Правильные многогранники

Существует всего пять правильных многогранников:

Тетраэдр
Куб (Гексаэдр)
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Правильные многогранники — подробнее

Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый;
все его грани являются правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

$\displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}$

Объем тетраэдра:

$\displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{12}\sqrt{2}$

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{6}$

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{12}\sqrt{6}$

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

$\displaystyle S=6{{a}^{2}}$

Объем куба:

$\displaystyle V={{a}^{3}}$

Радиус описанной вокруг куба сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{3}$

Радиус вписанной в куб сферы:

$\displaystyle r=\frac{a}{2}$

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

$\displaystyle S=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$

Объем октаэдра:

$\displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{3}\sqrt{2}$

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{2}$

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

$\displaystyle r=\frac{a}{6}\sqrt{6}$

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

$\displaystyle S=5{{a}^{2}}\sqrt{3}$

Объем икосаэдра:

$\displaystyle V=\frac{5{{a}^{3}}}{12}\left( 3+\sqrt{5} \right)$

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{2\left( 5+\sqrt{5} \right)}$

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

$\displaystyle r=\frac{a}{4\sqrt{3}}\left( 3+\sqrt{5} \right)$

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

$\displaystyle S=3{{a}^{2}}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}$

Объем додекаэдра:

$\displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{4}\left( 15+7\sqrt{5} \right)$

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

$\displaystyle R=\frac{a}{4}\left( 1+\sqrt{5} \right)\sqrt{3}$

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

$\displaystyle r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}$

Решение задачи №8 на тему «Правильные многогранники»

Задача:

В кубе $\displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ с ребром $\displaystyle \sqrt{12}$ найдите $\displaystyle A{{C}_{1}}$ .

Решение:

$\displaystyle d=a\sqrt{3}$ ,

где $\displaystyle d$ – диагональ куба, $\displaystyle a$ – сторона куба. $\displaystyle A{{C}_{1}}$ – это и есть диагональ куба.

Тогда $\displaystyle A{{C}_{1}}=a\sqrt{3}=\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$ .

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

+7 (905) 541-39-06

alexei.shevchuk@youclever.org

сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны

автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;

закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;

профессиональный репетитор c 2003 года;

преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;

в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Правильные многогранники

Правильные многогранники — подробнее