text{ }\ldots \)
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их \( \displaystyle 7\)).
Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и \( \displaystyle n\)-ное число) всегда одно.
Число с номером \( \displaystyle n\) называетмя \( \displaystyle n\)-ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, \( \displaystyle a\)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: \( \displaystyle {{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{10}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{n}}\).
В нашем случае:
Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии.
Определение геометрической прогрессии
Допустим, у нас есть числовая последовательность:
\( \displaystyle 2;\text{ }4;\text{ }6;8;10\).
Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности — арифметическая прогрессия с разностью ее членов \( \displaystyle d\text{ }=\text{ }2\).
А как на счет такой числовой последовательности?
Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (\( \displaystyle 9; 90; 900\) и т.д.).
Но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в \( \displaystyle 10\) раз больше предыдущего!
Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается \( \displaystyle {{b}_{n}}\).
Геометрическая прогрессия {\( \displaystyle {{b}_{n}}\) } — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \displaystyle \mathbf{q}\text{ }\ne \text{ }0\).
Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Ограничения геометрической прогрессии
Первый член {\( \displaystyle {{b}_{1}}\)} не равен \( \displaystyle 0\) и \( \displaystyle \mathbf{q}\text{ }\ne \text{ }0\).
Эти ограничения не случайны!
Допустим, что их нет, и первый член прогрессии все же равен \( \displaystyle 0\), а q равно, хм.. пусть \( \displaystyle 2\), тогда получается:
\( \displaystyle {{b}_{1}}=0\)\( \displaystyle {{b}_{1}}=0\cdot 2=0…\) и так далее.
Согласись, что это уже никакая не прогрессия.
Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если \( \displaystyle {{b}_{1}}\) будет каким-либо числом, отличным от нуля, а \( \displaystyle q=0\).
В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.
Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о \( \displaystyle q\).
Знаменатель геометрической прогрессии
Повторим: \( \displaystyle q\) – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.
Как ты думаешь, каким может быть \( \displaystyle q\)? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).
Допустим, что \( \displaystyle q\) у нас положительное. Пусть в нашем случае \( \displaystyle q=3\), а \( \displaystyle {{b}_{1}}=4\).
Чему равен второй член \( \displaystyle {{b}_{2}}\) и \( \displaystyle {{b}_{3}}\)? Ты без труда ответишь, что:
\( \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot 3=12\) \( \displaystyle {{b}_{3}}=12\cdot 3=36\)Все верно. Соответственно, если \( \displaystyle q>0\), то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.
А что если \( \displaystyle q\) отрицательное? Например, \( \displaystyle q=-3\), а \( \displaystyle {{b}_{1}}=4\). Чему равен второй член \( \displaystyle {{b}_{2}}\) и \( \displaystyle {{b}_{3}}\)?
Это уже совсем другая история
\( \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot -3=-12\) \( \displaystyle {{b}_{3}}=-12\cdot \left( -3 \right)=36\)Попробуй посчитать \( \displaystyle 4\) член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня \( \displaystyle -108\).
Таким образом, если \( \displaystyle q<0\), то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на \( \displaystyle 100\%\) отрицательный.
Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.
Теперь немного потренируемся:
Пример 1. Попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:
- \( \displaystyle 3;\text{ }6;\text{ }12;\text{ }24;\text{ }48;\text{ }56\ldots \)
- \( \displaystyle 1;\text{ }12;\text{ }23;\text{ }34;\text{ }45\text{ }\ldots \)
- \( \displaystyle -99;\text{ }33;\text{ }-11\ldots \)
- \( \displaystyle 5;\text{ }7;\text{ }9;\text{ }11;\text{ }13\ldots \)
- \( \displaystyle -6;\text{ }5;\text{ }17;\text{ }28;\text{ }39\ldots \)
- \( \displaystyle 64;\text{ }16;\text{ }4;\text{ }1\ldots \)
- \( \displaystyle 2;\text{ }4;\text{ }8;\text{ }18\ldots \)
Разобрался? Сравним наши ответы:
- Геометрическая прогрессия – 3, 6.
- Арифметическая прогрессия – 2, 4.
- Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями — 1, 5, 7.
Как найти любой член геометрической прогрессии
Если в геометрической прогрессии (????????) вы знаете первый член ????1 и знаменатель ????, то вы можете найти любой член прогрессии по формуле:
\( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\)
Почему это важно?
Ну чтобы не считать «врукопашную» (как в примере №2 ниже).
Пример 2. Найти 6-й член прогрессии
Вернемся к нашей последней прогрессии \( \displaystyle q=-3\), а \( \displaystyle {{b}_{1}}=4\) и попробуем так же как и в арифметической найти ее \( \displaystyle 6\) член.
Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения:
1-й способ. Последовательно умножаем каждый член на \( \displaystyle q\).
- \( \displaystyle {{b}_{1}}=4\)
- \( \displaystyle {{b}_{2}}=4\cdot \left( -3 \right)=-12\)
- \( \displaystyle {{b}_{3}}=-12\cdot \left( -3 \right)=36\)
- \( \displaystyle {{b}_{4}}=36\cdot \left( -3 \right)=-108\)
- \( \displaystyle {{b}_{5}}=-108\cdot \left( -3 \right)=324\)
- \( \displaystyle {{b}_{6}}=324\cdot \left( -3 \right)=-972\)
Итак, \( \displaystyle 6\)-ой член описанной геометрической прогрессии равен \( \displaystyle -972\).
2-й способ. По формуле, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии.
\( \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{6-1}}\)\( \displaystyle {{b}_{6}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{6-1}}=4\cdot {{\left( -3 \right)}^{5}}=-972\)Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии \( \displaystyle {{b}_{1}}\) на знаменатель \( \displaystyle q\) в степени, которая на \( \displaystyle 1\) единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:
\( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\) — уравнение членов геометрической прогрессии, где
- n — порядковый номер члена прогрессии;
- b1 — первый член прогрессии;
- q — знаменатель.
Данная формула верна для всех значений — как положительных, так и отрицательных.
Как найти член геометрической прогрессии, зная два соседних (или равноудаленных)
Помнишь свойство членов арифметической прогрессии?
Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил?
Вот это:
\( \displaystyle {{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}\) — свойство членов арифметической прогрессии.
Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии.
Как найти член геометрической прогрессии, зная два соседних. Формула в общем виде:
\( \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+1}}\cdot {{b}_{n-1}}}\ \), при \( \displaystyle n>2\)
Не забывай про условие при \( \displaystyle n>2\)?
Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать \( \displaystyle {{b}_{n}}\ \), при \( \displaystyle n=1\). Что получится в этом случае?
Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:
\( \displaystyle {{b}_{1}}=\sqrt{{{b}_{1+1}}\cdot {{b}_{1-1}}}\ \)Соответственно, не забывай это ограничение.
Возьмем, к примеру, простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны \( \displaystyle {{b}_{2}}=6\) и \( \displaystyle {{b}_{4}}=54\).
И посчитаем, чему же равно \( \displaystyle {{b}_{3}}\)
\( \displaystyle {{b}_{3}}=\sqrt{6\cdot 54}=\sqrt{324}=…\)Правильный ответ – \( \displaystyle {{b}_{3}}=\pm 18\)!
Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди \( \displaystyle {{b}_{n}}\ \), зная \( \displaystyle {{b}_{n+1}}\) и \( \displaystyle {{b}_{n-1}}\)
- \( \displaystyle {{b}_{n+1}}=4\), \( \displaystyle {{b}_{n-1}}=36\)
- \( \displaystyle {{b}_{n+1}}=-3\), \( \displaystyle {{b}_{n-1}}=-12\)
- \( \displaystyle {{b}_{n+1}}=-2\), \( \displaystyle {{b}_{n-1}}=-32\)
Сравни полученные ответы с правильными:
- \( \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 12\ \)
- \( \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 6\ \)
- \( \displaystyle {{b}_{n}}=\pm 8\ \)
Как найти равноудаленные члены геометрической прогрессии
Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него.
Например, нам необходимо найти \( \displaystyle {{b}_{3}}\ \), а даны \( \displaystyle {{b}_{1}}\ \) и \( \displaystyle {{b}_{5}}\ \). Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу?
Да! Формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.
И она приобретает вид:
\( \displaystyle {{b}_{n}}=\sqrt{{{b}_{n+k}}\cdot {{b}_{n-k}}}\ \), при \( \displaystyle k<n,\ \ \ \ k\in N\)
То есть, если в первом случае мы говорили, что \( \displaystyle k=1\), то сейчас мы говорим, что \( \displaystyle k\) может быть равен любому натуральному числу, которое меньше \( \displaystyle n\).
Главное, чтобы \( \displaystyle k\) был одинаков для обоих заданных чисел.
Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!
Три примера для тренировки
- \( \displaystyle {{b}_{1}}=-1\), \( \displaystyle {{b}_{5}}=-81\). Найти \( \displaystyle {{b}_{3}}\)
- \( \displaystyle {{b}_{2}}=128\), \( \displaystyle {{b}_{6}}=8\). Найти \( \displaystyle {{b}_{4}}\)
- \( \displaystyle {{b}_{3}}=18\), \( \displaystyle {{b}_{6}}=486\). Найти \( \displaystyle {{b}_{4}}\)
Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.
Сравниваем результаты.
В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:
Как найти неравноудаленные члены геометрической прогрессии
На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.
\( \displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}\ \) \( \displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{5}}\cdot q={{b}_{1}}\cdot {{q}^{5}}\ \) \( \displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}\cdot q={{b}_{1}}\cdot {{q}^{3}}\)Итак, у нас есть \( \displaystyle {{b}_{3}}\) и \( \displaystyle {{b}_{6}}\). Посмотрим, что с ними можно сделать?
Предлагаю разделить \( \displaystyle {{b}_{6}}\) на \( \displaystyle {{b}_{3}}\). Получаем:
\( \displaystyle \frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=\frac{{{b}_{1}}\cdot {{q}^{5}}}{{{b}_{1}}\cdot {{q}^{2}}}={{q}^{3}}\)Подставляем в формулу наши данные:
\( \displaystyle \frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=\frac{486}{18}=27\)Следующим шагом мы можем найти \( \displaystyle q\) – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.
\( \displaystyle {{q}^{3}}=27\ \ \Rightarrow \ q=\sqrt[3]{27}=3\)А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть \( \displaystyle {{b}_{3}}\), а найти нам необходимо \( \displaystyle {{b}_{4}}\), а он, в свою очередь равен:
\( \displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}\cdot q\)Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:
\( \displaystyle {{b}_{4}}=18\cdot 3=54\)Наш ответ: \( \displaystyle 54\).
Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: \( \displaystyle {{b}_{3}}=18\), \( \displaystyle {{b}_{5}}=648\)
Найти: \( \displaystyle {{b}_{2}}\)
Сколько у тебя получилось? У меня:
Сумма членов геометрической прогрессии
Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:
\( \displaystyle {{S}_{n}}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+…+{{b}_{n-2}}+{{b}_{n-1}}+{{b}_{n}}\)Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на \( \displaystyle q\).
Получим:
\( \displaystyle {{S}_{n}}q={{b}_{1}}q+{{b}_{2}}q+{{b}_{3}}q+…+{{b}_{n-2}}q+{{b}_{n-1}}q+{{b}_{n}}q\)Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например \( \displaystyle {{b}_{2}}={{b}_{1}}q\) и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое.
Что у тебя получилось?
\( \displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{n}}q-{{b}_{1}}\)Теперь вырази \( \displaystyle {{b}_{n}}\) через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:
\( \displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n-1}}q-{{b}_{1}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}-{{b}_{1}}\)Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:
\( \displaystyle {{S}_{n}}(q-1)={{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)\)Все, что осталось сделать – выразить \( \displaystyle {{S}_{n}}\):
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}\) или \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\)
Соответственно, в этом случае \( \displaystyle q\ne 1\).
А что если \( \displaystyle q=1\)? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при \( \displaystyle q=1\). Что она из себя представляет?
Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:
\( \displaystyle {{S}_{n}}=n{{b}_{1}}\)Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Совсем недавно мы говорили о том, что \( \displaystyle q\) может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения \( \displaystyle q\) при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.
При \( \displaystyle -1<q<1\) – прогрессия называется бесконечно убывающей.
Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из \( \displaystyle 5\) членов.
Допустим, \( \displaystyle {{b}_{1}}=1\), а \( \displaystyle q=\frac{1}{2}\), тогда:
- \( \displaystyle {{b}_{2}}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
- \( \displaystyle {{b}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
- \( \displaystyle {{b}_{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
- \( \displaystyle {{b}_{5}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в \( \displaystyle \frac{1}{2}\) раза, но будет ли какое-либо число \( \displaystyle {{b}_{n}}=0\)?
Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.
Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула \( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\) приобретает следующий вид:
\( \displaystyle {{b}_{n}}=1\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}\)На графиках нам привычно строить зависимость \( \displaystyle x\) от \( \displaystyle y\), поэтому:
\( \displaystyle {{b}_{n}}=y(x)\),
\( \displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x-1}}\)
Суть выражения не изменилась.
В первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера.
А во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за \( \displaystyle y\), а порядковый номер обозначили не как \( \displaystyle n\), а как \( \displaystyle x\).
Все, что осталось сделать – построить график. Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:
Видишь?
Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая.
Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\):
Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при \( \displaystyle q=2\), если первый ее член также равен \( \displaystyle 1\).
Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?
Справился? Вот какой график получился у меня:
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:
А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}\) или \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\)
К чему у нас стремится \( \displaystyle {{q}^{n}}\)? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю.
То есть при \( \displaystyle n\to \infty \), \( \displaystyle {{q}^{n}}\) будет почти равно \( \displaystyle 0\), соответственно, при вычислении выражения \( \displaystyle 1-{{q}^{n}}\) мы получим почти \( \displaystyle 1\).
В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна \( \displaystyle 1\).
Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{q-1}\)
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если \( \displaystyle -1<q<1\) или \( \displaystyle \left| q \right|<1\).
Решение 3 примеров на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
- Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с \( \displaystyle {{b}_{1}}=9\) и \( \displaystyle q=\frac{1}{3}\)
- Найди сумму первых \( \displaystyle 3\) членов геометрической прогрессии с \( \displaystyle {{b}_{1}}=64\) и \( \displaystyle q=\frac{1}{4}\)
- Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с \( \displaystyle {{b}_{1}}=2\) и \( \displaystyle q=\frac{1}{4}\).
Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике.
Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене – это задачи на вычисление сложных процентов.
Именно о них и пойдет речь.
Легенды и занимательные задачи на геометрическую прогрессию
Давай посмотрим как быстро Вася заразит весь класс гриппом.
Или узнаем сколько зерен будет если на каждое следующе поле шамотной доски класть в два раза больше зерен, чем на предыдущее (легенда о Сете). Какое помещение понадобиться и сколько времени нужно будет, чтобы посчитать зерна.
Или посчитаем сложные проценты, которые ты получишь, если положишь деньги в банк.
История возникновения геометрической прогрессии
Еще в древности итальянский математик Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли.
Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?
В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: \( \displaystyle 1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }8,\text{ }16…\)
Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие.
Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?
В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк под сложные проценты, или при оценке скорости распространения гриппа (или коронавируса), или при… создании финансовых пирамид!
Интересно? Давай разбираться.
Как быстро Вася заразит весь класс гриппом
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе \( \displaystyle 31\) человек.
Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?
Решение:
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть \( \displaystyle 1\) человек. \( \displaystyle 2\)-ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода.
Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А.
Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:
\( \displaystyle \begin{array}{l}{{b}_{1}}=1\\q=2\\{{S}_{n}}=31\end{array}\)Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}\) \( \displaystyle 31=\frac{1({{2}^{n}}-1)}{2-1}={{2}^{n}}-1\) \( \displaystyle \begin{array}{l}{{2}^{n}}=31+1\\{{2}^{n}}=32\\{{2}^{n}}={{2}^{5}}\\n=5\end{array}\)Весь класс заболеет за \( \displaystyle 5\) дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось?
Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по \( \displaystyle 3\) человека, а в классе училось \( \displaystyle 26\) человек.
Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя \( \displaystyle 3\) дня.
Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь.
В нашем случае, если представить, что класс изолирован, \( \displaystyle 16\) человек из \( \displaystyle 31\) замыкают цепочку (\( \displaystyle 51,6\%\)).
Таким образом, если бы \( \displaystyle 31\) человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то \( \displaystyle 16\) человек (\( \displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}{{q}^{4}}\) или в общем случае \( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}\)) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.
Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.
Легенда о Сете, создателе шахмат
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.
Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.
Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.
А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?
Начнем рассуждать.
Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\), за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии.
Чему равно \( \displaystyle q\) в этом случае? Правильно.
\( \displaystyle q=\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=2\)Всего клеток шахматной доски \( \displaystyle 64\). Соответственно, \( \displaystyle n=64\).
Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.
\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{1({{2}^{64}}-1)}{2-1}={{2}^{64}}-1\)Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем \( \displaystyle {{2}^{64}}\), используя свойства степени:
\( \displaystyle {{2}^{64}}={{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{2}^{4}}\)Раскроем далее значения \( \displaystyle {{2}^{10}}\) и \( \displaystyle {{2}^{4}}\). Как ты знаешь, \( \displaystyle {{2}^{10}}=1024\), а \( \displaystyle {{2}^{4}}=64\).
Подставим данное значение в предыдущее выражение:
\( \displaystyle {{2}^{64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).
То есть:
\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).
Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.
Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.
Задачи на вычисление сложных процентов
Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.
Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.
То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под \( \displaystyle 10\%\), то \( \displaystyle 10\%\) зачислятся только в конце года.
Соответственно, к окончанию вклада мы получим \( \displaystyle 110\) рублей.
Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада.
Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
Допустим, что мы кладем все те же \( \displaystyle 100\) рублей по \( \displaystyle 10\%\) годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?
\( \displaystyle 1\) месяц — \( \displaystyle 100\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)\)
Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.
Мы принесли в банк \( \displaystyle 100\) рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших \( \displaystyle 100\) рублей плюс процентов по ним, то есть:
\( \displaystyle 100+100\cdot x\%\)
Согласен?
Мы можем вынести \( \displaystyle 100\) за скобку и тогда мы получим:
\( \displaystyle 100+100\cdot x\%=100\cdot \left( 1+x\% \right)\)Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами
В условии задачи нам сказано про \( \displaystyle 10\%\) годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем \( \displaystyle 100\) на \( \displaystyle 10\) – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:
\( \displaystyle 10\%=\frac{10}{100}\)Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число \( \displaystyle 12\)? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО.
Как ты знаешь, в году \( \displaystyle 12\) месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц \( \displaystyle 12\) часть от годовых процентов:
\( \displaystyle 10\%\ ежегодно\ =\frac{10}{100\cdot 12}\ ежемесячно\)Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:
\( \displaystyle 10\%\ ежегодно\ =\frac{10}{100\cdot 365}\ ежедневно\)Молодец!
Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот, что получилось у меня:
\( \displaystyle 100\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)\cdot \left( 1+\frac{10}{100\cdot 12} \right)\)Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию.
Напиши, чему будет равен ее \( \displaystyle 12\) член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце \( \displaystyle 12\) месяца.
Сделал? Проверяем!
Еще один тип задач на сложные проценты (о прибыли)
Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал \( \displaystyle 5000\) долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет \( \displaystyle 100\%\) от капитала предыдущего года.
Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Думаю, ты уже знаешь, как и что считать, но на всякий случай распишу подробно:
\( \displaystyle {{b}_{1}}=5000\) — капитал компании «Звезда» в 2000 году.
\( \displaystyle {{b}_{2}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot \left( 1+1 \right)=5000\cdot 2=10000\) — капитал компании «Звезда» в 2001 году.
\( \displaystyle {{b}_{3}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot 4=20000\) — капитал компании «Звезда» в 2002 году.
\( \displaystyle {{b}_{4}}=5000\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)\cdot \left( 1+\frac{100\%}{100} \right)=5000\cdot 8=40000\) — капитал компании «Звезда» в 2003 году.
Либо мы можем написать кратко:
\( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\)Для нашего случая:
\( \displaystyle {{b}_{1}}=5000\)\( \displaystyle n=4\) — 2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
\( \displaystyle q\ =2\) — увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
Соответственно:
\( \displaystyle {{b}_{2003\ года}}=5000\cdot 2{{\ }^{4-1}}=5000\cdot {{2}^{3}}=5000\cdot 8=40000\) рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на \( \displaystyle 12\), ни на \( \displaystyle 365\), так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО.
То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.
4 задачи на тренировку
- Найдите \( \displaystyle 4\) член геометрической прогрессии, если известно, что \( \displaystyle {{b}_{1}}=3\), а \( \displaystyle q=-2\)
- Найдите \( \displaystyle 3\) член геометрической прогрессии, если известно, что \( \displaystyle {{b}_{1}}=7\), а \( \displaystyle {{b}_{5}}=567\)
- Найдите сумму первых \( \displaystyle 5\) членов геометрической прогрессии, если известно, что \( \displaystyle {{b}_{1}}=12\), а \( \displaystyle q=\frac{1}{3}\)
- Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал \( \displaystyle 5000\) долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет \( \displaystyle 100\%\) от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере \( \displaystyle 200\%\).
На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
Экономические задачи на вклады очень часто требуют знания геометрической прогрессии.
Эти задачи требуют также очень подробного и чёткого описания решения.
По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.
Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
В этом видео мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.
ЕГЭ №17. Экономическая задача. Вклады
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Вы предоставляете платные материалы, но не исключаете грубые ошибки!
Так в блоке «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» указано «При −1<q<1 – прогрессия называется бесконечно убывающей." Но если −1<q<0, то члены прогрессии чередуют знаки "+", "-". В других источниках сказано, что «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия, у которой |q|<1», с чем я соглашаюсь.
Роман, −1https://youclever.org/book/modul-chisla-2/
Осознал своё заблуждение! И правда, это по сути разные записи одинакового интервала значений знаменателя геометрической прогрессии. Смутило то, что при −1<q<0 члены прогрессии чередуют знаки. Понял, что как отрицательные так и положительные члены с каждой итерацией бесконечно приближаются к «0».
Не ошибается только тот, кто ничего не делает:) Отлично, что получилось разобраться!
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Александр
04 февраля 2018
Доступно, интересно, полезно!
Оксана
11 февраля 2018
Спасибо.., особенно за задачу на проценты
Стасик-таракан
24 февраля 2019
Вау, редко увидишь такое подробное объяснение. Вы читали книгу Абельсона Рождения Логарифмов? Очень похоже даете материал