Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Перпендикулярность в пространстве рис. 1

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

Перпендикулярность в пространстве рис. 2

прямая   перпендикулярна прямой  , хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми   и  , нужно через произвольную точку   на прямой a провести прямую  . И тогда угол между   и   (по определению!) будет равен углу между   и  .

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые   и  , то нужно считать перпендикулярными прямые   и  .

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб  . И тебя просят найти угол между прямыми   и  . Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между   и  , проведём  .

Перпендикулярность в пространстве рис. 3

Из-за того, что   - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что  . А из-за того, что   – квадрат, выходит, что  . Ну, и значит  .

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Вот картинка:

Перпендикулярность в пространстве рис. 4

прямая   перпендикулярна плоскости  , если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и  , и  , и  , и даже  ! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

Перпендикулярность в пространстве рис. 5

если найдутся всего лишь две прямые (  и  ) в плоскости  , которым перпендикулярна прямая  , то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости  , то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой  ). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Перпендикулярность в пространстве рис. 6

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр  .

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 4

Задача: доказать, что  . Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

Перпендикулярность прямой и плоскости рис. 5

давай отметим середину   ребра   и проведём   и  . Это медианы в   и  . Треугольники – правильные   и  .

Вот оно, чудо: получается, что  , так как   и  . И далее,   всем прямым в плоскости  , а значит, и  . Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (  и  ) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (  и  ) к линии пересечения этих плоскостей равен  . И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

  • Если  , то   проходит через перпендикуляр к  .

И

  • Если   проходит через перпендикуляр к  , то  .

(естественно, здесь   и   - плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1.  

2.  .

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида  . Найти угол между прямыми   и  .

Теорема о трёх перпендикулярах на примере

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая   - проекция прямой  .

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике  . Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

 

И пишем ответ:  .

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

 

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Петр
03 декабря 2017

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости. Любым двум прямым или двум пересекающимся?

ответить

Александр (админ)
03 декабря 2017

Петр, привет! Хороший вопрос... Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости... Но далее мы понимаем, что эта же прямая перпендикулярна любым другим прямым ( и не пересекающимся) лежащим в этой плоскости.

ответить

Владимир
23 ноября 2019

Речь шла о признаке! Он сформулирован неверно: "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости." Например, прямая a, наклоненная к плоскости, где лежат параллельные b и с, под углом не равным 90, удовлетворяет вашему утверждению, однако она не перпендикулярна плоскости. Исправьте, пожалуйста.

ответить

Алексей Шевчук
23 ноября 2019

Владимир, да, конечно, уже исправил.

ответить

Rimma
23 октября 2018

Петр, только двум пересекающимся прямым. Если брать слово "Любым", то сюда включаются и параллельные прямые, что не гарантирует перпендикулярность прямой плоскости.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть