Медиана. Начальный уровень.

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана - линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

 

 

Но  , значит,

 

3. Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

4. Формула длины медианы

 

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Треугольник

Отметь на какой-нибудь его стороне середину  .

Середина произвольной стороны треугольника

И соедини с противоположной вершиной!

Медиана треугольника

Получившаяся линия   и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник   – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Медиана равна половине гипотенузы Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на ... прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Медиана. Свойство 1. Доказательство 1

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  :

Медиана. Свойство 1. Доказательство 2

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб...»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Медиана. Свойство 1. Доказательство 3

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача  
 
 
Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медиана. Свойство 2 Медианы  ,   и   пересекаются в одной точке.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  .

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике   проведены медианы   и  , которые пересекаются в точке  . Найти  , если  

Медиана. Задача Решение
  - треугольник прямоугольный! Значит,  .
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём   по теореме Пифагора:

 
 

Значит,  .

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим  . Отрезок  , а  . Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что  .

Значит,  ;  .

В задаче нас спрашивают об отрезке  .

В наших обозначениях  .

Значит,  .

Ответ:  .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана - линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Медиана треугольника Посмотри на рисунок. Линия   – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

медиана делит площадь пополам  

И применим эту формулу аж два раза!

Две медианы.

Посмотри, медиана   разделила   на два треугольника:   и  . Но! Высота-то у них одна и та же –  ! Только в   эта высота   опускается на сторону  , а в   – на продолжение стороны  . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу  .

1) B  :

" " – это  
" " – это  
 

2) B  :

" " – это  
" " – это опять  
 

Запишем ещё раз:

  

Но  ! (Посмотри на рисунок или вспомни, что   – медиана).

Значит,   - площадь   разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно - всего-то одна формула площади.

3. Три медианы треугольника

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.


Три медианы треугольника

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении  , считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой  .

Соединим точки   и  . Что получилось?

Конечно,   - средняя линяя  . Ты помнишь, что это значит?
  1.   - параллельна  ;
  2.  .

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину   – поставим точку  , отметим середину   - поставим точку  .

Теперь   – средняя линия  . То есть

  1.   параллельна  ;
  2.  .

Заметил совпадения? И   , и   – параллельны  . И  , и  .

Что из этого следует?

  1.   параллельна  ;
  2.  
Посмотри теперь на четырехугольник  . У какого четырехугольника противоположные стороны (  и  ) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит,   – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось, что

  1.   (мы так выбирали точку  )
  2.   (из-за того, что   – параллелограмм)

То есть   - медиана   разделена точками   и   на три равные части. И точно так же  .

Значит, точкой   обе медианы разделились именно в отношении  , то есть   и  .

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану   и проведем медианы   и  .

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан   и  . Что тогда?

Получится, что медиана   разделит медиану   абсолютно точно так же: в отношении  , считая от точки  .

Но сколько же может быть точек на отрезке  , которые делят его в отношении  , считая от точки  ?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка  .

Что же получилось в итоге?

Медиана   точно прошла через  ! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении  , считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

Итак,  

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

свойство медианы прямоугольного треугольника

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ...»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача  
 
 
Вот и ответ!

Комментарии

Бакыт
26 марта 2018

Очень полезно! Теперь я понял, как доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой же гипотенузы. Спасибо за объяснение, оно очень подробное и легкое!

ответить

Александр (admin)
26 марта 2018

Молодец, Бакыт! Умение доказывать - это очень важный навык, ключевой. Спасибо и тебе за отзыв!

ответить

Алмаз
22 апреля 2018

Спасибо вам большое, раньше не хотел учить, но теперь понял что пригодиться. Вернул утраченные знания!

ответить

Александр (админ)
22 апреля 2018

Пожалуйста, Алмаз! Лучше поздно, чем никогда. Мы рады, что наш сайт помог восстановить знания!Так держать! :)

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть