Коротко о главном Средний уровень

Расстояние от точки до плоскости. Средний уровень.

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

  1. алгебраический;
  2. геометрический.

Плюсы и минусы обоих способов:

  + -
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно:

  • Ввести систему координат;
  • Найти координаты точки и уравнение плоскости;
  • Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона):
 

  - искомое расстояние

  - координаты точки  

  - коэффициенты в уравнении плоскости.

При геометрическом способе нужно:

  • Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
  • Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
  • Выполнить необходимое дополнительное построение;
  • Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки до плоскости рис. 1

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

Примечание:  Помни, у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ не отрываясь от комьютера. Прямо сейчас... Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

  + -
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе   с ребром   точки   - середина ребра  . Найти расстояние от точки   до плоскости  .

Расстояние от точки до плоскости рис. 2

Геометрический способ

Расстояние от точки до плоскости геометрический способ

1. Куда же опускается перпендикуляр из точки   на плоскость  ?

2. Смотрим на   – оказывается, он равнобедренный -  !

3. Проведём   и  . Зачем? А они тоже равны   и  .

4. Отметим   - середину   и проведём   и  . Треугольники   и   - равнобедренные, поэтому   и  .

5. И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 .

6. Остался один шаг: проведём   (в плоскости  , естественно).

Что же можно сказать о  ?

  по построению

  – так как   и значит,   перпендикулярна всякой прямой в плоскости  , в частности и  .

Итак,

  – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки   на плоскость   - это высота в  . Осталось найти эту высоту.

  (из  );   (по условию)

  (из  )

Ищем  :

 

 

Ищем  :

 

Теперь площадь   по формуле Герона:

 

 

 

 

 

 

 

И наконец,  :

 

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно  , запишем ответ.

Ответ:  .

Алгебраический способ

Расстояние от точки до плоскости алгебраический способ

Введём в систему координат с центром в точке   и осями вдоль рёбер  .

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

 

  - искомое расстояние

  - координаты точки  

  - коэффициенты в уравнении плоскости.

Найдём всё это от простого к сложному.

1. Координаты точки  :

 .

2. Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

 .

Подставляем в уравнение плоскости:

 

Пусть   тогда  .

Уравнение:

 

Ищем  :

 .

Кажется, что это легче? Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

Комментарии

Вячеслав
07 апреля 2018

Здравствуйте, у вас ошибка в координатах точки С.(По Z координата никак не может быть 2, т.к. она лежит в плоскости нижней грани куба)

ответить

Александр (админ)
07 апреля 2018

Спасибо, Вячеслав! Отправил математикам, надеюсь они исправят как можно скорее.

ответить

Максим
16 мая 2018

Здравствуйте. В формуле расстояния до плоскости забыли поставить модуль

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть