Квадратные уравнения. Средний уровень.

Квадратное уравнение - это уравнение вида  , где   – неизвестное,  ,   - коэффициенты квадратного уравнения,   – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты  ,  ,   не равны нулю. 

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент  , то есть:  .

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент   и или свободный член с равны нулю:

  • если коэффициент  , уравнение имеет вид:  ,
  • если свободный член  , уравнение имеет вид:  ,
  • если   и  , уравнение имеет вид:  .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида  , где  ,  :

1) Выразим неизвестное:   ,

2) Проверяем знак выражения  :

  • если  , то уравнение не имеет решений,
  • если  , то уравнение имеет два корня  .

1.2. Неполное квадратное уравнение вида  , где  ,  :

1) Вынесем общим множитель   за скобки:  ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:  

1.3. Неполное квадратное уравнение вида  , где  :

Данное уравнение всегда имеет только один корень:  .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида   где  

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду:  ,

2) Вычислим дискриминант по формуле:  , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если  , то уравнение имеет   корня, которые находятся по формуле:  
  • если  , то уравнение имеет   корень, который находится по формуле:  
  • если  , то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида  , где  ) равна  , а произведение корней равно  , т.е.  , а  .

2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида   имеет корни  , то его можно записать в виде :  .

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то квадратное уравнение, это уравнение вида  , где   – неизвестное,  ,  ,   – некоторые числа, причем  .  и   называют коэффициентами квадратного уравнения, а   – свободным членом.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

 

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на  

 

 

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

 

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

 

Домножим левую и правую часть на  :

 

 

Это уравнение, хотя в нем изначально был  , не является квадратным!

Пример 3.

 

Домножим все на  :

 

 

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену  , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

 

Пример 4.

 

Вроде бы есть  , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

 

 

 

Видишь,   сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Ответы:

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на   вида:

  • Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты   и  , а также свободный член с не равны нулю (как в примере  ). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент   (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
  • Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент   и или свободный член с равны нулю:
     
     
     
    Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают   типов:

  1.  , в этом уравнении коэффициент   равен  .
  2.  , в этом уравнении свободный член   равен  .
  3.  , в этом уравнении коэффициент   и свободный член   равны  .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1.   и  . Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

  .

Выражение   может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число, так что: если  , то уравнение не имеет решений.

А если  , то получаем два корня  . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что   не может быть меньше  .

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение  

Выразим  

 

 

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

 

 

Ответ:  

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение  

 

 

 

 

Ответ:  

Пример 7:

Решите уравнение  

 

 

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

  нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок –   (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:  

2.  .

Вынесем общим множитель   за скобки:

 .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

 .

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение  

Вынесем общий множитель   за скобки:

 

Таким образом,

 

У этого уравнения два корня.

Ответ:  

3.  .

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

 .

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение   где  

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если  , то уравнение имеет   корняНужно особое внимание обратить на шаг  . Дискриминант ( ) указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример: 
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:  Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты   и   и свободный член  .  ,здесь 
Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:    
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:    
  • Если  , то формула на шаге   сократится до  . Таким образом, уравнение будет иметь всего   корень.
  • Если  , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге  . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции   является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение,  . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось  ). Парабола может вообще не пересекать ось  , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси  ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент  . Если  , то ветви параболы направлены вверх, а если   – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

 

Ответ:  

Пример 10:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет один корень.

 

Ответ:  

Пример 11:

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус   он получил.
А корней произведенье дает   из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен  ):

 

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения   равна  , а произведение корней равно  .

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 12:

Решите уравнение  

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к.  .

Сумма корней уравнения равна  , т.е. получаем первое уравнение:

 

А произведение равно  :

 

Составим и решим систему:

 

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , и проверим, равна ли их сумма  :

  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  .

  и   являются решением системы:

 

Таким образом,   и   – корни нашего уравнения.

Ответ:  ;  .

Пример 13:

Решите уравнение  

Уравнение приведенное, а значит:

 

Свободный член   отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  

Очевидно, что под первое условие   подходят только корни   и  :

 

Ответ:  

Пример 14:

Решите уравнение  

Уравнение приведенное, а значит:

 

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  :

  •   и  
  •   и  

Очевидно, что корнями являются числа   и  .

 

Ответ:  

Что такое квадратное уравнение?

Квадратными называются уравнения, в которых присутствует переменная в квадрате, и при этом нет переменной в степенях, больших  .

Другими словами, квадратное уравнение – это уравнение вида  , где   – неизвестное,  ,  ,   – некоторые числа, причем  .

Число   называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения,   – вторым коэффициентом, а   – свободным членом.

Почему  ? Потому что если  , уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет  .

При этом   и   могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть  , уравнение – полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений – они проще.

Можно выделить   типа таких уравнений:

I.  , в этом уравнении коэффициент   и свободный член   равны  .

II.  , в этом уравнении коэффициент   равен  .

III.  , в этом уравнении свободный член   равен  .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

I.  .

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

 

II.  .

Выразим  :

 

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если  , то уравнение не имеет решений;

если  , имеем учаем два корня  

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что   не может быть меньше  .

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:

1.  

Выразим  :

 

 

 

 

Ответ:  

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

2.  

 

 

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

  нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества  .

Ответ:  

3.  

Итак, это уравнение имеет два корня:   и  .

Ответ:  

III.  .

Вынесем общим множитель   за скобки:

 

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

 

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня:   и  .

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

 

Ответ:  

Методы решения полных квадратных уравнений:

  при  

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Алгоритм Пример: 
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:  Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты   и   и свободный член  .

 ,

здесь

 

Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:    
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:    

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант   указывает нам на количество корней уравнения.

  • Если  , то уравнение имеет   корня:
     
  • Если  , то уравнение имеет   одинаковых корня, а по сути, один корень:
     
    Такие корни называются двукратными.
  • Если  , то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции   является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение,  . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось  ). Парабола может вообще не пересекать ось  , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси  ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент  . Если  , то ветви параболы направлены вверх, а если   – то вниз.

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Решения:

1.  

 

 

 

 

 

Ответ:  

2.  

 

 

 

 

 

Ответ:  .

3.  

 

 

 

Ответ:  

4.  

 

 

 , а значит, решений нет.

Ответ:  .

2. Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида  , то есть уравнение, старший коэффициент которого равен единице ( ).
Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения   равна  , а произведение корней равно свободному члену  .

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ( ).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение  .

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к.  . Остальные коэффициенты:  ;  .

Сумма корней уравнения равна  :

 

А произведение равно  :

 

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , и проверим, равна ли их сумма  :

  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  ;
  •   и  . Сумма равна  .

  и   являются решением системы:

 

Таким образом,   и   – корни нашего уравнения.

Ответ:   .

Пример №2:

 .

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают  , а затем проверим, равна ли их сумма  :

  и  : в сумме дают  .

  и  : в сумме дают  . Чтобы получить  , достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней:   и  , ведь произведение.

Ответ:  

Пример №3:

 .

Решение:

 

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают  , и разность которых равна  :

  и  : их разность равна   – не подходит;

  и  :   – не подходит;

  и  :   – не подходит;

  и  :   – подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться  , то отрицательным должен быть меньший по модулю корень:  . Проверяем:  

Ответ:  

Пример №4:

Решите уравнение  .

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

 

Свободный член   отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  , а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  

Очевидно, что под первое условие   подходят только корни   и  :

 

Ответ:  

Пример №5:

Решите уравнение  .

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

 

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно  :

  •   и  
  •   и  

Очевидно, что корнями являются числа   и  .

 

Ответ:  

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускоритьнахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1.  

По теореме Виета:

 

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

  – не подходит, так как сумма  ;

 : сумма   – то что надо.

Ответ:  ;  .

Задание 2.  

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться  , а произведение равно  .

 

Но так как должно быть не  , а  , меняем знаки корней:   и   (в сумме  ).

Ответ:  ;  .

Задание 3.  

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

 

Сумма корней равна  , произведение  .

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным  :

 

Отлично. Тогда сумма корней равна  , а произведение  .

Тут подобрать проще простого: ведь   – простое число (извини за тавтологию).

 

 

Ответ:  ;  .

Задание 4.  

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна  , а произведение  .

 

Итак, корни равны   и  , но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть  . Значит, минус будет у меньшего корня:   и  , так как  .

Ответ:  ;  .

Задание 5.  

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

 

Снова: подбираем множители числа  , и их разность должна равняться  :

 

Корни равны   и  , но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна  , значит, с минусом будет больший корень.

Ответ:  ;  .

Подведу итог:
  1. Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
  2. Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
  3. Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное  , представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа  .

Например:

 

 

Пример 1:

Решите уравнение:  .

Решение:

 

 

Ответ:  

Пример 2:

Решите уравнение:  .

Решение:

 

 

Ответ:  

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

   

Значит,  .

Отсюда следует:  .

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть