Правильные многогранники

Существует всего пять правильных многогранников:

  • Тетраэдр
  • Куб (Гексаэдр)
  • Октаэдр
  • Икосаэдр
  • Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Правильные многогранники – подробнее

Многогранник называется правильным, если:

  • он выпуклый;
  • все его грани являются правильными многоугольниками;
  • в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

\( \displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем тетраэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{12}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{6}\)

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{12}\sqrt{6}\)

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

 Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

\( \displaystyle S=6{{a}^{2}}\)

Объем куба:

\( \displaystyle V={{a}^{3}}\)

Радиус описанной вокруг куба сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в куб сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{2}\)

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

\( \displaystyle S=2{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем октаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{3}\sqrt{2}\)

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{2}\)

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{6}\sqrt{6}\)

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

\( \displaystyle S=5{{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем икосаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{5{{a}^{3}}}{12}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\sqrt{2\left( 5+\sqrt{5} \right)}\)

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4\sqrt{3}}\left( 3+\sqrt{5} \right)\)

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

\( \displaystyle S=3{{a}^{2}}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}\)

Объем додекаэдра:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{4}\left( 15+7\sqrt{5} \right)\)

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

\( \displaystyle R=\frac{a}{4}\left( 1+\sqrt{5} \right)\sqrt{3}\)

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

\( \displaystyle r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\)

Решение задачи №8 на тему “Правильные многогранники”

Задача:

В кубе \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром \( \displaystyle \sqrt{12}\) найдите \( \displaystyle A{{C}_{1}}\).

Решение:

\( \displaystyle d=a\sqrt{3}\),

где \( \displaystyle d\) – диагональ куба,\( \displaystyle a\) – сторона куба.\( \displaystyle A{{C}_{1}}\) – это и есть диагональ куба.

Тогда \( \displaystyle A{{C}_{1}}=a\sqrt{3}=\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6\).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *