Расстояние от точки до плоскости. Подробная теория с примерами (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки до плоскости рис. 1

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

Примечание:  Помни, у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ не отрываясь от комьютера. Прямо сейчас... Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

  + -
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе   с ребром   точки   - середина ребра  . Найти расстояние от точки   до плоскости  .

Расстояние от точки до плоскости рис. 2

Геометрический способ

Расстояние от точки до плоскости геометрический способ

1. Куда же опускается перпендикуляр из точки   на плоскость  ?

2. Смотрим на   – оказывается, он равнобедренный -  !

3. Проведём   и  . Зачем? А они тоже равны   и  .

4. Отметим точку   - середину   - и проведём   и  . Треугольники   и   - равнобедренные, поэтому   и  .

5. И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 .

6. Остался один шаг: проведём   (в плоскости  , естественно).

Что же можно сказать о  ?

  по построению

  – так как   и значит,   перпендикулярна всякой прямой в плоскости  , в частности и  .

Итак,

  – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки   на плоскость   - это высота в  . Осталось найти эту высоту.

  (из  );   (по условию)

  (из  )

Ищем  :

 

 

Ищем  :

 

Теперь площадь   по формуле Герона:

 

 

 

 

 

 

 

И наконец,  :

 

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно  , запишем ответ.

Ответ:  .

Алгебраический способ

Расстояние от точки до плоскости алгебраический способ

Введём в систему координат с центром в точке   и осями вдоль рёбер  .

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

 

  - искомое расстояние

  - координаты точки  

  - коэффициенты в уравнении плоскости.

Найдём всё это от простого к сложному.

1. Координаты точки  :

 .

2. Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

 .

Подставляем в уравнение плоскости:

 

Пусть   тогда  .

Уравнение:

 

Ищем  :

 .

Кажется, что это легче?

Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

 

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

  1. алгебраический;
  2. геометрический.

Плюсы и минусы обоих способов:

  + -
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно: 

  • Ввести систему координат;
  • Найти координаты точки и уравнение плоскости;
  • Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона):
 

 - искомое расстояние

  - координаты точки  

  - коэффициенты в уравнении плоскости.

При геометрическом способе нужно:

  • Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
  • Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
  • Выполнить необходимое дополнительное построение;
  • Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Вячеслав
07 апреля 2018

Здравствуйте, у вас ошибка в координатах точки С.(По Z координата никак не может быть 2, т.к. она лежит в плоскости нижней грани куба)

ответить

Александр (админ)
07 апреля 2018

Спасибо, Вячеслав! Отправил математикам, надеюсь они исправят как можно скорее.

ответить

Максим
16 мая 2018

Здравствуйте. В формуле расстояния до плоскости забыли поставить модуль

ответить

Алексей Шевчук
12 мая 2019

Спасибо, исправил

ответить

Олег
04 мая 2019

Какую CH вы там проводите, если CK уже перпендикулярна MK и искомое расстояние это просто длина вектора CK, равное корню из 6

ответить

Алексей Шевчук
12 мая 2019

Олег, мы на тот момент не знаем, что СК перпендикулярна плоскости (AB1M): для этого CK должна быть перпендикулярна хотя бы двум непараллельным прямым в этой плоскости, а она гарантированно перпендикулярна только одной (AB1).

ответить

alex
21 августа 2019

Привет. А сколько задач есть примерно после статьи?

ответить

Александр (админ)
21 августа 2019

Привет, Алекс. В каждой статье по разному. Конкретно в этой статье ничего по-моему не скрыто. В некоторых других статьях учебника скрытых задач много. Если нужно действительно попрактиковаться в решении задач (а это нужно делать!), то советую обратить внимание на наш другой сайт 100gia.ru - там 6000 задач с ответами и решениями. Они разбиты по типам и по темам. А так же есть полноценная программа подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть