30 июля

0 comments

Расстояние между плоскостями. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)

Устал от плоскостей? Все кажется двумерным и скучным? 

Выход есть – попробуй стереометрию!

Так, ладно, хватит говорить, как человек из рекламы.

В этой статье ты научишься одной важной вещи – находить расстояние между плоскостями. Это умение поможет тебе в решении множества задач по стереометрии.

Начнем!

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

\( \displaystyle AB\) – расстояние между плоскостями.

Да, но как найти это расстояние в задачах?

Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.

Вот, например:

В кубе \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) найти расстояние между плоскостями \( \displaystyle \ {{A}_{1}}BD\) и \( \displaystyle \ {{B}_{1}}{{D}_{1}}{{C}_{1}}\), если ребро куба равно \( \displaystyle 1\).

Решаем:

Проведем диагональ куба \( \displaystyle A{{C}_{1}}\).

Докажем, что \( \displaystyle A{{C}_{1}}\bot {{A}_{1}}BD\) (тогда будет и \( \displaystyle A{{C}_{1}}\bot B{{D}_{1}}C\))

1) \( \displaystyle C{{C}_{1}}\bot ABCD\Rightarrow AC\) – проекция \( \displaystyle A{{C}_{1}}\) на \( \displaystyle ABCD\).

\( \displaystyle AC\bot BD\) т.к. (\( \displaystyle ABCD\) – квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах \( \displaystyle A{{C}_{1}}\bot BD\)

2) \( \displaystyle {{C}_{1}}{{B}_{1}}\bot A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\Rightarrow A{{B}_{1}}\) – проекция \( \displaystyle A{{C}_{1}}\) на плоскость \( \displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\).

\( \displaystyle A{{B}_{1}}\bot {{A}_{1}}B\) (так как \( \displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\) – квадрат) \( \displaystyle \Rightarrow \) по теореме о трех перпендикулярах \( \displaystyle A{{C}_{1}}\bot {{A}_{1}}B\).

Итак, вышло:

\( \displaystyle \left. \begin{array}{l}A{{C}_{1}}\bot BD\\A{{C}_{1}}\bot {{A}_{1}}B\end{array} \right\}\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot {{A}_{1}}BD\)

(смотри тему «Перпендикулярность в пространстве», если не совсем хорошо помнишь все теоремы).

Теперь нужно найти \( \displaystyle KM\) - и все!

Вспомним, что \( \displaystyle A{{C}_{1}}^{2}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}+C{{C}_{1}}^{2}=1+1+1=3\)

\( \displaystyle A{{C}_{1}}=\sqrt{3}\). 

Нарисуем теперь плоскость \( \displaystyle A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\) отдельно.

Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\Delta {{O}_{1}}{{C}_{1}}M\sim \Delta CAM\Rightarrow \frac{{{O}_{1}}{{C}_{1}}}{AC}=\frac{{{C}_{1}}M}{MA}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{{{C}_{1}}M}{MA}\Rightarrow \\\Rightarrow {{C}_{1}}M=\frac{1}{3}A{{C}_{1}}\end{array}\),

Точно так же \( \displaystyle \Delta AKO\sim \Delta {{C}_{1}}K{{A}_{1}}\Rightarrow AK=\frac{1}{3}A{{C}_{1}}\).

И в итоге: \( \displaystyle KM=A{{C}_{1}}-\frac{1}{3}A{{C}_{1}}-\frac{1}{3}A{{C}_{1}}=-\frac{1}{3}A{{C}_{1}}\).

\( \displaystyle KM=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Вот и нашли.

Не очень–то просто?

Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать?

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Как найти расстояние от точки до плоскости, мы подробно обсуждаем в теме «Расстояние от точки до плоскости».

Здесь же мы рассмотрим один пример, чтобы понять, как же это «подобрать удобную точку» в конкретных задачах.

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точки \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle N\) - середины ребер \( \displaystyle SD\) и \( \displaystyle SE\) соответственно.

Найти расстояние между плоскостями \( \displaystyle MNC\) и \( \displaystyle SAB\), если сторона основания пирамиды равна \( \displaystyle 1\), а боковое ребро равно \( \displaystyle 2\).

\( \displaystyle CF||MN\Rightarrow \) точка \( \displaystyle F\in CMN\) и \( \displaystyle CMNF\) – трапеция.

Какая же удобная точка?

Вот представь себе – это точка \( \displaystyle O\)!

Почему же?

Ну, во первых она лежит на плоскости \( \displaystyle CMN\) - это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость \( \displaystyle SAB\). Давай увидим это:

Пусть \( \displaystyle K\) – середина \( \displaystyle AB\).

Тогда \( \displaystyle SK\bot AB\) и \( \displaystyle OK\bot AB\).

Значит \( \displaystyle AB\bot SOK\)

Опустим \( \displaystyle OH\) – высоту в \( \displaystyle \Delta SOK\)

Тогда \( \displaystyle OH\bot SK\) – по построению и \( \displaystyle OH\bot AB\), т.к. \( \displaystyle AB\bot SOK\) \( \displaystyle \Rightarrow OH\bot SAB\).

Значит, \( \displaystyle OH\) и есть расстояние между \( \displaystyle SAB\) и \( \displaystyle CMN\).

Осталось это \( \displaystyle OH\) найти.

\( \displaystyle OA=OB=AB=1\Rightarrow OK=1\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\( \displaystyle S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}=S{{E}^{2}}\left( \Delta SOE \right)\)

\( \displaystyle S{{O}^{2}}+1=4\Rightarrow S{{O}^{2}}=3\); \( \displaystyle SO=\sqrt{3}\).

\( \displaystyle S{{O}^{2}}+O{{K}^{2}}=S{{K}^{2}}\left( \Delta SOK \right)\Rightarrow \)

\( \displaystyle \Rightarrow 3+\frac{3}{4}=S{{K}^{2}}\); \( \displaystyle SK=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

\( \displaystyle OH=\frac{SO\cdot OK}{SK}\) (высота прямоугольного треугольника)

\( \displaystyle OH=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}}\) 

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

\( \displaystyle AB\) – расстояние между плоскостями.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Внеси свою лепту!

Поделись с нами своим мнением об этой статье! Напиши его в комментариях внизу!

Расскажи нам, помогла ли тебе статья? Сталкивался ли ты с расстоянием между плоскостями в задачах?

Все ли было понятно?

Остались вопросы? Задай их! Мы ответим!

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>