Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)

Привет!

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Поехали!

Медиана треугольника – коротко о главном

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана делит площадь треугольника пополам


\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}~AM\cdot BH;\)

\( \displaystyle {{S}_{\Delta BMC}}=\frac{1}{2}~CM\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\)

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.


\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}~AM\cdot BH;\)

\( \displaystyle {{S}_{\Delta BMC}}=\frac{1}{2}~CM\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\)

Длина медианы: \( \displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\)


В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.


и наоборот…

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Определение медианы треугольника

Это очень просто! Возьми треугольник.

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.


Медиана треугольника  отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!


Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.


Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.


Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).

Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac{AB}{2}\), то \( \displaystyle \angle ACB=90{}^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

\( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)

\( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169\)

Ответ: \( AB=13\)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.


Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

Запомни:

  • \( \displaystyle AO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle OM\);
  • \( \displaystyle BO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle ON\);
  • \( \displaystyle CO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle OK\).

Задача №2: 

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) проведены медианы \( \displaystyle BM\) и \( \displaystyle AK\), которые пересекаются в точке \( \displaystyle O\). Найти \( \displaystyle BO\), если \( \displaystyle AB=3;\text{ }BC=4,\text{ }\angle B=90{}^\circ .\)

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90{}^\circ \) – треугольник прямоугольный! 

Значит, \( BM=\frac{AC}{2}\).

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

\( A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25\)

\( AC=5\)

Значит, \( BM=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}\).

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим \( \displaystyle OM=x\). Отрезок \( BO=2OM=2x\), а \( BM=3x\). Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что \( BM=\frac{5}{2}\).

Значит, \( 3x=\frac{5}{2}\); \( x=\frac{5}{6}\).

В задаче нас спрашивают об отрезке \( \displaystyle BO\).

В наших обозначениях \( BO=2x=\frac{5}{6}\cdot 2\).

Значит, \( BO=\frac{5}{3}\).

Ответ: \( BO=\frac{5}{3}\).

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

Теорема о медиане и площади треугольника

Медиана делит площадь треугольника пополам


Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

\( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

“\( \displaystyle a\)” – это \( \displaystyle AM\)
“\( \displaystyle h\)” – это \( \displaystyle BH\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\)

2) B \( \displaystyle \triangle BMC\):

“\( \displaystyle a\)” – это \( \displaystyle CM\)
“\( \displaystyle h\)” – это опять \( \displaystyle BH\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Запишем ещё раз:

\( \displaystyle \ {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\); \( \displaystyle \ {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что \( \displaystyle BM\) – медиана).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\) – площадь \( \displaystyle \triangle ABC\) разделилась на две равные части.

Ура! Доказали теорему о том, что медиана делит площадь треугольника пополам.


И получилось совсем несложно – всего-то одна формула площади.

Теорема о трех медианах треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.


Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

  • \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
  • \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) – поставим точку \( \displaystyle G\).

Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:

  • \( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
  • \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

  • \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
  • \( \displaystyle NK=FG\)

Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

  • \( \displaystyle AF=FE\) (мы так выбирали точку \( \displaystyle F\))
  • \( \displaystyle FE=EK\) (из-за того, что \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм)

То есть \( \displaystyle AF=FE=EK\) – медиана \( \displaystyle AK\) разделена точками \( \displaystyle F\) и \( \displaystyle E\) на три равные части.

И точно так же \( \displaystyle CG=GE=EN\).

Значит, точкой \( \displaystyle E\) обе медианы разделились именно в отношении \( \displaystyle 2:1\), то есть \( \displaystyle AE=2EK\) и \( \displaystyle CE=2NE\).

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало.

Давай выбросим медиану \( \displaystyle CN\) и проведем медианы \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle BM\).

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle CN\). Что тогда?

Получится, что медиана \( \displaystyle BM\) разделит медиану \( \displaystyle AK\) абсолютно точно так же: в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от точки \( \displaystyle A\).

Но сколько же может быть точек на отрезке \( \displaystyle AK\), которые делят его в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от точки \( \displaystyle A\)?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка \( \displaystyle E\).

Что же получилось в итоге?

Медиана \( \displaystyle BM\) точно прошла через \( \displaystyle E\)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от вершины.

Вот и доказали теорему о трех медианах треугольника!

Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Формула длины медианы треугольника

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно?

Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.

Итак, \( \displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\)

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать – это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все “проблемы” с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и “обычные” треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой – почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.

И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую – прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Так… Что думаешь? 🙂

Оказывается, у медианы намного больше ствойств, чем просто деление стороны пополам. И эти свойства очень полезны.

Мы рассказали тебе все о медиане. А теперь ты расскажи нам, что думаешь об этой статье. 

Какое свойство тебя удивило?  Что понравилось?

Оставь комментарий ниже. И задай свои вопросы, если такие есть.

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Бакыт
    26 марта 2018
    Очень полезно! Теперь я понял, как доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой же гипотенузы. Спасибо за объяснение, оно очень подробное и легкое!

    Алмаз
    22 апреля 2018
    Спасибо вам большое, раньше не хотел учить, но теперь понял что пригодиться. Вернул утраченные знания!

    Диана
    13 ноября 2019
    Все рассказано не сухим геометрическим доказательством, а реально с юмором. Подходит для закрепления информации

    Деннкафф
    03 апреля 2020
    Спс очень доступно и полезно рассказал!