Вписанный четырехугольник. Начальный уровень.

Коротко о главном

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  .

 .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  .

На нашем рисунке:

.

Посмотри, углы   и   лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами   и  ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов   и   взять углы   и  ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет  . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме  . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть  . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно,  . То есть   - всегда!  . Но  , → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна  .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм   окружность. Тогда непременно должно быть:  , то есть  .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть  .

У нас получилось, что

  →  

А что же углы   и  ? Ну, то же самое конечно.

  – вписанный →   →  

  - параллелограмм→   →  

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны  , то есть это прямоугольник!

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вот пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда опять  , но из-за параллельности прямых   и    .

Значит, имеем:   →   → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  
2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  .

На нашем рисунке –  

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  .
2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник   вписан в окружность. Отметим её центр   и проведём радиусы   и  . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Итак,

  - вписанный  

  - вписанный  

Но посмотри:  .

Значит,

 .

Получаем, что если   – вписанный, то

 .

Ну, и ясно, что   и   тоже в сумме составляет  . (нужно так же рассмотреть   и  ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника   сумма каких – то двух противоположных углов равна  . Скажем, пусть

 .

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника   мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка   не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка   – снаружи. Тогда отрезок   пересекает окружность в какой-то точке  . Соединим   и  . Получился вписанный (!) четырехугольник  .

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна  , то есть  , а по условию у нас  .

Получается, что должно бы быть так, что  .

Но это никак не может быть поскольку   – внешний угол для   и значит,  .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка   внутри.

Тогда продолжение отрезка   пересекает окружность в точке  . Снова   – вписанный четырехугольник  , а по условию   должно выполняться  , но   - внешний угол для   и значит,  , то есть опять никак не может быть так, что  .

То есть точка   не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм   вписан в окружность. Тогда должно выполняться  .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что  .

То есть

 

И то же самое, естественно, касательно углов   и  .

Вот и получился прямоугольник – все углы по  .

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

  - диаметр,

  - диаметр

а значит,   – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажем?

Пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда  .

Но  

То есть

   . И так же  .

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону   из точек   и  , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов   и  .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«  - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.