Правильные многогранники. Визуальный гид

Существует всего пять правильных многогранников:

  • Тетраэдр
  • Куб (Гексаэдр)
  • Октаэдр
  • Икосаэдр
  • Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Правильные многогранники – подробнее

Многогранник называется правильным, если:

  • он выпуклый;
  • все его грани являются правильными многоугольниками;
  • в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

\( \displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем тетраэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{12}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{6}\)

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{12}\sqrt{6}\)

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

 Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

\( \displaystyle S=6{{a}^{2}}\)

Объем куба:

\( \displaystyle V={{a}^{3}}\)

Радиус описанной вокруг куба сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в куб сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{2}\)

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

\( \displaystyle S=2{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем октаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{3}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{2}\)

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{6}\sqrt{6}\)

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

\( \displaystyle S=5{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем икосаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{5{{a}^{3}}}{12}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{2\left( 5+\sqrt{5} \right)}\)

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4\sqrt{3}}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

\( \displaystyle S=3{{a}^{2}}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}\)

Объем додекаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{4}\left( 15+7\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\left( 1+\sqrt{5} \right)\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\)

Решение задачи №8 на тему “Правильные многогранники”

Задача:

В кубе \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром \( \displaystyle \sqrt{12}\) найдите \( \displaystyle A{{C}_{1}}\).

Решение:

\( \displaystyle d=a\sqrt{3}\),

где \( \displaystyle d\) – диагональ куба,\( \displaystyle a\) – сторона куба.\( \displaystyle A{{C}_{1}}\) – это и есть диагональ куба.

Тогда \( \displaystyle A{{C}_{1}}=a\sqrt{3}=\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6\).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Скажи нам

Теперь ты знаешь все об основных правильных многогранниках! И я уверен, что, читая условия задачи, ты не впадешь в ступор, увидев любое из названий выше. И будешь знать, что делать.

Мы будем очень рады услышать о том, что ты думаешь об этой статье!

Напиши нам в комментариях внизу, помогла ли она тебе? Понравилась? 🙂

А еще ты можешь задать любой вопрос. И мы на него ответим.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *