Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
1. Две прямые
2. Прямая и плоскость
3. Две плоскости
Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
Перпендикулярность двух прямых.
Определение:
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними |
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые
Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб
Из-за того, что
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости. |
Вот картинка:
прямая
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Формулируем:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. |
Оцени, как здорово:
если найдутся всего лишь две прямые (
И опять рассмотрим пример.
Пусть нам дан правильный тетраэдр
Задача: доказать, что
А вот смотри:
давай отметим середину
Вот оно, чудо: получается, что
Когда плоскости перпендикулярны
Определение:
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен |
То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (
Теорема эта называется
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Давай сформулируем:
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. |
Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:
- Если
И
- Если
(естественно, здесь
Теорема о трёх перпендикулярах
Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
Так что нужно быть очень внимательным!
Итак, формулировка:
Прямая |
И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):
1.
2.
давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.
Задача: дана правильная шестиугольная пирамида
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике
И пишем ответ:
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Перпендикулярность двух прямых.
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Прямая |
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
Петр, привет! Хороший вопрос... Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости... Но далее мы понимаем, что эта же прямая перпендикулярна любым другим прямым ( и не пересекающимся) лежащим в этой плоскости.
Речь шла о признаке! Он сформулирован неверно: "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости." Например, прямая a, наклоненная к плоскости, где лежат параллельные b и с, под углом не равным 90, удовлетворяет вашему утверждению, однако она не перпендикулярна плоскости. Исправьте, пожалуйста.
Петр, только двум пересекающимся прямым. Если брать слово "Любым", то сюда включаются и параллельные прямые, что не гарантирует перпендикулярность прямой плоскости.
прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости. Любым двум прямым или двум пересекающимся?
ответить