30 июля

0 comments

Правильные многогранники. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Существует всего пять правильных многогранников:

  • Тетраэдр
  • Куб (Гексаэдр)
  • Октаэдр
  • Икосаэдр
  • Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Многогранник называется правильным, если:

  • он выпуклый;
  • все его грани являются правильными многоугольниками;
  • в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

\( \displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем тетраэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{12}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{6}\)

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{12}\sqrt{6}\)

Куб состоит из шести квадратов.

 Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

\( \displaystyle S=6{{a}^{2}}\)

Объем куба:

\( \displaystyle V={{a}^{3}}\)

Радиус описанной вокруг куба сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в куб сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{2}\)

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

\( \displaystyle S=2{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем октаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{3}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{2}\)

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{6}\sqrt{6}\)

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

\( \displaystyle S=5{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем икосаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{5{{a}^{3}}}{12}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{2\left( 5+\sqrt{5} \right)}\)

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4\sqrt{3}}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

\( \displaystyle S=3{{a}^{2}}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}\)

Объем додекаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{4}\left( 15+7\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\left( 1+\sqrt{5} \right)\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\)

Задача:

В кубе \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром \( \displaystyle \sqrt{12}\) найдите \( \displaystyle A{{C}_{1}}\).

Решение:

\( \displaystyle d=a\sqrt{3}\),

где \( \displaystyle d\) – диагональ куба,\( \displaystyle a\) – сторона куба.

\( \displaystyle A{{C}_{1}}\) – это и есть диагональ куба.

Тогда \( \displaystyle A{{C}_{1}}=a\sqrt{3}=\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Скажи погромче! 🙂

Теперь ты знаешь все об основных правильных многогранниках! И я уверен, что, читая условия задачи, ты не впадешь в ступор, увидев любое из названий выше. И будешь знать, что делать.

Мы будем очень рады услышать о том, что ты думаешь об этой статье!

Напиши нам в комментариях внизу, помогла ли она тебе? Понравилась? 🙂

А еще ты можешь задать любой вопрос. И мы на него ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>