Параллельность прямых, прямой и плоскости и параллельность плоскостей в пространстве
Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?
Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые.
Но… всё немного иначе.
А еще есть параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.
Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.
Читай статью и будешь знать о параллельности плоскостей все!
Параллельность прямых в пространстве
Определение
Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Вот так:
![parallelnye pryamye na ploskosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Обрати внимание! Здесь очень важны слова «лежат в одной плоскости».
Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:
![skreshivayushiesya pryamye ploskosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Видишь, через прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются.
Такие прямые называются скрещивающиеся.
Не пересекающиеся! И не параллельные!
Итак, ещё раз:
Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Признаки параллельности прямых в пространстве
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.
Пример на признак параллельности прямых в пространстве
Пусть плоскости \( \displaystyle ABDC\) и \( \displaystyle CDFE\).
\( \displaystyle AB\parallel EF\), значит, \( \displaystyle AB\parallel CD\) по признаку параллельности прямых в пространстве.
![ploskosti peresekayutsa](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Параллельность прямой и плоскости
Определение параллельности прямой и плоскости
Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
![pryamaya parallelna ploskosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.
И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.
Признак параллельности прямой и плоскости
![parallelnost pryamoj i ploskosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Прямая \(\displaystyle a \) параллельна плоскости \(\displaystyle \alpha \), если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая \(\displaystyle b \), параллельная \(\displaystyle a \).
Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.
Если прямая \(\displaystyle a \) параллельна прямой \(\displaystyle b\), лежащей в плоскости \(\displaystyle \alpha\), то прямая \(\displaystyle a \) параллельна и всей плоскости \(\displaystyle \alpha \).
Пример на признак параллельности прямой и плоскости
Пусть \(\displaystyle SABCD\) – правильная 4 — угольная пирамида.
Тогда, например, \(\displaystyle AB \parallel SCD\). Почему? Но ведь \(\displaystyle AB \parallel CD\), а \(\displaystyle CD \) лежит в плоскости \(\displaystyle SCD\).
![pryamaya parallelna ploskosti zadacha naiti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Значит (по признаку) \(\displaystyle AB \parallel SCD\).
Параллельность плоскостей
Определение параллельности плоскостей
Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали
И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.
Признак параллельности двух плоскостей
![parallelnye ploskosti priznak](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Слишком много слов? А ты посмотри на картинку: если \( \displaystyle a \parallel {a}’\) и \( \displaystyle b \parallel {b}’\), то это значит, что \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle {{\alpha }’}\) (плоскости) — параллельны, то есть нигде не пересекутся.
Параллельность в пространстве: свойство транзитивности
Ух, ну и название! О чём же мы?
А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая \( \displaystyle a \) параллельна прямой \( \displaystyle b\), a \( \displaystyle b \parallel c\), то \( \displaystyle a \parallel c\)?
И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “\( \displaystyle a\)” через “\( \displaystyle b\)” на “\( \displaystyle c\)” и называется «транзитивность».
Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:
\( \displaystyle a \parallel b\) и \( \displaystyle b \parallel c \Rightarrow a \parallel c\).
![tranzitivnost](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
\( \displaystyle \alpha \parallel \beta\) и \( \displaystyle \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma\).
![priznak parallelnosti ploskostej](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
\( \displaystyle a\parallel \alpha\quad\) и \( \displaystyle \quad \alpha\parallel \beta\Rightarrow a\parallel \beta\).
![parallelnost ploskostej](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
\( \displaystyle \alpha \parallel b\quad\) и \( \displaystyle\quad b\parallel \alpha \Rightarrow text{a}\parallel \alpha \)
![parallelnye pryamye i ploskost](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
И один неверный вариант:
\( \displaystyle a\parallel \alpha \) и \( \displaystyle \alpha \parallel b\) \( \displaystyle НЕ \Rightarrow \) \( \displaystyle a\parallel b\).
![parallelnost ploskostej 2](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Посмотри – убедись!
Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример на признак параллельности плоскостей
Пусть в пирамиде \( \displaystyle SABC\) проведена плоскость \( \displaystyle MNK\) через середины рёбер \( \displaystyle SA\), \( \displaystyle SB\) и \( \displaystyle SC\).
Тогда \( \displaystyle MNK\parallel ABC\). Почему?
Да просто \( \displaystyle MN\parallel AB\) (средняя линия), \( \displaystyle NK\parallel BC\) (тоже средняя линия, но в \( \displaystyle \Delta SBC\)).
Значит, получилось, что \( \displaystyle MN\) и \( \displaystyle NK\) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle MNK\parallel ABC\).
![ploskosti parallelny zadacha](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Спасибо! Все понятно, доходчиво.
Спасибо, Валентина. Рады, что понравилось!
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Валерия
04 декабря 2019
Полезный и хороший материал !
Александр (админ)
04 декабря 2019
Спасибо, Валерия!