Задачи на движение – это легкие баллы на ЕГЭ по математике

Если прочитаешь эту статью – гарантирую, что ты научишься решать любые задачи на движение.

Еще бы! Мы разберем 19 задач на все типы движения!.

Умение решать задачи на движение может перевесить чашу весов в ту или иную сторону. Сдашь ты экзамен или нет… Поступишь на бюджет или нет…

Эффект бабочки, слышал о таком?

В общем, думаю, никого убеждать не надо. Читай эту статью и решай задачи!

Let’s dive right in… Поехали!

Одна формула для решения всех задач на движение

Для успешного решения задач на движение нужно держать в голове одну простую формулу:

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за \( \displaystyle 2\) часа, двигаясь со скоростью \( \displaystyle 13\) км/ч?»

Ты, не задумываясь, ответишь – \( \displaystyle 26\) км.

Ну вот. Поздравляю! Эту формулу ты всегда хорошо знал, просто не мог сформулировать.

Расстояние есть скорость, умноженная на время движения.

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости: \( \displaystyle \nu =\frac{S}{\text{t}}\)

Формулу для времени: \( \displaystyle \text{t}=\frac{S}{\nu }\)

Усвоил?

А теперь рассмотрим подробный алгоритм решения задач на движение.

Алгоритм решения задач на движение

1. Составить уравнение (или систему уравнений)

  • Прочитать задачу 2-3 раза;
  • Сделать рисунок;
  • Привести величины к одинаковой размерности;
  • Составить и заполнить таблицу;
  • Составить уравнение или систему уравнений.

2. Решить полученное уравнение (или систему уравнений)

  • Перенести все члены в левую часть;
  • Привести все слагаемые к общему знаменателю;
  • Раскрыть скобки и привести подобные члены;
  • Решить уравнение (систему уравнений);
  • Записать ответ (на вопрос который задали!).

Разберем подробнее некоторые особенности, возникающие при решении задач на движение.

Прочитай задачу несколько раз

Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием “собственная скорость лодки/катера” и т.д.

Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее НЕ влияет скорость течения.

Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде».

Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Сделай рисунок

Пойми точно кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились.

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически).

Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи.

Его следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты.

Качественный рисунок позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

  • сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Движение навстречу друг другу

Если тела движутся навстречу друг другу, то их скорость сближения равна сумме их скоростей.

Не веришь? Давай посмотрим на практике.

А подробнее о причинах и доказательстве этого ты можешь прочитать в статье по физике о равномерном прямолинейном движении.

Пример №1

Допустим, из точки \( \displaystyle A\) и из точки \( \displaystyle B\) навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – \( \displaystyle 60\) км/ч, а скорость \( \displaystyle 2\) машины – \( \displaystyle 40\) км/ч. Они встретились через \( \displaystyle 1,2\) часа.

Какое расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\)?

1 вариант решения

Можно рассуждать так: машины встретились, значит расстояние между городами – это сумма расстояния, которая прошла первая машина, и расстояния, которое прошла вторая.

\( \displaystyle 60\cdot 1,2\text{ }=\text{ }72\) (км) – путь, который проехала первая машина

\( \displaystyle 40\cdot 1,2\text{ }=\text{ }48\) (км) – путь, который проехала вторая машина

\( \displaystyle 72 + 48 = 120\) (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

2 вариант решения (более рациональный)

А можно просто воспользоваться очень логичной формулой о сложении скоростей.

Проверим, работает ли она:

\( \displaystyle 60 + 40 = 100\) (км/ч) – скорость сближения машин

\( \displaystyle 100\cdot 1,2\text{ }=\text{ }120\) (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

Оба решения являются верными. Второе просто более рациональное.

Пример №2

Миша и Вася ехали на велосипеде навстречу друг к другу. Скорость Миши – \( \displaystyle 10\) км/ч, скорость Васи – \( \displaystyle 16\) км/ч. Ребята встретились через \( \displaystyle 2\) часа.

Какой совместный путь они проделали?

Решил?

