Квадратные уравнения — 32 примера
Почему нужно обязательно научиться щёлкать квадратные уравнения как орешки?
Потому что решение многих уравнений сводится к решению квадратных! И будет обидно, например, на ЕГЭ решить более сложное уравнение и споткнуться на квадратном.
Изучи эту статью реши вместе с Алексеем все 32 примера и про квадратные уравнения ты будешь знать всё!
От дискриминанта, до теоремы Виета или метода выделения полного квадрата.
Квадратное уравнение — коротко о главном
Определения
Квадратное уравнение – это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\) — коэффициенты квадратного уравнения, \(c\) – свободный член.
Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты \(a\), \(b\), \(\displaystyle c\) не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(a=1\), то есть: \({x}^{2}+bx+c=0\).
Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(b\) и/или свободный член \(c\) равны нулю:
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+c=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle c\ne 0\):
1) Выразим неизвестное: \({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\),
2) Проверяем знак выражения \(\displaystyle -\frac{c}{a}\):
- если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений,
- если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\sqrt{(-\frac{c}{a})}\).
Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle b\ne 0\):
1) Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки: \(x\left( ax+b \right)=0\),
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: \(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)
Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):
Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).
Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(a,b,c\ne 0\)
Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\),
2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D={{b}^{2}}-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня, которые находятся по формуле: \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)
- если \(D=0\), то уравнение имеет \(1\) корень, который находится по формуле: \(\displaystyle x=\frac{-b}{2a}\)
- если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида \({x}^{2}+bx+c=0\), где \(a=1\)) равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\), т.е. \(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\), а \(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).
Решение методом выделения полного квадрата
Если квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) имеет корни \(\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\), то его можно записать в виде : \(\displaystyle a\cdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\).
Определение квадратного уравнения
В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное».
Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.
А определение квадратного уравнения выглядит так:
Квадратное уравнение, это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).
\(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, а \(c\) – свободным членом.
Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.
Как отличать квадратные уравнения от неквадратных
Рассмотрим на примерах.
Пример 1
\(\frac{3}{x}+\frac{x}{4}=21\)
Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)
\(\frac{4x\cdot 3}{x}+\frac{4x\cdot x}{4}=4x\cdot 21\)
\(12+{{x}^{2}}=84x\)
Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса
\({{x}^{2}}-84x+12=0\)
Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!
Пример 2
\(\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{8}\)
Домножим левую и правую часть на \(8x\):
\(\frac{8x\cdot 1}{x}=\frac{8x\cdot {{x}^{2}}}{8}\)
\(8={{x}^{3}}\)
Это уравнение, хотя в нем изначально был \({{x}^{2}}\), не является квадратным!
Пример 3
\({{x}^{2}}+6-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\)Домножим все на \({{x}^{2}}\):
\({{x}^{2}}{{x}^{2}}+6\cdot {{x}^{2}}-\frac{4\cdot {{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\)
\({{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4=0\)
Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену \(t={{x}^{2}}\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:
\({{t}^{2}}+6t-4=0\)
Пример 4
\({{x}^{2}}-3x+2=2x+{{x}^{2}}-1\)Вроде бы есть \({{x}^{2}}\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:
\({{x}^{2}}-3x+2-2{x}-{{x}^{2}}+1=0\) \({{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3{x}-2x+2+1=0\) \(-5x+3=0\)Видишь, \({{x}^{2}}\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!
Определи сам, какое из следующих уравнений является квадратным:
- \(\ 2{{x}^{2}}+3{x}-4=0\)
- \(\frac{6}{x}=\frac{x}{7}\)
- \(5{{x}^{2}}-11x=5{{x}^{2}}+14\)
- \(\frac{{{x}^{2}}}{8}-\frac{3}{x}=0\)
- \(3\left( {{x}^{2}}+2 \right)-11x=3{{x}^{2}}\)
- \(\frac{x}{3}-12=\frac{5}{x}\)
- \(\frac{2}{x}={{x}^{2}}\)
- \(12x+\frac{7}{x}-4=0\)
Ответы:
- квадратное
- квадратное
- не квадратное
- не квадратное
- не квадратное
- квадратное
- не квадратное
- квадратное
Два вида квадратных уравнений
Все квадратные уравнения можно разделить на два вида:
Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)).
Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю.
Например:
\(4{{x}^{2}}+5x=0\)
\(2{{x}^{2}}-9=0\)
\(6{{x}^{2}}=0\)
Неполные они потому, что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.
Зачем придумали такое деление?
Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.
Решение неполных квадратных уравнений
Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!
Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:
- \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
- \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
- \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Решение неполных квадратных уравнений первого типа
\(a{{x}^{2}}+c=0\) и \(a\ne 0\ \ c\ne 0\).
Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения
\({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\).
Выражение \(\displaystyle -\frac{c}{a}\) может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.
Так что: если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений.
А если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то получаем два корня \(x=\sqrt{-\frac{c}{a}}\).
Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).
Давай попробуем решить несколько примеров.
Пример 5
Решите уравнение \(2{{x}^{2}}-18=0\)
Выразим \({{x}^{2}}\)
\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)
\({{x}^{2}}=9\)
Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?
\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)
\(x=\pm 3\)
Ответ: \(-3;\text{ }3.\)
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!
Пример 6
Решите уравнение \(5{{x}^{2}}-80=0\)
\({{x}^{2}}=\frac{80}{5}\)
\({{x}^{2}}=16\)
\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{16}\)
\(x=\pm 4\)
Ответ: \(-4;\text{ }4.\)
Пример 7
Решите уравнение \(18{{x}^{2}}+54=0\)
\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)
\({{x}^{2}}=-3\)
Ой! Все ли здесь правильно?
Решение неполных квадратных уравнений второго типа
\(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0\).
Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:
\(x\left( ax+b \right)=0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\).
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8
Решите уравнение \(6{{x}^{2}}+15x=0\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:
\(x\left( 6x+15 \right)=0\)
Таким образом,
Решение неполных квадратных уравнений третьего типа
\(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0\).
Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
\(x=0\).
Здесь обойдемся без примеров.
Решение полных квадратных уравнений
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)
Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).
Пример: \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\), здесь \(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3\)
Шаг 2. Вычислить дискриминант по формуле: \( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)
Пример: \(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)\)\(\displaystyle=4+12=16\)
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле: \( \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)
Пример: \(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня.
Нужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения:
- Если \(D=0\), то формула на шаге \(3\) сократится до \( \displaystyle x=\frac{-b}{2a}\). Таким образом, уравнение будет иметь всего \(1\) корень.
- Если \(D<0\), то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге \(3\). Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней?
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)).
Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9
Решите уравнение \(4{{x}^{2}}+5{x}-6=0\)
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -6 \right)=25+96=121\)
\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 8}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{6}{8};\\{{x}_{2}}=-2.\end{array} \right.\)
Ответ: \(-2;\text{ }0,75\)
Пример 10
Решите уравнение \(4{{x}^{2}}-2x+0,25=0\)
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Пример 11
Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+4x+5=0\)
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.
А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):
\({{x}^{2}}+px+q=0\)
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).
Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 12
Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\)
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).
Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:
\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)
А произведение равно \(q\):
\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)
Составим и решим систему:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):
- \(12\) и \(1\). Сумма равна \(13\);
- \(2\) и \(6\). Сумма равна \(8\);
- \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).
\(3\) и \(4\) являются решением системы:
\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)
Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.
Ответ: \(3\); \(4\).
Пример 13
Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\)
Уравнение приведенное, а значит:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)
Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Пример 14
Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\)
Уравнение приведенное, а значит:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):
Пример 15
\({{x}^{2}}+5x+6=0\).
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):
Пример 16
\({{x}^{2}}-2{x}-24=0\).
Решение:
\(a=1;\text{ }b=-2;\text{ }c=-24.\)
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна \(2\):
Пример 17
Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\).
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)
Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Пример 18
Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\).
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):
Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма.
А для этого порешай-ка еще примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!
Тренировка теоремы Виета
- \({{x}^{2}}-8x+12=0\)
- \({{x}^{2}}+13x+36=0\)
- \(24{x}-22=2{{x}^{2}}\)
- \({{x}^{2}}-11{x}-26=0\)
- \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\)
Решения
Пример 19
{{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Пример 20
\({{x}^{2}}+13x+36=0\)
И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).
Пример 21
\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\)
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 2}{{x}^{2}}-24x+22=0\)
Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):
Пример 22
\(\displaystyle {{x}^{2}}-11{x}-26=0\)
Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).
Задание 5. \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\)
Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:
\(\displaystyle 2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\left| :2 \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+3{x}-28=0\)
Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):
Выводы:
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a{{y}^{2}}+c=0\).
Например:
\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+9}_{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2,\\x=-4.\end{array} \right.\)
Пример 23
Решите уравнение: \(4{{x}^{2}}+12{x}-7=0\).
Решение:
Пример 24
Решите уравнение: \(3{{x}^{2}}+12x+8=0\).
Решение:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x \right)+c=a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x \right)+c=\) \(a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x+{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}} \right)+c-a\cdot {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}=a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}.\)
Значит, \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}\).
Отсюда следует: \( \displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\).
Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
Выделение полного квадрата — это самое сложное и важное умение, относящееся к формулам сокращенного умножения.
Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.
В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык и вы сможете приобрести его посмотрев это видео.
Выделение полного квадрата (разбор 8 примеров)
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Михаил
15 апреля 2019
Здравствуйте, большое спасибо за материалы! Могу ошибаться, но в части про определение квадратного уравнения в примере 2 для самостоятельной работы допущена опечатка, конкретнее в ответах написано, что уравнение квадратное, хотя таким не является. Мы обе части уравнения умножаем на 7x после чего в левой сокращаются иксы, а в правой семерки и получаем 42 = x^2. На сколько понял такой вид не является квадратным. И еще раз спасибо за материалы! Очень доступно описано то, обо что я бился головой не один день
Александр (админ)
15 апреля 2019
Пожалуйста, Михаил. Очень рады, что понравился наш материал. По поводу вопроса. Я вижу в уравнении, которое ты привел переменную в квадрате, тот самый икс в квадрате. (42 = x^2). А по нашему вольному определению, данному вначале этого текста, уравнение является квадратным, если у него есть переменная в квадрате и нет переменных в 3-й и более степеней.
Алексей
23 августа 2019
Здравствуйте! Скажите почему в неполных квадратных уравнениях (в 3 типе) нельзя перенести второе слагаемое вправо, а затем поделить на x. Получиться что x не равен 0. Но это не так! Мы ведь можем левую и правую часть подвергать любым операциям или это кроме операций с переменной (умножать на ее, делить и т.д.) Или в конце просто сделать проверку?
Алексей Шевчук
25 августа 2019
Алексей, всё верно, на переменную умножать, делить и т.д. нельзя, если мы не уверены, что она не равна нулю. Если это сделать, то даже проверка не поможет найти упущенные корни. Пример, когда можно делить: (x^2+1)*x = 5*(x^2+1) здесь можно поделить на скобку (x^2+1), так как она равной нулю быть не может. Но для того, чтобы схема решения была универсальной, даже в таких задачах лучше всё переносить в одну сторону и раскладывать на множители — так меньше вероятность ошибки, и не придётся каждый раз анализировать, можно на неё делить или нет.