30 июля

0 comments

Параллельность плоскостей. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.

Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.

Читай статью и будешь знать о параллельности плоскостей все!

Определение параллельности плоскостей

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Слишком много слов? А ты посмотри на картинку: если \( \displaystyle a\parallel {a}'\) и \( \displaystyle b\parallel {b}'\), то это значит, что \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle {{\alpha }'}\) (плоскости) - параллельны, то есть нигде не пересекутся.

Ух, ну и название! О чём же мы?

А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая \( \displaystyle a \) параллельна прямой \( \displaystyle b\), a \( \displaystyle ~b\parallel c\), то \( \displaystyle a\parallel c\)?

И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “\( \displaystyle a\)” через “\( \displaystyle b\)” на “\( \displaystyle c\)” и называется «транзитивность».

Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:

\( \displaystyle a\parallel b\) и \( \displaystyle b\parallel c\Rightarrow a\parallel c\).

\( \displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\!\!~\!\!\quad\) и \( \displaystyle\quad\!\!\beta\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\Rightarrow \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\).

\( \displaystyle a\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\quad\) и \( \displaystyle \quad\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\).

\( \displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel b\quad\) и \( \displaystyle\quad b\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

И один неверный вариант:

\( \displaystyle a\parallel \alpha \) и \( \displaystyle \alpha \parallel b\) \( \displaystyle\quad\text{НЕ} \Rightarrow \) \( \displaystyle a\parallel b\).

Посмотри – убедись!

Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример на признак параллельности плоскостей

Пусть в пирамиде \( \displaystyle SABC\) проведена плоскость \( \displaystyle MNK\) через середины рёбер \( \displaystyle SA\), \( \displaystyle SB\) и \( \displaystyle SC\).

Тогда \( \displaystyle MNK\parallel ABC\). Почему?

Да просто \( \displaystyle MN\parallel AB\) (средняя линия), \( \displaystyle NK\parallel BC\) (тоже средняя линия, но в \( \displaystyle \Delta SBC\)).

Значит, получилось, что \( \displaystyle MN\) и \( \displaystyle NK\) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle MNK\parallel ABC\).

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, но такие плоскости параллельны.
Если прямая \( \displaystyle a \) параллельна прямой \( \displaystyle b\), a \( \displaystyle ~b\parallel c\), то \( \displaystyle a\parallel c\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Расскажи про свой опыт!

Сегодня ты разобрался в параллельности плоскостей. И я уверен, что однажды ты воспользуешься своими знаниями!

А теперь мы будем очень рады услышать твое мнение о статье. Помогла ли она тебе? Достаточно ли она подробна? 

Напиши в комментариях ниже! И задай вопросы, если такие есть.

Мы обязательно ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>