У меня получилось, что скорость сближения равна \( \displaystyle 26\) км/ч, а путь равен \( \displaystyle 52\) км.

Теперь разберемся, как в таких задачах вычисляется время.

Как вычислить время при движении навстречу друг другу

Если первоначальное расстояние между телами равно \( \displaystyle S\), то время, через которое они встретятся, вычисляется по формуле:

\( \displaystyle {t}_{встр}=\frac{S}{{{\nu}_{1}}+{{\nu}_{2}}}\)

Исходя из предыдущей формулы, это вполне логично, однако попробуем проверить на практике.

Пример №3

Итак, задача:

Из пункта \( \displaystyle A\) и пункта \( \displaystyle B\) машины движутся навстречу друг другу со скоростями \( \displaystyle 50\) км/ч и \( \displaystyle 80\) км/ч. Расстояние между пунктами – \( \displaystyle 195\) км.

Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения

Пусть \( \displaystyle x\) – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – \( \displaystyle 50x\), а путь второй машины – \( \displaystyle 80x\).

Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами \( A\) и \( B\) – \( \displaystyle 50x+80x=195\).

Решим уравнение:

\( \displaystyle 50x+80x=195\)

\( \displaystyle 130x=195\)

\( \displaystyle x=1,5\) (ч) – время, через которое встретились машины.

2 вариант решения (более рациональный)

\( \displaystyle 50 + 80 = 130\) (км/ч) – скорость сближения машин;

\( \displaystyle 195:130 = 1,5\) (ч) – время, которое машины были в пути.

Задача решена.

Пример №4

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями \( \displaystyle 60\) км/ч и \( \displaystyle 40\) км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами \( \displaystyle 100\) км?

2 способа решения:

I способ

Относительная скорость автомобилей \( \displaystyle 60+40=100\) км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью \( \displaystyle 100\) км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние \( \displaystyle 100\) км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

\( \displaystyle t=\frac{100}{100}=1 час=60\ минут\).

II способ

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его \( \displaystyle t\). Тогда первый автомобиль проехал путь \( \displaystyle 60t\), а второй – \( \displaystyle 40t\).

В сумме они проехали все \( \displaystyle 100\) км. Значит,

\( \displaystyle 60t+40t=100\Rightarrow t=1 час=60 минут\).

Движение в противоположные стороны

Если тела удаляются друг от друга, то их скорость удаления равна сумме их скоростей.

\( \displaystyle {{\nu }_{удал}}={{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}\)

Попробуй самостоятельно решить задачу и доказать верность данной формулы, как в предыдущем случае.

Пример №5

А вот и задача: из Москвы в противоположные стороны выехало \( \displaystyle 2\) машины. Скорость одной машины – \( \displaystyle 85\) км/ч, скорость другой – \( \displaystyle 60\) км/ч.

На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через \( \displaystyle 2\) часа?

Решил?

Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен \( \displaystyle 170\) км, а второй – \( \displaystyle 120\) км. 

Соответственно, расстояние между машинами – \( \displaystyle 290\) км.

Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна \(\displaystyle 145 км/ч\), а путь равен \(\displaystyle 145 км/ч\)\( \displaystyle \cdot 2 ч\) = \(\displaystyle 290 км\).

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

Время, проведенное телами в пути, при удалении друг от друга равно пройденному расстоянию (то есть, если между телами изначально было некое расстояние \( {{S}_{0}}\), то его следует вычесть из общего расстояния), деленному на сумму скоростей тел:

\( \displaystyle {{\text{t}}_{пути}}=\frac{S}{{{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}}\)

Как ты видишь, формула аналогична выведенной нами при движении тел навстречу друг другу.

Считаешь, что такого не может быть?

Проверь ее на практике!

Пример №6

Допустим, что две машины двигаются в противоположных направлениях со скоростями \( \displaystyle 50\) и \( \displaystyle 45\) км/ч. В момент остановки расстояние между ними составляло \( \displaystyle 218,5\) км.

Сколько времени ехали машины?

Попробуй решить эту задачу теми двумя способам, которые были описаны при движении на встречу.

Решил? Формула подтвердилась?

Давай сравнивать ответы: уравнение, получаемое при решении 1 вариантом, – \( \displaystyle 50x+45x=218,5\).

При решении 2 вариантом скорость удаления – \( \displaystyle 95\) км/ч, время в пути – \( \displaystyle 2,3\) часа.

А что если тела изначально находятся на некоем расстоянии \( {{S}_{0}}\) друг от друга?

Тела, находящиеся на расстоянии друг от друга

Это выглядит так:

Как тогда решать подобные задачи?

Очень просто. При решении нам необходимо обязательно учитывать \( {{S}_{0}}\).

Если существует какое-либо первоначальное расстояние между телами, то формула пути выглядит следующим образом:

\( \displaystyle S={{S}_{0}}+\left( {{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}} \right)\cdot \text{t}\ \)

Логично?

Вырази из этой формулы время встречи двух тел, а потом сравним, что у нас получилось.

\( \displaystyle \text{t}=\frac{S-{{S}_{0}}}{\left( {{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}} \right)}\)

Справился?

Тогда решим задачу на данную формулу.

Пример №7

Из разных точек города N в стороны, противоположные друг другу, выехало два мотоциклиста. Изначальное расстояние между ними составляло \( \displaystyle 86\) км. Скорость первого мотоциклиста составляла \( \displaystyle 90\) км/ч; скорость второго – \( \displaystyle 105\) км/ч.

Через какое время расстояние между ними будет равно \( \displaystyle 359\) км?

Какой ответ ты получил?

У меня получилось \( \displaystyle 1,4\) часа.

Давай проверим все обстоятельно.

Путь, который мотоциклисты действительно ехали, равен \( \displaystyle 359\)км\( -86\)км\( =273\)км. Скорость их удаления друг от друга равна \( \displaystyle 195\) км/ч.

Делим \( \displaystyle 273\) км на \( \displaystyle 195\) км/ч и получаем \( \displaystyle 1,4\) часа – время, которое мотоциклисты провели в дороге.

Движение в одном направлении (два варианта)

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия?

Правильно, два:

Почему так получается? Уверена, что после решения всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Пришло время решать задачи…

Коля едет на работу на машине со скоростью \( \displaystyle 60\) км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью \( \displaystyle 85\) км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии \( \displaystyle 15\) км.

Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через \( \displaystyle \frac{3}{5}\) часа или через \( \displaystyle 36\) минут.

Сравним наши решения…

Рисунок выглядит вот таким образом:

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время \( \displaystyle t\), которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи \( \displaystyle S\) (на рисунке оно обозначено точкой \( \displaystyle C\)). Составляя уравнения, возьмем время за \( \displaystyle x\).

Итак, Вова до места встречи проделал путь \( \displaystyle 85x\). Коля до места встречи проделал путь \( \displaystyle 60x\). Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.

Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь (\( \displaystyle 60x\)) на рисунке изображен как отрезок \( \displaystyle BC\). А из чего состоит путь Вовы (\( \displaystyle 85x\))? Правильно, из суммы отрезков \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\), где \( \displaystyle AB\) – изначальное расстояние между ребятами, а \( \displaystyle BC\) равен пути, который проделал Коля.

Исходя из этих выводов, получаем уравнение:

\( \displaystyle 85x-60x=15\)

Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?

Решаем дальше и получаем:

\( \displaystyle 85x-60x=15\) \( \displaystyle 25x=15\)

\( \displaystyle ~x=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\) часа или \( \displaystyle \frac{3}{5}\cdot 60\) минут \( \displaystyle =36\text{ }\) минут.

Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!

Пример №8

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на \( \displaystyle 10\) км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью \( \displaystyle 75\) км/ч.

В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.

Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше \( \displaystyle 50\) км/ч.

Решение:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

\( \displaystyle \frac{AB}{x}=\frac{\frac{AB}{2}}{x-10}+\frac{\frac{AB}{2}}{75}\).

Упростим выражение в правой части:

\( \displaystyle \frac{AB}{x}=\frac{AB}{2\left( x-10 \right)}+\frac{AB}{150}\).

Поделим каждое слагаемое на АВ:

\( \displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{2\left( x-10 \right)}+\frac{1}{150}\).

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=25;\\x=60.\end{array} \right.\)

Из них только один больше \( \displaystyle 50\).

Ответ: \( \displaystyle 60\) км/ч.

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма – приведение всех величин к одинаковой размерности.

Хитрости при решении задач на движение

Следующие три раздела о том, как решать задачи на движение оптимальным способом! Как не делать ошибок! Как себя проверять!

Правило трех «Р» – размерность, разумность, расчет

Размерность

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).

Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.

Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность.

Сравни:

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.

А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и \( \displaystyle 100\)% неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

Единицы измерения длины:

  • \( \displaystyle 1\) сантиметр = \( \displaystyle 10\) миллиметров
  • \( \displaystyle 1\) дециметр = \( \displaystyle 10\) сантиметров = \( \displaystyle 100\) миллиметров
  • \( \displaystyle 1\) метр = \( \displaystyle 10\) дециметров = \( \displaystyle 100\) сантиметров = \( \displaystyle 1000\) миллиметров
  • \( \displaystyle 1\) километр = \( \displaystyle 1000\) метров

Единицы измерения времени:

  • \( \displaystyle 1\) минута = \( \displaystyle 60\) секунд
  • \( \displaystyle 1\) час = \( \displaystyle 60\) минут = \( \displaystyle 3600\) секунд
  • \( \displaystyle 1\) сутки = \( \displaystyle 24\) часа = \( \displaystyle 1440\) минут = \( \displaystyle 86400\) секунд

Совет:

Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что \( \displaystyle15\) минут это четверть циферблата, т.е. \( \displaystyle 0,25\) часа, \( \displaystyle 20\) минут это треть циферблата, т.е. \( \displaystyle \frac{1}{3}\) часа, а \( \displaystyle 1\) минута это \( \displaystyle \frac{1}{60}\) часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью \( \displaystyle 14\) км/ч на протяжении \( \displaystyle 75\) минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ – \( \displaystyle 17,5\) км.

\( \displaystyle 75\) минут – это час, и еще \( \displaystyle 15\) минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что \( \displaystyle 15\) минут – четверть часа), соответственно – \( \displaystyle 75\) мин = \( \displaystyle 1,25\) ч.

\( \displaystyle 14\text{ }\cdot 1,25\text{ }=\text{ }17,5\) км

Разумность

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть \( \displaystyle 300\) км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

Нарисуйте таблицу когда рисунка недостаточно

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше.

Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\), расстояние между которыми \( \displaystyle 30\) км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на \( \displaystyle 65\) км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт \( \displaystyle B\) на \( \displaystyle 156\) минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт \( \displaystyle A\), пункт \( \displaystyle B\), две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из \( \displaystyle 3\) компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Скорость,
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист
мотоциклист

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен \( \displaystyle 30\) км. Вносим!

Скорость,
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист\( \displaystyle 30\)
мотоциклист\( \displaystyle 30\)

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на \( \displaystyle 65\) км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за \( \displaystyle x\), тогда скорость мотоциклиста будет \( \displaystyle x+65\)…

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Скорость,
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист
\( \displaystyle x\)
\( \displaystyle 30\)
мотоциклист
\( \displaystyle x+65\)
\( \displaystyle 30\)

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Скорость,
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист
\( \displaystyle x\)

\( \displaystyle \frac{30}{x}\)
\( \displaystyle 30\)
мотоциклист
\( \displaystyle x+65\)

\( \displaystyle \frac{30}{65+x}\)
\( \displaystyle 30\)

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – \( \displaystyle 156\) минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

\( \displaystyle 156\) минут / \( \displaystyle 60\) минут = \( \displaystyle 2,6\) часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Составление и решение уравнений – способ, приводящий к единственно верному ответу

Как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение.

Почему? Потому что уравнение – это очень надежный способ решить задачу правильно и как это делать нужно знать!

Итак, будем составлять уравнение.

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!


\( \displaystyle \frac{30}{x}-\frac{30}{65+x}=2,6\)

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:


\( \displaystyle \frac{30\cdot \left( 65+x \right)}{x\cdot \left( 65+x \right)}-\frac{30x}{x\cdot \left( 65+x \right)}=2,6\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.


\( \displaystyle \frac{1950}{x\cdot \left( 65+x \right)}=2,6\)

Из этого уравнения мы получаем следующее:


\( \displaystyle 2,6\cdot x\cdot \left( 65+x \right)=1950\) \( \displaystyle x\cdot \left( 65+x \right)=\frac{1950}{2,6}\) \( \displaystyle x\cdot \left( 65+x \right)=750\)

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:


\( \displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0\)

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!


\( \displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0\) \( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\) \( \displaystyle D={{65}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -750 \right)=4225+3000=7225\) \( \displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{7225}=85\) \( \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\) \( \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-65+85}{2}=10\) \( \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-65-85}{2}=-75\)

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за \( \displaystyle x\)? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь, о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – \( \displaystyle 10\) км/ч.

Пример №9

Два велосипедиста одновременно отправились в \( \displaystyle 165\)-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на \( \displaystyle 5\) км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на \( \displaystyle 5,5\) часов раньше второго.

Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю:

  • Прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил?
  • Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
  • Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности, и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь, какие там графы?).
  • Пока все это пишешь, думай, что взять за \( \displaystyle x\)? Выбрал? Записывай в таблицу!
  • Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – \( \displaystyle 10\) км/ч.

Отвечайте точно на поставленный вопрос

– Какого цвета твоя машина? 

– Она красивая!

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? \( \displaystyle 10\) км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!

Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»

Понял, о чем я?

Именно! Полученный \( \displaystyle x\) – это не всегда ответ на поставленный вопрос!

Вдумчиво читай вопросы – возможно, после нахождения \( \displaystyle x\) тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить \( \displaystyle 5\) км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент: часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу.

Например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. И при решении таких задач есть особенности, которые надо знать.

Разберем такую задачу.

Пример №10

Из пункта \( \displaystyle A\) круговой трассы выехал велосипедист. Через \( \displaystyle 40\) минут он еще не вернулся в пункт \( \displaystyle A\) и из пункта \( \displaystyle A\) следом за ним отправился мотоциклист.

Через \( \displaystyle 20\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \( \displaystyle 40\) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна \( \displaystyle 50\) км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет \( \displaystyle x\), а мотоциклиста – \( \displaystyle y\). До момента первой встречи велосипедист был в пути \( \displaystyle 60\) минут, а мотоциклист – \( \displaystyle 20\).

При этом они проехали равные расстояния:

\( \displaystyle 60x=20y\ (1)\)

Между встречами велосипедист проехал расстояние \( \displaystyle 40x\), а мотоциклист – \( \displaystyle 40y\).

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

(Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.)

Значит,

\( \displaystyle 40x+50=40y\ (2)\)

Полученные уравнения решаем в системе:


\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}60x=20y\\40x+50=40y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\4x+5=4y\end{array} \right.\Rightarrow \text{4}x+5=12x\Rightarrow \) \( \displaystyle \Rightarrow x=\frac{5}{8}=0,625\frac{\text{км}}{мин}=0,625\cdot 60\frac{\text{км}}{\text{ч}}=37,5\frac{\text{км}}{\text{ч}}\)

Ответ: \( \displaystyle 37,5\).

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Пример №11

Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна \( \displaystyle 18\) км.

Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на \( \displaystyle 36\) км/ч боль­ше скорости дру­го­го?

Пример №12

Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна \( \displaystyle 15\) км, од­н­овремен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два мотоциклиста.

Ско­рость пер­во­го мотоцикла равна \( \displaystyle 90\) км/ч, и через \( \displaystyle 30\) минут после стар­та он опе­ре­дил вто­рой мотоцикл на один круг.

Най­ди­те ско­рость вто­ро­го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.

Ответы:

Пример №13

Пусть \( \displaystyle x\) км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна \( \displaystyle x+36\) км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через \( \displaystyle t\) часов.

Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы.\( \displaystyle \left( x+36 \right)\cdot t-x\cdot t=9\).

Получаем, что время равно \( \displaystyle 0,25\) часа = \( \displaystyle 15\) минут.

Пример №14

Пусть ско­рость вто­ро­го мотоцикла равна \( \displaystyle x\) км/ч. За \( \displaystyle 0,5\) часа пер­вый мотоцикл про­шел на \( \displaystyle15\) км боль­ше, чем вто­рой.

Соответственно, получаем уравнение: \( \displaystyle 90\cdot 0,5=0,5x+15\)

Скорость второго мотоциклиста равна \( \displaystyle 60\) км/ч.

Пример №15

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через \( \displaystyle 40\) минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через \( \displaystyle 20\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \( \displaystyle 40\) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна \( \displaystyle 50\) км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет \( \displaystyle x\), а мотоциклиста – \( \displaystyle y\). До момента первой встречи велосипедист был в пути \( \displaystyle 60\) минут, а мотоциклист – \( \displaystyle 20\).

При этом они проехали равные расстояния:

\( \displaystyle 60x=20y\text{ }\left( 1 \right)\)

Между встречами велосипедист проехал расстояние \( \displaystyle 40x\), а мотоциклист – \( \displaystyle 40y\). Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

\( \displaystyle 40x+50=40y\text{ }\left( 2 \right)\)

Полученные уравнения решаем в системе:


\( \displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}60x=20y\\40x+50=40y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\4x+5=4y\end{array} \right.\Rightarrow 4x+5=12x\Rightarrow \\\Rightarrow x=\frac{5}{8}=0,625\frac{км}{мин}=0,625\cdot 60\frac{км}{ч}=37,5\frac{км}{ч}\end{array}\)

Ответ: \( \displaystyle 37,5\).

Задачи на течение реки

Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.

Особенность этих задач в том, что к скорости, с которой движется тело по воде добавляется (или вычитается) скорость течения реки.

Давай разберемся.

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода.

Скорость течения в озере равна \( \displaystyle 0\).

Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести.

Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл…

Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения.

Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался? Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два случая:

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы \( \displaystyle 100\) метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Допустим, тебе надо проплыть \( \displaystyle10\) км.

Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим.

Добавим к нашему пути данные о скорости течения – \( \displaystyle 3\) км/ч и о собственной скорости плота – \( \displaystyle 7\) км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению – \( \displaystyle 1\) час, а против течения аж \( \displaystyle 2,5\) часа!

В этом и есть вся суть задач на движение с течением. Несколько усложним задачу.

Пример №16

Лодка с моторчиком плыла из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\) \( \displaystyle 3\) часа, а обратно – \( \displaystyle 2\) часа. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде – \( \displaystyle 40\) км/ч.

Обозначим расстояние между пунктами, как \( \displaystyle AB\), а скорость течения – как \( \displaystyle x\).

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь SСкорость v, км/чВремя t, часов
A –> B (против течения)\( \displaystyle 40-x\)3
B –> A (по течению)\( \displaystyle 40+x\)2

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:


\( \displaystyle \left( 40-x \right)\cdot 3\text{ }=\text{ }\left( 40+x \right)\cdot 2\)

\( \displaystyle 120-\text{ }\text{ }3x\text{ }=\text{ }80+2x\)

\( \displaystyle 40=5x\)

\( \displaystyle x=8\)

Что мы брали за \( \displaystyle x\)? Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:) Скорость течения равна \( \displaystyle 8\) км/ч.

Пример №17

Байдарка в \( \displaystyle 8:00\) вышла из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\), расположенный в \( \displaystyle 26\) км от \( \displaystyle A\).

Пробыв в пункте \( \displaystyle B\) \( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт \( \displaystyle A\) в \( \displaystyle 20:00\).

Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки \( \displaystyle 5\) км/ч.

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.

Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.

Переведем это в часы:

\( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут = \( \displaystyle 1\frac{20}{60}=1\frac{1}{3}\) ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за \( \displaystyle x\).

Пусть \( \displaystyle x\) – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна \( \displaystyle x+5\), а против течения равна \( \displaystyle x-5\).

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Путь SСкорость v,
км/ч
Время t,
часов
Против течения26\( \displaystyle x-5\)\( \displaystyle \frac{26}{x-5}\)
По течению26\( \displaystyle x+5\)\( \displaystyle \frac{26}{x+5}\)

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

\( \displaystyle 20.00-8.00\text{ }=\text{ }12\) часов.

Все ли \( \displaystyle 12\) часов она плыла? Перечитываем задачу.

Нет, не все. У нее был отдых \( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут, соответственно, из \( \displaystyle 12\) часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

\( \displaystyle 12-1\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}\) ч байдарка действительно плыла.

Догадываешься, что мы делаем дальше? Правильно! Приравниваем полученное время к тому времени, которое мы выразили в таблице через путь и скорость. Получаем:


\( \displaystyle \frac{26}{x-5}+\frac{26}{x+5}=10\frac{2}{3}\)

Приведем все слагаемые к общему знаменателю \( \displaystyle 3\cdot \left( x-5 \right)\cdot \left( x+5 \right)\) :


\( \displaystyle 78\left( x+5 \right)+78\left( x-5 \right)=32\left( {{x}^{2}}-25 \right)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение.

С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 8\) км/ч.

Пример №18

Катер плыл из пункта A в пункт B \( \displaystyle 5\) часов а обратно – \( \displaystyle 3\) часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде \( \displaystyle 50\) км/ч.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как \( \displaystyle x\).

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь SСкорость v,
км/ч
Время t, часов
A –> B (против течения)50–x5
B –> A (по течению)50+x3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:


\( \displaystyle \left. \begin{array}{l}A\to B:\text{ 50}-x=\frac{AB}{5}\text{ }\\B\to A:\text{ 50}+x=\frac{AB}{3}\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }5\left( 50-x \right)=3\left( 50+x \right)\text{ }\Rightarrow \text{ }x=12,5\text{ }\left( \frac{\text{км}}{ч} \right)\)

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково.

Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

\( \displaystyle S=v\cdot t\).

Часто приходится использовать и формулу для времени:

\( \displaystyle t=\frac{S}{v}\).

Пример №19

Против течения лодка проплывает расстояние в \( \displaystyle 3\) км на \( \displaystyle 1\) час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна \( \displaystyle 2\) км/ч.

Решение:

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на \( \displaystyle 1\) час больше, чем время по течению.

Это записывается так:


\( \displaystyle {{t}_{против}}={{t}_{по}}+1\)

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:


\( \displaystyle \frac{3}{x-2}=\frac{3}{x+2}+1\)

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:


\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x+2}+1\Leftrightarrow \frac{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)+3\left( x-2 \right)-3\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-16}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-4\end{array} \right.\end{array}\)

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: \( \displaystyle 4\) км/ч.

Подведем итоги

  • Основная формула: \( \displaystyle S=\nu \cdot t\)
  • Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов: составление и решение уравнения (системы уравнений).
  • В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.
  • Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.
  • Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.
  • За \( \displaystyle x\) можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.
  • Внимательно читай, что спрашивается в задаче! \( \displaystyle x\) – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).
  • Задачи на движение по течению(или против) решаются в две формулы: разности и суммы скоростей соответственно.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

Если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Поделись своим мнением!

Ну вот, теперь, когда ты полностью разобрался в задачах на движение, ты чувствуешь себя намного уверенее, не так ли?

И ты готов получить заслуженные баллы!

Если у тебя остались какие-то вопросы, напиши в комментариях. Если их нет, тоже напиши 🙂

Понравилась ли тебе статья? Достаточно ли все подробно?

Поделись своим мнением. 

Мы обязательно тебе ответим.

Удачи! Ты со всем справишься!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 комментария