Вписанный четырехугольник. Начальный уровень.

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  .

На нашем рисунке:

.

Посмотри, углы   и   лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами   и  ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов   и   взять углы   и  ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет  . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме  . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть  . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно,  . То есть   - всегда!  . Но  , → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна  .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм   окружность. Тогда непременно должно быть:  , то есть  .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть  .

У нас получилось, что

  →  

А что же углы   и  ? Ну, то же самое конечно.

  – вписанный →   →  

  - параллелограмм→   →  

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны  , то есть это прямоугольник!

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вот пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда опять  , но из-за параллельности прямых   и    .

Значит, имеем:   →   → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  
2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.