14 июля

1 comments

Медиана. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Поехали!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия \( \displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медианы

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник \( \displaystyle ABC\) – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на ... прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник \( \displaystyle ABCD\).

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб...»)
Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\). Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\). Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac{AB}{2}\), то \( \displaystyle \angle ACB=90{}^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

\( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)

\( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169\)

\( AB=13\)

Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.


И… ( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  • \( \displaystyle AO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle OM\);
  • \( \displaystyle BO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle ON\);
  • \( \displaystyle CO\) – вдвое больше, чем \( \displaystyle OK\).

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача:

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) проведены медианы \( \displaystyle BM\) и \( \displaystyle AK\), которые пересекаются в точке \( \displaystyle O\). Найти \( \displaystyle BO\), если \( \displaystyle AB=3;\text{ }BC=4,\text{ }\angle B=90{}^\circ .\)

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90{}^\circ \) – треугольник прямоугольный!

Значит, \( BM=\frac{AC}{2}\).

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

\( A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25\)

\( AC=5\)

Значит, \( BM=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}\).

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим \( \displaystyle OM=x\). Отрезок \( BO=2OM=2x\), а \( BM=3x\). Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что \( BM=\frac{5}{2}\).

Значит, \( 3x=\frac{5}{2}\); \( x=\frac{5}{6}\).

В задаче нас спрашивают об отрезке \( \displaystyle BO\).

В наших обозначениях \( BO=2x=\frac{5}{6}\cdot 2\).

Значит, \( BO=\frac{5}{3}\).

Ответ: \( BO=\frac{5}{3}\).

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Медиана - линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Посмотри на рисунок. Линия \( \displaystyle BM\) – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

Теорема о площади

Медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

\( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\)

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\). Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)! Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\). Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу \( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

"\( \displaystyle a\)" – это \( \displaystyle AM\)
"\( \displaystyle h\)" – это \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\)

2) B \( \displaystyle \triangle BMC\):

"\( \displaystyle a\)" – это \( \displaystyle CM\)
"\( \displaystyle h\)" – это опять \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Запишем ещё раз:

\( \displaystyle \ {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\); \( \displaystyle \ {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что \( \displaystyle BM\) – медиана).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\) - площадь \( \displaystyle \triangle ABC\) разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно - всего-то одна формула площади.

Три медианы треугольника

Теорема.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

  1. 1
    \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
  2. 2
    \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) - поставим точку \( \displaystyle G\).

Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:

  1. 1
    \( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
  2. 2
    \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

  • \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
  • \( \displaystyle NK=FG\)

Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось, что

  • \( \displaystyle AF=FE\) (мы так выбирали точку \( \displaystyle F\))
  • \( \displaystyle FE=EK\) (из-за того, что \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм)

То есть \( \displaystyle AF=FE=EK\) – медиана \( \displaystyle AK\) разделена точками \( \displaystyle F\) и \( \displaystyle E\) на три равные части. И точно так же \( \displaystyle CG=GE=EN\).

Значит, точкой \( \displaystyle E\) обе медианы разделились именно в отношении \( \displaystyle 2:1\), то есть \( \displaystyle AE=2EK\) и \( \displaystyle CE=2NE\).

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану \( \displaystyle CN\) и проведем медианы \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle BM\).

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle CN\). Что тогда?

Получится, что медиана \( \displaystyle BM\) разделит медиану \( \displaystyle AK\) абсолютно точно так же: в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от точки \( \displaystyle A\).

Но сколько же может быть точек на отрезке \( \displaystyle AK\), которые делят его в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от точки \( \displaystyle A\)?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка \( \displaystyle E\).

Что же получилось в итоге?

Медиана \( \displaystyle BM\) точно прошла через \( \displaystyle E\)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении \( \displaystyle 2:1\), считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.

Итак, \( \displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\)

Медиана в прямоугольном треугольнике

Теорема. 

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник \( \displaystyle ABCD\).

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\)

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ...»)
Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\). Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В \( \displaystyle \triangle ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\). Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Рисуем:

Сразу вспоминаем: если \( \displaystyle CN=\frac{AB}{2}\), то \( \displaystyle \angle ACB=90{}^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

\( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)

\( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169\)

\( AB=13\)

Вот и ответ!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}~AM\cdot BH;\)\( \displaystyle {{S}_{\Delta BMC}}=\frac{1}{2}~CM\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит,

 \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\)

3. Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}~AM\cdot BH;\)

\( \displaystyle {{S}_{\Delta BMC}}=\frac{1}{2}~CM\cdot BH\)

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит,

 \( \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\)

4. Формула длины медианы

\( \displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\)

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Так... Что думаешь? 🙂

Оказывается, у медианы намного больше ствойств, чем просто деление стороны пополам. И эти свойства очень полезны.

Мы рассказали тебе все о медиане. А теперь ты расскажи нам, что думаешь об этой статье. 

Какое свойство тебя удивило?  Что понравилось?

Оставь комментарий ниже. И задай свои вопросы, если такие есть.

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Бакыт
    26 марта 2018
    Очень полезно! Теперь я понял, как доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой же гипотенузы. Спасибо за объяснение, оно очень подробное и легкое!

    Алмаз
    22 апреля 2018
    Спасибо вам большое, раньше не хотел учить, но теперь понял что пригодиться. Вернул утраченные знания!

    Диана
    13 ноября 2019
    Все рассказано не сухим геометрическим доказательством, а реально с юмором. Подходит для закрепления информации

    Деннкафф
    03 апреля 2020
    Спс очень доступно и полезно рассказал!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >