Квадратные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то квадратное уравнение, это уравнение вида  , где   – неизвестное,  ,  ,   – некоторые числа, причем  .  и   называют коэффициентами квадратного уравнения, а   – свободным членом.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

 

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на  

 

 

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

 

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

 

Домножим левую и правую часть на  :

 

 

Это уравнение, хотя в нем изначально был  , не является квадратным!

Пример 3.

 

Домножим все на  :

 

 

Страшно? Четвертая и третья степени… Однако, если произвести замену  , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

 

Пример 4.

 

Вроде бы есть  , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

 

 

 

Видишь,   сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Ответы:

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на   вида:

  • Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты   и  , а также свободный член с не равны нулю (как в примере  ). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент   (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
  • Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент   и или свободный член с равны нулю:
     
     
     
    Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают   типов:

  1.  , в этом уравнении коэффициент   равен  .
  2.  , в этом уравнении свободный член   равен  .
  3.  , в этом уравнении коэффициент   и свободный член   равны  .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1.   и  . Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

  .

Выражение   может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число, так что: если  , то уравнение не имеет решений.

А если  , то получаем два корня  . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что   не может быть меньше  .

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение  

Выразим  

 

 

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

 

 

Ответ:  

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение  

 

 

 

 

Ответ:  

Пример 7:

Решите уравнение  

 

 

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

  нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок –   (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:  

2.  .

Вынесем общим множитель   за скобки:

 .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

 .

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение  

Вынесем общий множитель   за скобки:

 

Таким образом,

 

У этого уравнения два корня.

Ответ:  

3.  .

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

 .

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение   где  

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если  , то уравнение имеет   корняНужно особое внимание обратить на шаг  . Дискриминант ( ) указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример: 
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:  Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты   и   и свободный член  .  ,здесь 
Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:    
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:    
  • Если  , то формула на шаге   сократится до  . Таким образом, уравнение будет иметь всего   корень.
  • Если  , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге  . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции   является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение,  . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось  ). Парабола может вообще не пересекать ось  , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси  ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент  . Если  , то ветви параболы направлены вверх, а если   – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

 

Ответ:  

Пример 10:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет один корень.

 

Ответ:  

Пример 11:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус   он получил.
А корней произведенье дает   из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен  ):

 

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения   равна  , а произведение корней равно  .

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 12:

Решите уравнение  

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к.  .

Сумма корней уравнения равна  , т.е. получаем первое уравнение:

 

А произведение равно  :

 

Составим и решим систему:

 

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , и проверим, равна ли их сумма  :

  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  .

  и   являются решением системы:

 

Таким образом,   и   – корни нашего уравнения.

Ответ:  ;  .

Пример 13:

Решите уравнение  

Уравнение приведенное, а значит:

 

Свободный член   отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  

Очевидно, что под первое условие   подходят только корни   и  :

 

Ответ:  

Пример 14:

Решите уравнение  

Уравнение приведенное, а значит:

 

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  :

  •   и  
  •   и  

Очевидно, что корнями являются числа   и  .

 

Ответ:  

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку