Коротко о главном Начальный уровень

Целые числа. Коротко о главном.

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

  • натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
  • числа, противоположные натуральным;
  • ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой  .

1. Натуральные числа

Натуральные числа – это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

 

Множество натуральных чисел обозначается буквой  .

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на  , например,   и т.д.).
  2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
  3. Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
  2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
  3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
  4. Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

  и т.д.

 

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

  1. натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
  2. числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
  3. ноль - " " (куда уж без него?)

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа – это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения – необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4... n

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

Соответственно, в это определение не входит   (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает   яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть   ноутбука», или «я продал   машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 – это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр   и  .

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется». Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается.

Не забывай про него - используй группировку, чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Вычитание

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19.

А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например:  . Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится:  . Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

Натуральные числа. Правила умножения.

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

 

 

Деление.

Ну что здесь можно сказать интересного? Число может делиться на другое нацело (то есть, без остатка) и с остатком, который всегда меньше делителя, что вполне логично. Особые случаи, если при делении у нас есть 0. Чему будет равен пример, если 0 является делителем и чему равен пример, если он делимое? Правильно:

  – нельзя!

 

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости. Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь! А вот остальные совсем не сложно запомнить. Смотри таблицу:

Натуральные числа. Признаки делимости

Первые три правила ты, конечно же, знаешь. Четвертое и пятое легко запомнить – при делении на   и   мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число. При делении на   мы обращаем внимание на две последние цифры числа - делится ли число, которое они составляют на  ? При делении на   число должно одновременно делиться на   и на  . Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь - «зачем мне все это»? Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах, а во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД)

Допустим, у тебя есть два числа:   и  . На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь  , потому что знаешь, что:

 

 

Какие цифры в разложении общие? Правильно,  . Вот и твой ответ был  . Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД. Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на  , например,   и т.д.).
  2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
  3. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел   и  .

Первое число -  .

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на  , запишем:

 

  больше разделить ни на что нельзя, а вот   можно –   и  , получаем:

 

Возьмем еще одно число –  .

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на  , так как на   заканчивается. Делим:

 

Проанализируем изначальное число.

На   оно делиться не может (последняя цифра – нечетная),   – не делится на  , значит число тоже не делится на  , на   и на   также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на   и на  ) на   тоже не делится, так как не делится на   и  , на   тоже не делится, так как не делится на   и  . Осталось проверить деление на  .   нельзя разделить на   нацело, значит, число   можно разложить только на   и  .

А теперь найдем НОД этих чисел (  и  ). Какое это число? Правильно,  .

Совет: глядя на числа можно иногда сразу найти хотя бы один общий делитель. Раздели сначала на него, а потом уже раскладывай дальше. При этом, необязательно общий делитель раскладывать на его составляющие – все равно потом ты будешь их снова перемножать.

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД  

Справился? Сравним ответы и ход мыслей:

Найти НОД 

1) Делю сразу на  , так как оба числа 100% делятся на  :

 

 

2) Разделю на   оставшиеся большие числа (  и  ), так как   и   без остатка делятся на   (при этом,   раскладывать не буду – он и так общий делитель):

 

 

3) Оставлю   и   в покое и начну рассматривать числа   и  . Оба числа точно делятся на   (заканчиваются на четные цифры (  в таком случае представляем как  , а   можно разделить на  )):

 

 

4) Работаем с числами   и  . Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

 

 

5) Как мы видим, мы были правы: у   и   общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить  .
НОД  

Задача №2. Найти НОД 

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

 

 

Точно, НОД , а я изначально не проверила признак делимости на  , и, возможно, не пришлось бы делать столько действий. Но ты-то проверил, верно? Молодец! Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Допустим, у тебя есть два числа –   и  . Какое существует самое маленькое число, которое делится   и   без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой  ? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х?  :

 

 

В данном случае  .

Из этого простого примера вытекает несколько правил:

  1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным (как в нашем случае).
    Найди   у следующих чисел:
     
     
     
     
    Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы –  , ,   и  .
    Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.
    Например,  , так как  не делится без остатка на  .
  2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.
    Найди НОК у следующих чисел:
     
     
     
     

Посчитал? Вот ответы –  , ,  ;  .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

  1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
  2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
  3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
  4. Найти произведение получившихся множителей.

Потренируемся? Попробуем вместе найти НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

 

 

Почему я сразу написал  ? Вспомни признаки делимости на  : делится на   (последняя цифра – четная) и сумма цифр делится на    . Соответственно, можем сразу разделить   на  , записав ее как  .

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение – второе:

 

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

 

Заметь: мы выписали все кроме  , так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

 

 

Попробуй самостоятельно найти НОК следующих чисел:

Найти  

Найти  

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

 

 

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК? Мое время – 2 минуты, правда я знаю одну хитрость, которую предлагаю тебе открыть собственноручно.

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все. Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

НОД, НОК. Разложение целых чисел.

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

 

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются   и  .

Разложение целых чисел.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК), мы можем найти НОК (или НОД) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

 

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

 

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

НОК  НОД  

Попробуй найти НОД, если известно, что:

 

Справился?  .

3. Отрицательные числа – «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

  и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из   вычесть   – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас  ), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу). Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что  . Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда:  . Число « » положительное, которое вычитается из  , или отрицательное, которое суммируется к  ?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция  

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму   (или  ) чисел) в 1831 году поставил точку – он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют   землекопа, нельзя купить   билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

3. Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике   – особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить  , отнять   – ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число   будет в   раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть  , мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто – ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » – составляющая числа  .

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть