Медиана. Начальный уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Треугольник

Отметь на какой-нибудь его стороне середину  .

Середина произвольной стороны треугольника

И соедини с противоположной вершиной!

Медиана треугольника

Получившаяся линия   и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник   – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Медиана равна половине гипотенузы Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на ... прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Медиана. Свойство 1. Доказательство 1

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  :

Медиана. Свойство 1. Доказательство 2

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб...»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Медиана. Свойство 1. Доказательство 3

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача  
 
 
Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медиана. Свойство 2 Медианы  ,   и   пересекаются в одной точке.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  .

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике   проведены медианы   и  , которые пересекаются в точке  . Найти  , если  

Медиана. Задача Решение
  - треугольник прямоугольный! Значит,  .
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём   по теореме Пифагора:

 
 

Значит,  .

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим  . Отрезок  , а  . Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что  .

Значит,  ;  .

В задаче нас спрашивают об отрезке  .

В наших обозначениях  .

Значит,  .

Ответ:  .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку